S GIÁO D C ðÀO T O T NH B C GIANG TRƯ NG THPT CHUYÊN B C GIANG L I THU H NG TR N TH HÀ PHƯƠNG NGUY N VĂN TI N H TH C LƯ NG TRONG CÁC HÌNH PH NG T : Tốn - Tin Năm h c: 2009 - 2010 Mã s : B c Giang, tháng năm 2010 M cl c M ñ u Trang Chương I Các d ng toán b n I.1 Các h th c ñư c phép s d ng tam giác (các h th c lo i I) I.1.1 H th c lư ng tam giác vuông I.1.2 H th c lư ng tam giác thư ng I.1.3 H th c lư ng hình khác I.2 Các phương pháp ch ng minh ñ ng th c tam giác M t s ñ ng th c thư ng g p tam giác (các ñ ng th c lo i II) 10 I.2.1 Phương pháp bi n ñ i m t v v v 10 I.2.2 Phương pháp bi n ñ i h qu 11 I.2.3 Phương pháp s d ng hình v 13 I.2.4 Các phương pháp khác 14 I.2.5 Bài t p rèn luy n 17 I.3 Các phương pháp ch ng minh b t ñ ng th c tam giác M t s b t ñ ng th c thư ng g p tam giác (các b t ñ ng th c lo i II) 18 I.3.1 Phương pháp ñánh giá 18 I.3.2 Phương pháp bi n ñ i h qu 20 I.3.2 Phương pháp s d ng vectơ 23 I.3.4 Phương pháp bi n ñ i tương ñương 26 I.3.5 Phương pháp s d ng tam th c b c hai 28 I.3.6 Các phương pháp khác 30 I.4 Bài toán nh n d ng tam giác 35 I.4.1 Bài toán 35 I.4.2 Bài toán 37 I.4.3 Bài toán 38 I.4.4 Bài toán 40 I.4.5 Phương pháp b t ñ ng th c gi i toán nh n d ng tam giác Chương II Phân lo i t p 41 45 II.1 M t s t p v ñi m tam giác 45 II.2 M t s t p v di n tích tam giác 49 II.3 M t s t p v ñư ng trung n c a tam giác 52 II.4 M t s t p v ñư ng cao c a tam giác 57 II.5 M t s t p v ñư ng phân giác c a tam giác 60 II.6 M t s t p v nh n d ng tam giác 65 II.7 M t s t p v ñ ng th c tam giác 77 II.8 M t s t p v b t ñ ng th c tam giác 78 II.9 M t s t p d ng khác 81 Chương III M t s ki n th c b sung cho h c sinh gi i 82 K t lu n 92 Tài li u tham kh o 93 M ñ u Các t p ph n toán tam giác t p thư ng g p kỳ thi ð i h c, thi h c sinh gi i c p T nh, c p Qu c gia Qu c t Tuy nhiên t p ph n thư ng gây khơng khó khăn cho h c sinh sách giáo khoa t p ph n không ñư c ñ c p nhi u M c ñích c a nh ng ngư i vi t chuyên ñ cung c p cho thày cô giáo em h c sinh ham thích h c toán m t h th ng lý thuy t t p tương ñ i ñ y ñ v d ng t p tam giác, ph c v cho vi c ôn luy n thi ð i h c luy n thi h c sinh gi i c p Bài t p ñư c phân lo i theo t ng ch ñ g m c ba lo i: d , v a, khó ho c r t khó R t ti c khn kh c a chun đ nên ch có m t s ví d đư c gi i m u Vi c gi i t p ñư c dành cho b n ñ c Trong chuyên ñ , m c đ khó d c a t ng t p khơng đư c ch c th không tránh kh i trư ng h p t p c a ph n có s trùng h p Chun đ g m 44 ví d 500 t p ñư c l y t nhi u ngu n khác Tuy nhiên, lư ng t p khơng th đư c đ y ñ mong mu n, l i không th quét h t d ng có th g p kỳ thi Chuyên ñ ñã ñư c chúng tơi s d ng đ d y cho l p chuyên Toán, Tin, Lý, Hoá c a Trư ng THPT chuyên B c Giang ñư c dùng ñ luy n thi ð i h c nhi u năm Ph n l n ki n th c ñư c s d ng ch ki n th c c a chương trình Tốn b c ph thơng (sau h c xong ph n hàm s lư ng giác SGK ðS & GT 11) M t s ki n th c b sung dành cho HSG ñư c trình bày cu i chun đ Trong chun đ khơng trình bày ph n lý thuy t c a phương pháp: Vectơ ; Bi n hình ; To ñ ; Hàm s ; Tâm t c Tr ng tâm h m có đưa m t s t p ñư c gi i b ng phương pháp Ph n lí thuy t c a phương pháp s ñư c trình bày k chun đ khác Sau ph n m ñ u, chuyên ñ g m chương: Chương I Các d ng toán b n Trong chương chúng tơi trình bày nh ng ki n th c giáo khoa, ñư c s d ng kì thi phân