KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 11 Môn thi: Toán Thời gian: 180 phút (Không kể thời gian giao đề) Câu I. Giải phương trình: 1xcos 12 xsin22 =       π − (1) Câu II. Cho dãy {u n } xác định bởi: 1 * 2 1 2 2012 2013 n n n u n N u u u + =   ∈  + =   Thành lập dãy: {S n } xác định bởi: 1 1 1 n i n i i u S u = + = − ∑ . Tìm lim n n S →∞ Câu III. Cho các số dương a, b, c thỏa mãn abc = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 3 1 1 1 1 1 1 a b c P b c c a b a = + + + + + + + + . Câu IV. 1)Cho hình chop .S ABCD đáy là hình thang, đáy lớn AB. Trên SA, BD lấy hai điểm M, N sao cho 2 3 SM SA= , 2 3 DN DB= . Qua N kẻ đường thẳng d song song với AB cắt AD, BC lần lượt tại H, K. a) Chứng minh rằng: ( ) / /MH SBD b) Gọi O là giao điểm của SB với ( ) MNH . Chứng minh: / /OK SC 2) Cho tứ diện đều ABCD có độ dài cạnh bằng 1. Gọi M, N lần lượt là hai điểm thuộc các cạnh AB, AC sao cho mặt phẳng (DMN) vuông góc với mặt phẳng (ABC). Đặt ,AM x= AN y= . Tìm ,x y để diện tích toàn phần của tứ diện DAMN nhỏ nhất. Câu V. 1)Nếu một số được chọn ngẫu nhiên từ một tập hợp gồm 5 chữ số trong đó tổng các chữ số bằng 43. Tính xác xuất để số được chọn chia hết cho 11. 2) Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho phần nguyên của 3 2 8 1 3 n n n + + là một số nguyên tố. HƯỚNG DẪN Câu I. Giải phương trình: 1xcos 12 xsin22 =       π − (1) (1) 1 12 sin 12 x2sin2 =       π −       π −⇔ 1 sin 2x sin 12 12 2 π π   ⇔ − − =  ÷   12 cos 6 sin2 12 sin 4 sin 12 x2sin ππ = π + π =       π −⇔ 12 5 sin 12 cos 12 x2sin π = π =       π −⇔ ( ) 5 7 2x k2 hay2x k2 k Z 12 12 12 12 π π π π ⇔ − = + π − = + π ∈ ( ) x k hay x k k Z 4 3 π π ⇔ = + π = + π ∈ Câu II. Cho dãy {u n } xác định bởi: 1 * 2 1 2 2012 2013 n n n u n N u u u + =   ∈  + =   Thành lập dãy: {S n } xác định bởi: 1 1 1 n i n i i u S u = + = − ∑ . Tìm lim n n S →∞ Giải: Tacó: ( ) 2 2 1 * 1 1 2 1 2012 2013 2013 2013 1 (*) ; 2013 2 n n n n n n n n n n n u u u u u u u u u n N u u u u u + + + + − = = − = + ∈ = ⇒ < < < < < Suy ra u n là dãy tăng Giả sử u n bị chặn trên lúc đó tồn tại số L sao cho lim ( 2) n n u L L →∞ = > . Từ (*) ta có : 1 ( 1) lim( ) lim lim 2013 n n n n n n n u u u u + →∞ →∞ →∞ − = + 1 ( 1) 0 2013 L L L L L L =  − ⇒ = + ⇒  =  (vô lý) ⇒ u n không bị chặn trên. Suy ra 1 lim lim 0 n n n n u u →∞ →∞ = +∞ ⇒ = Mặt khác : ( ) ( ) 2 1 1 1 1 1 1 2012 ( 1) 2013 2013 ( 1) 2013( ) 2013 1 1 1 1 1 2013 1 2013 1 1 1 1 n n n n n n n n n n n n n n n n n n n u u u u u u u u u u u u u u u u u u u + + + + + + + − = = +   ⇒ − = − = − − −       − ⇒ = − ⇒ = −  ÷  ÷ − − − −     1 2 1 2 2 1 1 1 1 2013 2013 1 1 1 1 1 u Cho n u u u u     = ⇒ = − = −  ÷  ÷ − − − −     Tương tự 2 3 2 3 1 1 1 1 2013 1 1 1 1 1 2013 1 1 1 n n n n u u u u u u u u + +   = −  ÷ − − −     = −  ÷ − − −   M M Cộng vế theo vế ta được : 1 1 1 1 2013 1 1 1 n i n i i n u S u u = + +   = = −  ÷ − −   ∑ ⇒ 1 1 lim lim 2013 1 2013 1 n n n n S u →∞ →∞ +   = − =  ÷ −   Câu III. Cho các số dương a, b, c thỏa mãn abc = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 3 1 1 1 1 1 1 a b c P b c c a b a = + + + + + + + + . HD: Áp dụng BĐT cauchy ta có: ( ) ( ) 3 1 1 3 1 1 8 8 4 a b c a b c + + + + ≥ + + Câu IV. 1)Cho hình chop .S ABCD đáy là hình thang, đáy lớn AB. Trên SA, BD lấy hai điểm M, N sao cho 2 3 SM SA= , 2 3 DN