Một số phương pháp giải phương trình vô tỷ cho học sinh giỏi Nguyễn Anh Tuấn 1 Danh mục các từ viết tắt 1. Vt: Vế trái của phương trình. 2 Vt : Bình phương của vế trái phương trình. 2. Vp: Vế phải của phương trình. 2 Vp : Bình phương của vế phải phương trình. 3. Vt (1) : Vế trái của phương trình (1) . 4. Vp (1) : Vế phải của phương trình (1) . 5. Đk, đk: Điều kiện. 6. BĐT: Bất đẳng thức. HSG, HSG: Học sinh giỏi. 7. VMO, VMO: Thi chọn học sinh giỏi Toán lớp 12 THPT của Việt Nam. IMO: Thi Olympic Toán học quốc tế. 8. HD: Hướng dẫn. Một số phương pháp giải phương trình vô tỷ cho học sinh giỏi Nguyễn Anh Tuấn 2 Lời mở đầu Toán học có một vẻ đẹp lôi cuốn và quyến rũ, ai đã đam mê thì mãi mãi đam mê… Trong vẻ đẹp đầy huyền bí đó thì các bài toán liên quan đến Phương trình vô tỷ (Phương trình chứa căn thức) – có nét đẹp thật sự xao xuyến và quyến rũ! Có lẽ vì lý do đó mà trong các kì thi chọn HSG các nước, thi chọn HSG Quốc gia lớp 12 THPT (VMO) của chúng ta, bài toán liên quan đến Phương trình vô tỷ thường có mặt để thách thức các nhà Toán học tương lai với dung nhan muôn hình, muôn vẻ. Bài toán giải phương trình vô tỷ cũng thường xuất hiện trong các kì thi của học sinh THCS và THPT như thi chọn HSG cấp tỉnh, thi chọn HSG cấp thành phố, thi chọn HSG cấp huyện, thi chọn HSG cấp trường, thi Đại học, thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT chuyên, hay bài toán đó còn có trong đề thi chọn giáo viên dạy giỏi cấp tỉnh ở vòng thi lý thuyết, … Chuyên đề “Một số phương pháp giải phương trình vô tỷ cho học sinh giỏi”, tôi viết với mong muốn phần nào giúp các Thầy cô giáo dạy Toán, các em học sinh phổ thông cũng như các em học sinh trong các đội tuyển thi chọn học sinh giỏi Toán có thể tìm thấy nhiều điều bổ ích và nhiều điều thú vị đối với dạng toán này. Trong Chuyên đề có cả những bài với cấp độ giải trí cho học sinh giỏi (rèn luyện phản xạ nhanh). Đối với việc giải phương trình vô tỷ thì hầu hết các phương pháp giải, các phương pháp biến đổi hay đều có trong cuốn Chuyên đề này. Cách phân tích để nhận dạng một phương trình và chọn lựa phương pháp giải thích hợp là khó và đa dạng. Để có khả năng này chúng ta phải tìm cách giải và tự sáng tác nhiều phương trình để tự rút ra những nhận xét, kinh nghiệm và hay hơn nữa là một vài thuật giải toán, cũng như lưu ý rằng một bài toán có thể có nhiều cách giải khác nhau. Tôi viết Chuyên đề này chỉ với những Ví dụ và Bài tập về giải phương trình vô tỷ (không chứa tham số). Tôi hy vọng rằng Chuyên đề sẽ để lại trong lòng Thầy cô và các em học sinh một ấn tượng tốt đẹp. Với mỗi Ví dụ trong từng Phương pháp giải, người đọc có thể tự sáng tác cho mình những bài toán với những con số mà mình yêu thích. Tuy nhiên Chuyên đề chắc sẽ không thể tránh khỏi những điều không mong muốn. Tôi rất mong nhận được sự động viên và những ý kiến đóng góp chân thành của Quý Thầy cô và các em học sinh để Chuyên đề tiếp tục được hoàn thiện hơn. Tôi xin chân thành cảm ơn! Bắc Giang, ngày 5 tháng 4 năm 2011 Một số phương pháp giải phương trình vô tỷ cho học sinh giỏi Nguyễn Anh Tuấn 3 Chương 1 MỘT SỐ ĐIỀU CẦN BIẾT I.1. Một số công thức cần nhớ 1. Căn bậc hai và căn bậc ba của một tích ab a . b  và 3 3 3 ab a. b  với a, b R  . 2. Căn bậc hai và căn bậc ba của một thương a a b b  và 3 3 3 a a b b  , với a, b R,b 0   . 3. Căn của một lũy thừa m m m n n n a a ( a )   , với * a R   ; * m,n N ,n 2   . 4. Căn nhiều lớp n m n.m m n a a a   , với * a R   ; * m,n N ,m,n 2   . 5. Đưa một thừa số ra ngoài dấu căn bậc hai 2 a .b a . b  , với a R,b R    . 6. Đưa một thừa số vào trong dấu căn bậc hai 2 2 a .b a b a .b        khi khi a 0 a 0   . 7. Tích của hai căn m n 1 1 m.n m n m n m.nm n m.nm n a. a a .a a a ( a )        , với * a R   ; * m,n N ,n 2   . 