d ng t p v i phương pháp gi i tương ng Chương I ñư c dùng ñ d y l p tương ng v i ti t d y v i ñi u ki n h c sinh có tài li u Chương II Phân lo i t p Trong chương ñưa h th ng t p liên quan ñ n t ng d ng toán c th Chương II M t s ki n th c b sung cho h c sinh gi i Chương ñư c ñưa m t ph l c, b sung nh ng ki n th c quan tr ng c a hình h c tam giác mà thư ng g p kì thi h c sinh gi i Nh ng ki n th c c a chương ch dành cho h c sinh l p chuyên toán ho c h c sinh c a ñ i n thi h c sinh gi i qu c gia tham kh o Tài li u tham kh o ñư c cho trang cu i Do hi n có nhi u tài li u ph c v cho vi c nâng cao trình đ tốn h c luy n thi nên ch ñưa m t s tài li u quan tr ng nh t Trong trình s d ng chuyên ñ ñ d y h c, sau m i ph n lý thuy t giáo viên nên ch n l c t p t d ñ n khó đ trình bày cho h c sinh Các t p cịn l i đ luy n t p nhà Các ñ nh lý ñư c ñưa n u khơng có SGK nên đư c ch ng minh ñ y ñ l p Tuy nhiên, chun đ khơng th tránh kh i nh ng sai sót nh t đ nh R t mong nh n đư c s góp ý, b sung c a b n đ c đ có th t o đư c m t tài li u t t nh m ph c v cho vi c nâng cao trình ñ d y h c toán c a giáo viên h c sinh T nh B c Giang Các tác gi xin chân thành c m ơn B c giang, ngày 28 tháng 03 năm 2010 Chương I Các d ng toán b n I.1 Các h th c ñư c phép s d ng tam giác (các h th c lo i I) I.1.1 H th c lư ng tam giác vuông Trong tam giác vuông ABC, (C = 900) H CH ⊥ AB ; MA = MB (xem Hình 1) V i ký hi u quy c ta ln có A + B = 900 A sinA = M a c c = 2R sinB = b c mc = c = AB H m a c cosB = b' = AH CA =b a' = BH h a2 + b2 = c2 B C a = BC cosA = Hình 11.a2 = a'c b c 1 = 2+ h2 a c 10 S = c = R ab 13 h2 = a'b' 12.b2 = b'c (trong a' ; b' l n lư t hình chi u c a c nh vuông a ; b lên c nh huy n c, h ; mc tương ng ñư ng cao trung n k t C) 14 tan A = 17 cot B = a b a b 20 tan A = cot B 15 cot A = b a 16 tan B = 18 sinA = cosB 19 cosA = sinB 21 cot A = tan B b a 22 a ≤ c; b ≤ c (d u b ng x y ch tam giác suy bi n thành ño n th ng) Các h th c t đ n 22 cịn đư c g i u ki n c n (tính ch t) c a tam giác ABC vuông t i C Ngư c l i, n u tam giác ABC tho mãn m t h th c t đ n 13 tam giác ABC vng t i C Các h th c t ñ n 13 đư c g i u ki n ñ (d u hi u), ñi u ki n c n ñ ñ tam giác ABC vuông t i C, h th c xác đ nh d ng vng c a tam giác ð ch ng minh tam giác ABC vuông t i C ta ch c n ch ng minh r ng tho mãn m t h th c t ñ n 13 N u góc A, B nh n h th c t 14 ñ n 21 ñi u ki n đ đ tam giác ABC vng t i C Tương t ta có u ki n c n; ñi u ki n ñ ñ tam giác ABC vuông t i A ho c vuông t i B I.1.2 H th c lư ng tam giác thư ng Trong tam giác ABC b t kỳ V i ký hi u quy c ta ln có (1) A + B + C = π h qu • sin(A + B) = sinC • cos(A + B) = − cosC 2 2 • sin (A + B) = cos C • cos (A + B) = sin C • tan (A + B) = − tan C (C ≠ π) ↺ • cot (A + B) = − cot C • tan 1 (A + B) = cot C 2 • cot 1 (A + B) = tan C 2 Nhi u h th c tam giác có tính ch t hốn v vịng quanh "H th c v n ta hốn v vịng quanh ký hi u a, b, c (a → b → c → a) ho c A, B, C (A → B → C → A)" ð i v i h th c v y, thay vào vi c vi t c ba h th c, ta ch vi t m t h th c kèm theo kí hi u hốn v vịng quanh: ↺ Chú ý r ng ký hi u S; p; r khơng đ i qua phép hốn v vịng quanh (2) (ð nh lý hàm s sin) a = R sin A a b c  = = = R b = R sin B sin A sin B sin C c = R sin C  (3) (ð nh lý hàm s cosin) a2 = b2 + c2 − 2bc.cosA b2 + c − a2 cosA = 2bc (4) (5) ↺ ↺ Tam