Bài 1 (2 điểm). 1. Giải phương trình: a) 2 2 2 2sin 2 tan cot 2 x x x + = + + . 2. Giải phương trình: ( ) ( ) 2 2 25 9 2sin 2cos tan 4 2 0 2 cos 1 2 sin 1 x x x x x π π     − − + +  ÷  ÷     = + + Bài 2 (3 điểm). 1. Cho dãy số ( ) n u xác định bởi ( ) 1 * 1 4 1 4 4 1 2 9 n n n u u u u n N + =    = + + + ∀ ∈   . Tìm công thức số hạng tổng quát n u của dãy số. 2. Cho n là số tự nhiên, 2.n ≥ Chứng minh đẳng thức sau: ( ) ( ) 2 2 2 0 1 2 2 2 2 1 2 1 2 2 1 ( 1)2 . n n n n n n n n n C n C n C C C n n − − − + − + − + + + = + 3. Có bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau và khác 0 mà trong mỗi số luôn có mặt hai chữ số chẵn và hai chữ số lẻ. Bài 3 (2 điểm). 1. Cho dãy số k {x } xác định bởi: k 1 2 k x 2! 3! (k 1)! = + + + + Tính : 1 2 3 2012 lim n n n n n x x x x+ + + + 2. Cho hàm số : 2 3 1 sin 1 0 ( ) 0 0. víi víi x x x f x x x  + −  ≠ =   =  Tính đạo hàm của hàm số tại x = 0 và chứng minh rằng hàm số đạt cực tiểu tại x = 0. Bài 4 (3 điểm). Cho tam giác đều ABC 1. M là một điểm nằm trong tam giác sao cho 2 2 2 MA MB MC= + . Hãy tính góc · BMC 2. Một điểm S nằm ngoài (ABC ) sao cho tứ diện SABC đều , gọi I, K là trung điểm của các cạnh AC và SB . Trên đường thẳng AS và CK ta chọn các điểm P,Q sao cho PQ// BI Tính độ dài PQ biết cạnh của tứ diện có độ dài bằng 1. Hết Họ và tên : Số báo danh : K× thi chän häc sinh giái tØnh líp 11 Môn thi: to¸N THPT Thời gian làm bài: 180 phút Bài Lời giải Điểm Bài 1 1.(1 đ) Điều kiện : ( ) cos 0 sin 2 0 1 tan cot 2 0 x x x x ≠   ≠   + >  Ta có : 2 2sin cos2 1 tan cot 2 sin 2 sin 2 x x x x x x + + = = Do đó phương trình đã cho tương đương với : ( ) 2 2 sin 2 2 sin2x x+ = + ( ) ( ) sin 2 1 . 2 sin 2 2 0x x⇔ − − = sin 2 1 2 sin 2 2 x x  =  ⇔  =   sin 2 1 1 sin 2 2 x x =   ⇔  =  ( Thỏa điều kiện (1) ) Giải các phương trình trên ta được : ( ) 5 ; ; 4 12 12 x k x k x k k Z π π π π π π = + = + = + ∈ 2. (1 đ) ĐK: ( ) 1 1 2 3 2 3 cos 0 2 2 3 cos 2 ; ; ; 2 4 5 2 2 ; 2 sin 4 4 2 x l x x x l l l l l Z x l x l x  π  ≠ + π  ≠    − π   ≠ ⇔ ≠ ± + π ∈     π π   ≠ − + π ≠ + π ≠ −     ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2sin 6 2cos 4 tan 0 4 2 sin 1 cos 2 2sin tan 1 sin 2 2sin 2 cos 2sin cos sin 1 sin 2 tan sin 2 1 1 sin 2 1 tan 0 cos pt x x x x x x x x x x x x x x x x x x x π π     ⇔ − π− − + π + + =  ÷  ÷     π   ⇔ − − = − ⇔ − = −  ÷   − ⇔ − = = − ⇔ − + = ( ) sin 2 1 4 tan 1 4 x k x x x k loai π  = + π  =  ⇔ ⇔   = − π   = − + π   So với điều kiện ( ) 2 4 x m m Z π = + π ∈ là nghiệm phương trình đã cho. 0.25đ 0.25đ 0.25 đ 0.25 đ 0.25 đ 0.25 đ 0.25 đ 0.25 đ Chú ý: Học sinh giải cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa. . AS và CK ta chọn các điểm P,Q sao cho PQ// BI Tính độ dài PQ biết cạnh của tứ diện có độ dài bằng 1. Hết Họ và tên : Số báo danh : K× thi chän häc sinh giái tØnh líp 11 Môn thi: to¸N. + + = + 3. Có bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau và khác 0 mà trong mỗi số luôn có mặt hai chữ số chẵn và hai chữ số lẻ. Bài 3 (2 điểm). 1. Cho dãy số k {x } xác định bởi: k 1. điểm). 1. Cho dãy số ( ) n u xác định bởi ( ) 1 * 1 4 1 4 4 1 2 9 n n n u u u u n N + =    = + + + ∀ ∈   . Tìm công thức số hạng tổng quát n u của dãy số. 2. Cho n là số tự nhiên, 2.n