SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BÌNH ĐỊNH KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 11 THPT NĂM HỌC 2102-2013 ĐỀ CHÍNH THỨC Môn thi: TOÁN Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian phát đề) Ngày thi: 18/3/2013 Bài 1: (5,0 điểm) a) Giải phương trình: 2 3 2( 3 2) 3 8x x x− + = + b) Cho a, b, c, d , e, f là các số nguyên dương. Đặt ; ;S a b c d e f Q ab bc ca de ef fd R abc def= + + + + + = + + − − − = + Biết rằng S là ước của Q và R. Chứng minh rằng S là hợp số. Bài 2: (5,0 điểm) a) Ba góc , ,x y z thỏa mãn điều kiện cos cos cos 0 0 2 à sin sin sin 0 x y z x y z v x y z π + + =  ≤ ≤ ≤ ≤  + + =  Chứng minh rằng , ,x y z lập thành một cấp số cộng. b) Cho dãy số vô hạn { } n u xác định như sau: 1 1 1 2 1 1 , 1,2 n n u u u u u n + =   = + =  Đặt 1 1 . n n k k S u= = ∑ Tìm lim n n S →+∞ Bài 3: (3,5 điểm) Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình thang ( ) AD BCP và AD = 2 BC. Gọi M, N lần là trung điểm của SA, SB. Mặt phẳng (DMN) cắt SC tại P. Tính tỉ số CP CS . Bài 4: (3,5 điểm) Trong tam giác ABC, M là chân đường vuông góc hạ từ A xuống đường phân giác trong của góc · .BCA N, L lần lượt là chân đường vuông góc hạ từ các đỉnh A, C xuống đường phân giác trong của góc ABC. Gọi F là giao điểm của các đường thẳng MN và AC, E là giao điểm của các đường thẳng BF và CL, D là giao điểm của các đường thẳng BL và AC. Chứng minh rằng DE MNP . Bài 5: (3,0 điểm) Cho hàm số : * *f N N → với 2013 (1) 2f = thỏa điều kiện [ ] ( ) [ ] 2 2 1 ( ) . ( 1) ( )f n f n f n + + = Chứng minh rằng ( ) 1f n ≤ với 2014n > Hết SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HẢI PHÒNG TRƯỜNG THPT TRẦN NGUYÊN HÃN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Môn TOÁN Lớp 11 NĂM HỌC 2008-2009 ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 150 phút Bài 1: (4,0 điểm) 1. Giải phương trình: 2 6 4 2 4 2 2 4 x x x x − + − − = + 2. Giải phương trình sau: 2 2005 2 os 2 3 tan 2 cos 1 tan c x y x y π   + −  ÷   = + (x, y là các ẩn số) Bài 2: (4,0 điểm) Cho hàm số 4 3 2 ( ) , ( , , , )f x x ax bx cx d a b c d R= + + + + ∈ Biết (1) 10 , (2) 20 , (3) 30f f f= = = . Hãy tính (12) ( 8) 25 10 f f+ − + Bài 3: (3,0 điểm) Cho dãy số ( ) n u được xác định như sau: 1 2 1 1 ( 1,2,3,4 ) 1 2009 n n n u n u u u + =   =  = +   1. Chứng minh lim n→+∞ = +∞ 2. Tìm 1 2 3 2 3 4 1 lim n n n u u u u u u u u →+∞ +   + + + +  ÷   Bài 4: (4,0 điểm) Cho ba số dương , ,x y z thỏa mãn 1 1 1 1 x y z xyz + + = Tìm giá trị lớn nhất của 2 2 1 1 1 1 y x z P x y z − = + + + + + Bài 5: (4,0 điểm) Cho tam giác đều ABC: 1. M là điểm nằm trong tam giác sao cho 2 2 2 MA MB MC= + . Hãy tính góc · .BMC 2. Một điểm S nằm ngoài mặt phẳng (ABC) sao cho tứ diện SABC đều, gọi I, K là trung điểm của các cạnh AC và SB. Trên đường thấng AS và CK ta chọn các điểm P, Q sao cho PQ // BI. Tính độ dài PQ biết cạnh của tứ diện có độ dài bằng 1. Hết . ĐÀO TẠO BÌNH ĐỊNH KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 11 THPT NĂM HỌC 2102-2013 ĐỀ CHÍNH THỨC Môn thi: TOÁN Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian phát đề) Ngày thi: 18/3/2013 Bài. > Hết SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HẢI PHÒNG TRƯỜNG THPT TRẦN NGUYÊN HÃN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Môn TOÁN Lớp 11 NĂM HỌC 2008-2009 ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 150 phút Bài 1: (4,0 điểm) 1. Giải. y z v x y z π + + =  ≤ ≤ ≤ ≤  + + =  Chứng minh rằng , ,x y z lập thành một cấp số cộng. b) Cho dãy số vô hạn { } n u xác định như sau: 1 1 1 2 1 1 , 1,2 n n u u u u u n + =   = +