giác ABC có i) góc A nh n ch a2 < b2 + c2 ; ii) góc A vng ch a2 = b2 + c2 ; ↺ iii) góc A tù ch a2 > b2 + c2 (6) (7) a = bcosC + ccosB r = (p - a)tan (9) 1 A = (p - b)tan B = (p - c)tan C 2 = ptan (8) ↺ A ↺ Các cơng th c tính di n tích c a tam giác (xem Chương II m c 2) (10) Các tính ch t c a đư ng trung n tam giác (xem Chương II.3) (11) Các tính ch t c a đư ng cao tam giác (xem Chương II.4) (12) Các tính ch t c a ñư ng phân giác tam giác (xem Chương II.5) (13) < A, B, C < π (14) |b-c| ; p - b > ; p - c > ↺ B≥C ⇔ b≥c; (16) (B - C)(b - c) ≥ ; (B - C)(sinB - sinC) ≥ ; (B - C)(cosB - cosC) ≥ ; (b - c)(sinB - sinC) ≥ ; (17) ↺ (b - c)(cosB - cosC) ≥ ð nh lý v t s di n tích Cho hai đư ng th ng d ∆ c t t i O Trên d l y hai ñi m A ; B ≠ O, dt (OAB ) OA.OB = dt (OA ' B ') OA '.OB ' ∆ l y hai ñi m A' ; B' ≠ O Khi (18) ð nh lý Ceva (19) ð nh lý Menelaus (xem Chương III) (xem Chương III) (20) x, y, z ñ dài c nh c a m t tam giác ch  x > 0; y > 0; z > x + y > z   y + z > x  z + x > y  (21) N u x ≤ y ≤ z x, y, z ñ dài c nh c a m t tam giác ch x >   x + y > z 22 N u a + b + c = ba vectơ a , b , c có hai vectơ khơng c ng n t ba đo n th ng có ñ dài | a |, | b |, | c | có th d ng đư c m t tam giác (22) Trong tam giác ñ u c nh a có a a 3a a2 R= ;r= ;p= ;S= I.1.3 H th c lư ng hình khác Trong hình vng c nh a, đư ng chéo d, ta có d =a 2; R= a a ; r = ; S = a2; p = 2a 2 Trong l c giác ñ u c nh a v i đư ng chéo d, ta có a 3a d = 2a; R = a; R = ;S= ; p = 3a 2 Cho t giác ABCD l i Khi • A + B + C + D = 2π • ABCD n i ti p ch x y m t ñi u ki n sau i) A + C = π ho c B + D = π ho c A + C = B + D ii) PA⋅PD = PB⋅PC (P giao ñi m c a AD BC) iii) QA⋅QD = QB⋅QC (Q giao ñi m c a AB CD) iv) MA⋅MC = MB⋅MD (M giao ñi m c a AC BD) v) AC⋅.BD = AD⋅BC + AB⋅CD (ð nh lý Ptoleme) • ABCD ngo i ti p ch AB + CD = AD + BC Trong hình bình hành v i c nh a, b ñư ng chéo m, n G i α góc gi a c nh β góc gi a đư ng chéo Khi ta có • m2 + n2 = 2(a2 + b2) • S = absinα = Cho hình ch nh t v i c nh a, b, ñư ng chéo d Khi ñó ta có d= mnsinβ a2 + b2 ; R = a + b ; S = ab Cho đư ng trịn C tâm O, bán kính R, ký hi u C(O ; R) Khi đó, kí hi u ρ kho ng cách t O ñ n d, ta có • ðư ng th ng d ti p xúc v i C ch ρ = R ; • ðư ng th ng d khơng có m chung v i C ch ρ > R ; 8) Cho tam giác ABC nh n M ñi m b t kỳ thu c mi n c a tam giác G i x ; y ; z l n lư t kho ng cách t M ñ n c nh BC ; CA ; AB Ch ng minh r ng 9) Ch ng minh r ng a2 + b2 + c2 x+ y+ z≤ 2R ∑ cos( A , B ,C 10) Ch ng minh r ng A−B π ) ≤ ∑ cos ( A − ) 3 A , B ,C ∑ sin Asin2 A < ( ∑ sin A)( ∑ sin A) A, B ,C ∑ cos 11) A , B ,C A,B ,C A, B ,C A 3 A ≤ + ∑ cos A , B ,C π 12) {a, b, c } l p thành c p s c ng Ch ng minh r ng B ≤ 13) Trong m i tam giác ABC tìm tam giác làm cho bi u th c sau ñ t giá tr l n nh t 14) P= sin A + sin B + sin C A B C cos + cos + cos 2 Ch ng minh r ng ∏ (1 + A , B ,C A sin ) ≥ 27 2 15) Ch ng minh r ng cosAcosBcosC ≤ sin A sin B sin C 16) Ch ng minh r ng m t tam giác ABC ta ln có (1 − cosA)(1 − cosB)(1 − cosC) ≥ cosAcosBcosC 17) 18) Ch ng minh r ng Ch ng minh r ng a b c + + ≥ b+c−a c+a−b a+b−c ∑ A−B ≥ C sin cos A , B ,C 19) Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c 20) Tìm giá tr bé nh t c a bi u th c sin A + sin B + sin C M= cos2 A + cos B + cos C M= 79 2 + + + cos A + cos B − cos 2C 21) Ch ng minh r ng n u góc