DB= . Qua N kẻ đường thẳng d song song với AB cắt AD, BC lần lượt tại H, K. a) Chứng minh rằng: ( ) / /MH SBD b) Gọi O là giao điểm của SB với ( ) MNH . Chứng minh: / /OK SC a) Chứng minh: ( ) / /MH SBD Chỉ ra được 2 3 DA SM DA SA = = Suy ra ( ) / / (SBD) MH//MH SD SBD⊂ ⇒ b) Chứng minh: / /OK SC Chỉ ra được: ( ) / /MO SB O SB∈ 1 1 ; 3 3 BO AM BK BN SB SA BC BD ⇒ = = = = / / . BO BK OK SC SB BC ⇒ = ⇒ 2) Cho tứ diện đều ABCD có độ dài cạnh bằng 1. Gọi M, N lần lượt là hai điểm thuộc các cạnh AB, AC sao cho mặt phẳng (DMN) vuông góc với mặt phẳng (ABC). Đặt ,AM x= AN y= . Tìm ,x y để diện tích toàn phần của tứ diện DAMN nhỏ nhất. Kẻ DH ⊥ MN , do (DMN) ⊥ (ABC) suy ra DH ⊥ (ABC). Mà ABCD là tứ diện đều, nên suy ra H là tâm của tam giác đều ABC. Ta có: S AMN = 2 1 .AM.AN.sin60 0 = xy 4 3 ; S AMN = S AMH + S ANH = 2 1 .AM.AH.sin30 0 + 2 1 .AN.AH.sin30 0 = 3 3 . 4 1 (x+y). Suy ra xy 4 3 = 3 3 . 4 1 (x+y) ⇒ x+y= 3xy (0 ≤ x,y ≤ 1 ). Diện tích toàn phần của tứ diện DAMN: S = S AMD + S AND + S DMN + S AMN = 2 1 AD.AM.sin60 0 + 2 1 AD.AN.sin60 0 + 2 1 DH.MN + 2 1 AM.AN.sin60 0. = 3 xy + )1xy3(xy3 6 6 − . Từ 2 4 3 2 . 3 9 xy x y xy xy xy= + ≥ ⇒ ≥ ⇒ ≥ Suy ra 3(4 2) min , 9 S + = khi 2 . 3 x y= = Câu V. 1)Nếu một số được chọn ngẫu nhiên từ một tập hợp gồm 5 chữ số trong đó tổng các chữ số bằng 43. Tính xác xuất để số được chọn chia hết cho 11. Trong cơ số 10, chữ số lớn nhất là 9 nên tổng d 1 + d 2 + d 3 + d 4 + d 5 của 5 chữ số lớn nhất bằng 45. Nhưng theo giả thiết, tổng của các chữ số trong số được chọn là 43 = 45 – 2 nên có thể xảy ra các trường hợp sau: - Một chữ số là 7, tất cả các chữ số còn lại đều bằng 9 là 79999 ; 97999 ; 99799 ; 99997 : có 5 số như vậy. - - Hai chữ số đều là 8, ba chữ số còn lại đều là 9. có tất cả 5.4 10 2 = số như vậy. Chẳng hạn: 88999 ; 89899 ; . . . ; 99988 - Vậy tất cả có 15 số trong đó mỗi số có 5 chữ số có tổng bằng 43. để số được chọn chia hết cho 11 thì cần và đủ là: - d 1 - d 2 + d 3 - d 4 + d 5 chia hết cho 11 - Chỉ có 3 số trong 15 số nói trên thoả mãn điều kiện đó: 97999 ; 99979 và 98989. Nên xác xuất cần tìm là 3 1 15 5 = 2) Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho phần nguyên của 3 2 8 1 3 n n n + + là một số nguyên tố. Gọi S là tập hợp các số nguyên tố Trường hợp 1: 3n k= [ ] ( ) 2 2 2 8 1 1 3 8 3 3 3 9 3 8 3 8 n n A k k n k A k k k k = + + = + + = + = + [ ] 1 3A S k n∈ ⇔ = ⇔ = Trường hợp 2: 3 1n k= + [ ] ( ) ( ) [ ] 2 2 2 2 8 1 1 8 1 1 3 2 8 3 10 3 3 3 3 3 3 3 3 3 10 3 3 3 1 0 1 n n A k k k k k n n n A k k k k A S k n = + + = + + + + + = + + + = + + = + + ∈ ⇔ = ⇔ = Trường hợp 3: ( ) 3 2 1n k n= + > [ ] 2 2 2 2 4 16 1 2 1 3 4 8 3 12 6 3 3 3 3 3 3 12 6 3 4 2 A k k k k k n n A k k k k S = + + + + + = + + + +   = + + = + + ∉   Kết luận: [ ] { } 1;3A S n∈ ⇔ ∈ . KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 11 Môn thi: Toán Thời gian: 180 phút (Không kể thời gian giao đề) Câu I. Giải phương trình: 1xcos 12 xsin22. = Câu V. 1)Nếu một số được chọn ngẫu nhiên từ một tập hợp gồm 5 chữ số trong đó tổng các chữ số bằng 43. Tính xác xuất để số được chọn chia hết cho 11. Trong cơ số 10, chữ số lớn nhất là 9 nên. 5 số như vậy. - - Hai chữ số đều là 8, ba chữ số còn lại đều là 9. có tất cả 5.4 10 2 = số như vậy. Chẳng hạn: 88999 ; 89899 ; . . . ; 99988 - Vậy tất cả có 15 số trong đó mỗi số có 5 chữ số