A, B, C tho mãn u ki n cos2A + cos2B + cos2C ≥ −1 sinA + sinB + sinC ≤ + 22) ∑ sin Ch ng minh r ng A , B ,C 23) A ≥ ∑ A , B ,C A cos Ch ng minh r ng n u tam giác ABC nh n (sinA)2sinB + (sinB)2sinC + (sinC)2sinA > B t đ ng th c cịn khơng n u tam giác ABC vuông 24) Ch ng minh r ng n u tam giác ABC nh n tan 8A + tan 8B + tan 8C ≥ 9tan 2Atan 2Btan 2C 25) Cho tam giác ABC có a ≥ b ≥ c di n tích = Ch ng minh r ng b≥ 26) Cho tam giác ABC G i D trung ñi m c a AB cịn E ; F m b t kỳ l n lư t thu c AC ; BC Ch ng minh r ng dt(DEF) ≤ dt(ADE) + dt(BDF) 27) Trong tam giác ABC có phân giác AD ; trung n BM ñư ng cao CH ñ ng quy Ch ng minh r ng ∠BAC > 450 R+r≥ S 28) Ch ng minh r ng 29) Ch ng minh r ng V i m i α ∈ R ; α ≥ ta ln có α R + (α + 1)r ≥ 30) 3α + S Cho tam giác ABC nh n P ñi m thu c mi n c a tam giác H PM ; PN ; PL l n lư t vng góc v i c nh AC ; AB ; BC Hãy tìm v trí c a m P cho f = BL2 + CM2 + AN2 nh nh t S ≤ R + r + 2max{ha ; hb ; hc} + max{ra ; rb ; rc} 31) Ch ng minh r ng 32) Ch ng minh r ng a2 ≤ b2 + c2 + R2 33) 1 4R Ch ng minh r ng + + ≥ 33 rb rc rabc(a + b + c) 80 II.9 Các t p d ng khác B 1) Các c nh góc c a tam giác ABC tho mãn cos cos C b+c A = + sin 2 a Hãy tính góc A c a tam giác ñó 2) Các góc c a tam giác ABC tho mãn sin2A + sin2B = sin C Bi t r ng góc A B nh n Hãy tính góc C 3) Tính góc c a tam giác ABC bi t r ng A + B = 2C a + b = 2c 4) Trên cung AB c a đư ng trịn ngo i ti p tam giác ñ u ABC l y ñi m M Bi t r ng MA = 1; MB = Tính MC 5) Xác đ nh góc c a tam giác ABC bi t cos A + cos B + cos C =   2 cos A + cos B + cos C ≥  6) Các góc c a tam giác ABC tho mãn ñi u ki n cosC(sinA + sinB) = sinCcos(A − B) Hãy tính cosA + cosB 7) Hãy tính góc c a tam giác ABC bi t b + c ≤ a   sin A + sin B + sin C = +  8) Hãy tính góc c a tam giác ABC bi t sin2A + sin2B + 2sinA.sinB = cos2C + 3cosC + 9) Xét xem m nh đ sau có khơng? " N u m t tam giác mà t ng kho ng cách t tâm đư ng trịn ngo i ti p ñ n ba c nh b ng 3R (R bán kính đư ng trịn ngo i ti p) tam giác tam giác ñ u 10) Cho tam giác ñ u ABC M m t m b t kỳ khơng gian Ch ng minh r ng t ño n MA ; MB ; MC ln d ng đư c m t tam giác 81 Chương III Các ki n th c b sung ð i v i h c sinh gi i c n b sung thêm m t s ki n th c sau ð nh lý Ceva (Italia 1647 - 1734) Cho tam giác ABC ba ñư ng th ng AA', BB', CC' xu t phát t ñ nh c a tam giác c t ñư ng th ng ch a c nh ñ i di n t i A', B', C' ñ u n m ba c nh c a tam giác ho c m t ba ñi m ñó n m m t c nh c a tam giác cịn hai m n m ph n kéo dài c a hai c nh l i ði u ki n c n ñ ñ AA', BB', CC' ñ ng quy ho c song song v i ta có h th c AB ' CA ' BC ' = (ði m ñ ng quy ñư c g i ñi m B 'C A' B C' A Ceva Các ñư ng AA', BB', CC' ñư c g i ñư ng th ng Ceva) Các ñư ng th ng đ ng quy đ c bi t • Ba ñư ng trung n ñ ng quy (T i tr ng tâm G c a tam giác) • Ba ñư ng phân giác ñ ng quy (T i tâm đ trịn n i ti p I c a tam giác) • Ba đư ng cao đ ng quy (T i tr c tâm H c a tam giác) • Ba ñư ng trung tr c ñ ng quy (T i tâm đ trịn ngo i ti p O c a tam giác) • ðư ng phân giác c a góc (A) hai đư ng phân giác ngồi c a hai góc (B C) đ ng quy (T i Ia tâm đư ng trịn bàng ti p v i c nh a c a tam giác ABC) (*) • Các đư ng th ng ñi qua ñ nh c a tam giác ti p ñi m c a c nh ñ i di n v i đư ng trịn n i ti p đ ng quy (T i m g i m Gergonne Pháp 1771 - 1859) • Các ñư ng th ng ñi qua ñ nh c a tam giác ti p ñi m c a c nh đ i di n v i đư ng trịn bàng ti p v i c nh đ ng quy (T i ñi m g i ñi m Nagel ð c 1821 - 1903) Trong m t tam giác ABC n u có ba đư ng th ng AA', BB', CC' ñ ng quy t i m t ñi m K n m tam giác 82 • AK AB ' AC ' = + KA ' B ' C C ' B • KA ' KB ' KC ' + + = vµ AA ' BB ' CC ' (ð nh lý Van Oben) AK BK CK + + = (ð nh lý Gergonne) AA ' BB ' CC ' ð nh lý Poncelet (Pháp 1788 - 1867) (M r ng c a ñ nh lý Ceva) Các ñư ng th ng n i ñ nh c a m t ña giác l i có s l c nh v i m t ñi m b t kỳ bên ña giác xác ñ nh c nh ñ i di n (mà ñư ng th ng ñó c t) nh ng đo n th ng mà tích c a nh ng đo n khơng có đ u mút chung b ng tích c a nh ng đo n l i ð nh lý Menelaus (Hi l p I - A.D.) Cho tam giác ABC ba ñi m A', B', C' ñư ng th ng ch a c nh BC, CA, AB cho ho c c ba ñi m A', B', C' ñ u n m ph n kéo dài c a ba c nh, ho c m t ba m n m ph n kéo dài c a m t c nh cịn hai m n m hai c nh c a tam giác ði u ki n c n ñ ñ A', B', C' th ng hàng ta có h th c AB' CA' BC ' = B'C A'B C 'A Các ñi m th ng hàng m t tam giác (t ð nh lý Menelaus) • Trong tam giác cân, trung m c a c nh ñáy; chân ñư ng phân giác c a m t góc đáy chân đư ng phân giác ngồi c a góc đáy ba m th ng hàng • Chân đư ng phân giác c a hai góc chân đư ng phân giác ngồi c a góc th ba ba m th ng hàng • Chân c a ba đư ng phân giác ngồi ba m th ng hàng • Hình chi u c a m t ñi m b t kỳ thu c ñư ng tròn ngo i ti p tam giác ABC lên c nh AB, BC, CA c a tam giác ba ñi m th ng hàng (ðư ng th ng qua ba m đư c g i ñư ng th ng Simson (Scotland 1867 - 1768)) 83 • O ; G ; H ba ñi m th ng hàng (ðư ng th ng qua ba ñi m đư c g i đư ng th ng Euler) ð nh lý Stewart (Scotland 1717 - 1785) Trong m t tam giác ABC n u ño n th ng AD = d chia c nh BC thành nh ng ño n BD = m ; CD = n ad2 = mb2 + nc2 − amn (H th c Stewart) ð nh lý Euler (Th y Sĩ 1707 - 1783) IO2 = R2 − 2Rr (H th c Euler) ð nh lý Leibniz (ð c 1646 - 1716) Cho P ñi m b t kỳ m t ph ng (ABC) Khi PA2 + PB2 + PC2 = GA2 + GB2 + GC2 + 3PG2 (H th c Leibniz) 10 ð nh lý Carnot (Pháp 1753 - 1823) Trong m t tam giác t ng kho ng cách t tâm ñư ng trịn ngo i ti p đ n c nh b ng t ng bán kính c a ñư ng tròn ngo i ti p n i ti p 11 ð nh lý Steiner - Lenmus (Steiner Th y Sĩ 1796 - 1863) Tam giác có hai phân giác b ng m t tam giác cân 12 ð nh lý Fagnano (Italia 1682 - 1766) Trong t t c tam giác n i ti p m t tam giác ABC cho trư c, tam giác tr c tâm (có ba đ nh chân ba đư ng cao) tam giác có chu vi nh nh t 13 Bài toán Napoleon (Pháp 1769 - 1821) N u c nh c a m t tam giác b t kỳ, v phía ngồi c a nó, ta d ng tam giác ñ u tâm c a tam giác ñ u ñ nh c a m t tam giác ñ u 14 ð nh lý Torricelli I (Italia 1608 - 1647) • N u c nh c a m t tam giác ABC b t kỳ, v phía ngồi c a nó, ta d ng tam giác đ u BCA'; CAB'; ABC' đư ng tròn ngo i ti p c a tam giác ñ u c t t i m t ñi m T (T ñư c g i ñi m Torricelli c a tam giác ABC) • N u A < 1200 T m c a tam giác ABC cho 84 ∠ATB = ∠BTC = ∠CTA = 1200 • N u A = 1200 T ≡ A • N u A > 1200 T m thu c mi n c a tam giác ABC cho ∠BTC = 1200, cịn ∠BTA = ∠CTA = 600 • AA'; BB'; CC' ñ ng quy t i T 15 ð nh lý Torricelli II N u tam giác ABC có góc l n nh t A ≤ 1200 M ñi m thu c m t ph ng (ABC) MA + MB + MC nh nh t ch M ≡ T 16 ðư ng tròn Euler Trong m t tam giác, trung ñi m c nh, chân ñư ng cao trung ñi m ño n th ng n i ñ nh c a tam giác v i tr c tâm ñi m n m m t ñư ng trịn (E) (ðư ng trịn đư c g i đư ng trịn chín m đư ng trịn Euler) 17 Các tính ch t c a đư ng trịn Euler • Tâm E c a ñư ng tròn Euler trung ñi m c a OH • ðư ng kính c a đư ng trịn Euler b ng bán kính R c a đư ng trịn ngo i ti p tam giác ABC • (E, R) = VH [(O, R)] • B n ñi m O, E, G, H th ng hàng (cùng thu c ñư ng th ng Euler) l p thành m t hàng m u hồ • EG = 1 R − (a2 + b + c ) GO = • Trung m đo n th ng n i ñ nh c a tam giácABC v i tr c tâm H c a đư c g i ba ñi m Euler c a tam giác ABC 18 ð nh lý Hamilton (Ai-len 1805 - 1865) Các tam giác ABC, ABH, BCH, ACH (H tr c tâm c a tam giác ABC) có đư ng tròn Euler chung 85 19 ð nh lý Feuerbach (ð c 1800 - 1834) Trong m t tam giác ñư ng tròn Euler ti p xúc v i ñư ng tròn n i ti p ti p xúc ngồi v i đư ng trịn bàng ti p 20 ð nh lý Morley (Anh 1860 - 1937) Trong m t tam giác ABC b t kỳ, giao ñi m X, Y, Z c a ñư ng chia ba góc k v i m i c nh ñ nh c a m t tam giác ñ u 21 ði m ñ ng c đư ng đ ng c • ð nh nghĩa +) Hai ñi m thu c m t c nh c a m t tam giác cách ñ u trung ñi m c a c nh ñó ñư c g i hai ñi m ñ ng c +) Hai ñư ng th ng n i m t ñ nh c a tam giác v i hai ñi m ñ ng c c nh ñ i di n ñư c g i hai đư ng th ng đ ng c • ð nh lý N u ba ñư ng th ng AA', BB', CC' c a m t tam giác ABC mà đ ng quy ba đư ng th ng ñ ng c c a chúng AA1, BB1, CC1 đ ng quy • ð nh lý N u m t cát n c t ba c nh c a m t tam giác ABC t i m A', B', C' m A1, B1, C1 ñ ng c v i chúng th ng hàng 22.ðư ng ñ ng giác ñi m ñ ng giác • ð nh nghĩa +) Hai ñư ng th ng xu t phát t m t ñ nh c a tam giác ABC ñ i x ng v i qua ñư ng phân giác c a góc đư c g i hai ñư ng th ng ñ ng giác (ñ i v i đư ng phân giác ho c ñ i v i hai c nh c a góc ñó) +) Hai ñi m ñư c g i ñ ng giác n u ñư ng th ng n i chúng v i m i ñ nh c a tam giác nh ng c p ñư ng ñ ng giác • ð nh lý N u chi u hai ñi m M, N hai ñư ng đ ng giác c a m t góc xu ng hai c nh c a góc t i m M1, M2 N1, N2 +) Tích kho ng cách t hai m đ n m t c nh b ng tích kho ng cách t hai m đ n c nh th hai T c MM1.NN1 = MM2.NN2 86 +) B n ñi m M1, M2, N1, N2 m t đư ng trịn +) ðư ng đ ng giác vng góc v i đư ng n i hình chi u c a m t m ñư ng ñ ng giác lên hai c nh c a góc T c AN ⊥ M1M2 AM ⊥ N1N2 • ð nh lý (ñ o) N u chi u hai ñi m M, N hai bên ñư ng phân giác c a m t góc xAy xu ng hai c nh c a góc t i m M1, M2 N1, N2 mà ta có đ ng th c MM1.NN1 = MM2.NN2 AM AN hai đư ng th ng ñ ng giác ñ i v i hai c nh c a góc xAy • ð nh lý (Steiner) T s gi a tích kho ng cách t m t ñ nh c a tam giác ñ n chân ñư ng ñ ng giác tích kho ng cách t đ nh ñ n chân ñư ng ñ ng giác nói b ng t s bình phương c nh k • ð nh lý N u ñư ng th ng AA', BB', CC' k t ñ nh c a tam giác ABC c t ñư ng th ng ch a c nh ñ i t i ba ñi m th ng hàng đư ng th ng đ ng giác v i chúng c t c nh tương ng t i ba m th ng hàng • ð nh lý Trong m t tam giác nh ng ñư ng th ng ñ ng giác v i m t b ba ñư ng th ng Ceva m t b ba đư ng th ng Ceva • ð nh lý Trong m t tam giác bán kính đư ng trịn ngo i ti p qua m t đ nh đ ng giác v i ñư ng cao c a tam giác h t ñ nh • Tính ch t c a m đ ng giác +) Tích kho ng cách t ñi m ñ ng giác ñ n m i c nh c a tam giác m t s khơng đ i 87 +) Hình chi u c a hai ñi m ñ ng giác c a m t tam giác lên c nh c a tam giác sáu ñi m n m m t đư ng trịn • ð nh lý Trong m t tam giác tích kho ng cách t tr c tâm t tâm đư ng trịn ngo i ti p tam giác ñ n m i c nh c a tam giác m t s không ñ i 23 ði m Broca • ð nh nghĩa ði m Ω n m tam giác ABC cho ∠ΩAB = ∠ ΩBC = ∠ ΩCA = ϕ ñư c g i ñi m Broca (th nh t) Góc ϕ đư c g i góc Broca • ð nh nghĩa Do ba đư ng th ng ΩA, ΩB, ΩC ñ ng quy (t i Ω) nên ba ñư ng th ng ñ ng giác v i ΩA, ΩB, ΩC ñ ng quy t i m t ñi m Ω' ði m Ω' ñư c g i ñi m Broca th hai • Cách d ng +) D ng ñi m Broca th nh t Ω giao ñi m c a ñư ng tròn Φ1 qua hai ñ nh A, C ti p xúc v i AB t i A v i đư ng trịn Φ2 qua hai đ nh A, B ti p xúc v i BC t i B +) D ng ñi m Broca th hai Ω' giao m c a đư ng trịn Φ3 qua hai ñ nh A, C ti p xúc v i BC t i C v i ñư ng trịn Φ4 qua hai đ nh A, B ti p xúc v i AC t i A 24 ðư ng đ i trung • ð nh nghĩa Trong m t tam giác ñư ng th ng ñ ng giác v i m t trung n ñư c g i đư ng đ i trung Thí d tam giác vng đư ng cao h xu ng c nh huy n m t ñư ng ñ i trung • ð nh lý ðư ng đ i trung chia c nh ñ i di n thành hai đo n t l v i bình phương c nh k 88 • ð nh lý (ð o) Trong tam giác ABC n u m t ñư ng th ng AN chia c nh BN c = AN m t đư ng ñ i trung NC b BC theo t l • ð nh lý ðư ng ñ i trung qu tích m có kho ng cách ñ n hai c nh c a m t tam giác t l v i c nh d ( P, AB ) AB = d ( P, AC) AC • ð nh lý Trong m t tam giác ñư ng ñ i trung ñ ng quy t i m t m (ði m ñư c g i ñi m Lemoine (Pháp 1840 - 1912).) • ð nh lý G i AS ñư ng ñ i trung h t ñ nh A Khi AS = bc 2(b + c2 ) − a 2 b +c 25 ðư ng đ i phân giác • ð nh nghĩa ðư ng th ng ñ ng c c a m t phân giác ñư c g i m t đ i phân giác • H qu +) ðư ng ñ i phân giác chia c nh ñ i di n theo t l ngh ch c a c nh k +) Các ñư ng ñ i phân giác c a m t tam giác c t t i m t ñi m ði m đư c g i tâm ñ i phân giác • ð nh lý ðư ng đ i phân giác qu tích ñi m mà kho ng cách ñ n hai c nh c a tam giác t l ngh ch v i bình phương c a c nh 26 ðư ng th ng [n] • ð nh nghĩa ðư ng th ng xu t phát t m t ñ nh c a tam giác chia c nh ñ i di n thành hai ño n t l v i lu th a b c n c a hai c nh k ñư c g i ñư ng th ng [n] (n ∈ Z) • Thí d +) Trung n ñư ng th ng [0] +) Phân giác ñư ng th ng [1] +) ðư ng ñ i trung ñư ng th ng [2] 89 +) ðư ng ñ i phân giác ñư ng th ng [- 1] • ð nh lý Ba ñư ng th ng [n] xu t phát t ñ nh c a m t tam giác ñ ng quy t i m t ñi m (ði m đư c g i m Kn) • ð nh lý Nh ng ñư ng th ng ñ ng giác v i m t b ba ñư ng th ng [n] ñ ng quy l p thành m t b ba ñư ng th ng ñ ng quy 27 Kho ng cách gi a ñi m ñ c bi t tam giác • OG = R2 − a2 + b2 + c2 9 R − (a2 + b + c ) • EG = (= OG) 9r − p + 2(a + b + c ) • IG = • OI2 = R2 - 2Rr • IaO2 = R2 + 2Rra • EI = (*) R - r • EIa = • GH = R + 2 R − (a + b + c ) (= OG) 3 • HA2 + HB2 + HC2 = 12R2 - (a2 + b2 + c2) • EA2 + EB2 + EC2 = • ma4 + mb4 + mc4 = 28 ð nh lý (3R2 + a2 + b2 + c2) (a + b4 + c4) 16 ðo n th ng n i tâm đư ng trịn n i ti p tâm đư ng trịn bàng ti p b đư ng trịn ngo i ti p chia đơi 90 29 ð nh lý Di n tích c a m t tam giác nh n b ng trung bình nhân c a di n tích tam giác tr c tâm tam giác ti p xúc (Tam giác tr c tâm tam giác có ba đ nh chân ba đư ng cao; tam giác ti p xúc tam giác có ba đ nh ti p m c a đư ng trịn n i ti p v i c nh) 30 Tam giác hình chi u • ð nh nghĩa Tam giác A1B1C1 có đ nh hình chi u c a m t ñi m M b t kỳ lên c nh c a tam giác ABC ñư c g i tam giác hình chi u (bàn đ p) c a ñi m M ñ i v i tam giác ABC • Chú ý N u M thu c đư ng trịn ngo i ti p tam giác ABC theo ð nh lý Simson, ba ñi m A1, B1, C1 th ng hàng Do đó, nói đ n tam giác hình chi u ta ph i gi thi t M khơng thu c đư ng trịn ngo i ti p tam giác ABC • ð nh lý Gi s A1, B1, C1 l n lư t thu c BC, CA, AB Khi ta ln có A1C2 + B1A2 + C1B2 = A1B2 + B1C2 + C1A2 • ð nh lý (ð o) N u ba ñi m ñ nh ba c nh c a m t tam giác sáu ño n th ng cho t ng bình phương c a đo n th ng khơng có chung đ u mút b ng t ng bình phương ba đo n ba m có th coi hình chi u c a m t m ñó lên c nh c a tam giác • ð nh lý G i MA1 = da; MB1 = db; MC1 = dc; B1C1 = a'; C1A1 = b'; A1B1 = c' Khi +) da db dc + + = hb hc +) a' b' c' + + = a.sin A b.sin B c.sin C R +) N u M ≡ I a' = 2(p - a) ( p − b)( p − c) bc a 2(b + c ) +) N u M ≡ G a' = 6R 91 (*) (*) • ð nh lý Tam giác hình chi u c a m Broca Ω ñ i v i tam giác ñã cho ñ ng d ng v i tam giác • ð nh lý G i A1B1C1 tam giác hình chi u c a m Kn Khi 4S (b n−2cn −2 + cn −2a n−2 + a n−2 b n −2 ) dt(A1B1C1) = ð c bi t (a n + b n + c n )2 +) N u n = (M ≡ G) 4S (a + b + c2 ) dt(A1B1C1) = 9.a 2b 2c +) N u n = (M ≡ I) dt(A1B1C1) = Sr 2R +) N u n = (M giao ñi m c a ñư ng ñ i trung) dt(A1B1C1) = +) N u M ≡ O dt(A1B1C1) = 12S (a + b + c2 )2 S 31 ð nh lý Ptoleme Trong m i t giác l i ABCD ta ln có AC.BD ≤ AB.CD + AD.BC D u b ng x y ch t giác ABCD n i ti p K t lu n T p tài li u ñã ñư c s d ng nhi u năm qua ñ gi ng d y cho l p chuyên c a trư ng THPT chuyên B c Giang ñã có nh ng hi u qu nh t ñ nh Hy v ng t p tài li u s giúp ích cho Th y, Cơ giáo vi c gi ng d y giúp em h c sinh kỳ thi ð i v i nh ng h c sinh ham thích mơn Tốn, mong r ng ñây tài li u tham kh o b ích Tuy nhiên, khơng trách kh i có nh ng sai sót q trình ch n l c, s p x p tư li u so n th o Mong b n ñ c lư ng th góp ý đ chúng tơi có đư c t p tài li u chu n xác 92 Tài liệu tham khảo [1] Lê Hải Châu Các thi chọn học sinh giỏi Toán PTTH toàn quốc NXB GD 1995 [2] Bộ Giáo dục Đào tạo Đề thi tuyển sinh môn Toán NXB GD 1993 [3] Nguyễn Văn Mậu, Nguyễn Văn Tiến Một số chuyên đề Đại sè båi d−ìng häc sinh giái THPT NXB GD 2009 [4] Nhiều tác giả Giới thiệu đề thi tuyển sinh vào trờng ĐH CĐ năm học từ 1998 đến 2001 NXB GD [5] Hội Toán học Việt Nam Tạp chí Toán học tuổi trẻ [6] Tuyển đề đề nghị IMO năm từ 1984 đến 2000 [7] Các đề thi tuyển sinh khối từ năm học 2002 đến năm học 2009 [8] Phan Đức Chính, Phạm Văn Điều tác giả khác Một số phơng pháp chọn lọc giải toán sơ cấp, tập I, II, III NXB ĐH GDCN 1991 [9] Nguyễn Văn Ban, Hoàng Chúng Hình học tam giác NXB GD 1996 [10] KBAHT Tạp chí (tiếng Nga) năm 1980 - 1985 [11] Toán học nhà trờng Tạp chí (tiếng Nga) năm 1980 - 1985 [12] ST Đ O Scliarxki ; N N Trenxop I M Iaglom Tuyển tập tập Định lí Toán sơ cấp NXB Hayka 1976 [13] Selected Problems from IMO XXX - XXXVI NXB ĐHQG Hà Nội 1995 93 ... mu n, l i không th quét h t d ng có th g p kỳ thi Chuyên ñ ñã ñư c chúng tơi s d ng đ d y cho l p chuyên Toán, Tin, Lý, Hoá c a Trư ng THPT chuyên B c Giang ñư c dùng ñ luy n thi ð i h c nhi... khn kh c a chun đ nên ch có m t s ví d đư c gi i m u Vi c gi i t p ñư c dành cho b n ñ c Trong chuyên ñ , m c đ khó d c a t ng t p khơng đư c ch c th không tránh kh i trư ng h p t p c a ph n... khăn cho h c sinh sách giáo khoa t p ph n không ñư c ñ c p nhi u M c ñích c a nh ng ngư i vi t chuyên ñ cung c p cho thày cô giáo em h c sinh ham thích h c toán m t h th ng lý thuy t t p tương