8. Thương của hai căn 1 n m1 1 m m m.n n m n m m.n m.nm n 1 n n a a a a a ( a) a a          , với * a R   ; * m, n N ,n 2   . Một số phương pháp giải phương trình vô tỷ cho học sinh giỏi Nguyễn Anh Tuấn 4 I.2. Ví dụ mở đầu 1. Ví dụ Giải phương trình 2 2 1 x x x 1 x 3      , với x R  . 2. Nhận xét Ta có 2 2 1 x x x 1 x 3      (1). Trước hết có Đk 0 x 1   . Để giải phương trình này thì rõ ràng ta sẽ tìm cách làm mất căn thức. Có những cách nào để làm mất căn thức? Điều đầu tiên ta nghĩ tới đó là lũy thừa hai vế. Vì hai vế của phương trì nh đã cho luôn không âm với điều kiện xác định nên ta có thể bình phương hai vế để thu được phương trình tương đương. (1) 2 2 2 2 2 2 2 4 9 1 x x ( x 1 x ) 1 x x (x x ) 1 2 x x 3 3 4                     2 2 2(x x ) 3 x x 0      2 2 x x (2 x x 3) 0      2 2 x x 0 2 x x 3 0           1 2 2 x 0 (* ) x 1 9 x x 0(* ) 4                . Ta thấy 2 (* ) vô nghiệm, kết hợp với điều kiện ban đầu ta được phương trình (1) có nghiệm là x = 0 và x = 1. Ta lại thấy 2 2 ( x x 1) 1 2 x x      (*), do đó nếu đặt y x x 1    thì sẽ tính được 2 2 y 1 x x 2    và khi đó phương trình (1) trở thành phương trình bậc hai ẩn y 2 2 y 1 1 y y 3y 2 0 3        y 1 y 2       . Hay ta được 2 2 x 1 x 0 x x 0 x 1 x 2 2 x x 3 0                     . Từ đó ta được nghiệm của phương trình (1). Một số phương pháp giải phương trình vô tỷ cho học sinh giỏi Nguyễn Anh Tuấn 5 Với cách giải thứ hai là ta đặt ẩn phụ hợp lý để làm mất căn thức, để làm mất căn thức ta tìm cách đặt một biểu thức chứa căn thức nào đó bằng một biểu thức ẩn mới sao cho phương trình ẩn mới có hình thức kết cấu đơn giản hơn phương trình ban đầu. Đặt biểu thức chứa căn nào bằng biểu thức ẩn mới như thế nào là vấn đề quan trọng nhất, bước làm này quyết định đến có được lời giải hay không và lời giải đó tốt hay dở. Để chọn được cách đặt ẩn phụ thích hợp thì ta cần phải tìm được mối quan hệ của các biểu thức tham gia trong phương trình như ở cách giải trên ta đã tạo được mối quan hệ đó là đẳng thức (*). Có thể có nhiều cách để tạo ra mối quan hệ giữa các đối tượng tham gia trong phương trình, chẳng hạn ở phương trình trên ngoài đẳng thức (*) ta còn có mối quan hệ giữa các biểu thức tham gia trong phương trình. Ta có 2 2 ( x) ( 1 x ) x 1 x 1       (**), kết hợp với (1) ta được 2 3 2 x x 3 x 3 1 x      x(2 1 x 3) 3 1 x 3       3 1 x 3 x 2 1 x 3       (do 2 1 x 3 0    với mọi 0 x 1   ). Khi đó đặt y 1 x   thì 3y 3 x 2y 3    , thay vào (**) biến đổi tiếp ta thu được 2 y 0 y(y 1)(2y 4y 3) 0 y 1           . Từ đó ta được nghiệm của phương trình (1). Mặt khác ta cũng có thể đặt y x,z 1 x    với y 0,z 0   thì ta sẽ có hệ phương trình 2 2 2 1 yz y z 3 y z 1           , đây là hệ đối xứng loại I, ta dùng phương pháp thế để giải cũng sẽ được nghiệm của phường trình (1). Với điều kiện của x để phương trình (1) xác định và đẳng thức (**), ta có thể nghĩ đến cách giải phương trình (1) bằng Phương pháp (ứng dụng) lượng giác. Thật vậy đặt 2 x sin y, y 0; 2          . Khi đó phương trình (1) trở thành 2 1 sin y.coxy sin y coxy 3    3(1 sin y) (1 sin y)(1 sin y)(2sin y 3) 0       sin y 1 3 1 sin y (3 2sin y) 1 sin y           2 x 1 sin y(4sin y 6sin y 8) 0         . Một số phương pháp giải phương trình vô tỷ cho học sinh giỏi Nguyễn Anh Tuấn 6 Từ đó ta được nghiệm của phương trình (1). Qua Ví dụ trên ta thấy rằng có thể có nhiều cách để giải một phương trình vô tỷ nào đó. Mọi phương pháp đều chung một mục đích, đó là tìm cách loại bỏ căn thức và đưa phương trình đã cho về phương trình mà ta đã biết cách giải. Sau đây ta sẽ xét một số phương pháp giải cụ thể. Một số phương pháp giải phương trình vô tỷ cho học sinh giỏi Nguyễn Anh Tuấn 7 Chương II MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ II.1. Phương pháp biến đổi tương đương, biến đổi hệ quả II.1.1. Một số lưu ý Giải phương trình nói chung hay phương trình vô tỷ nói riêng ta có thể dùng phép biến đổi tương đương, khi giải xong bài toán thì ta không phải thử lại nghiệm. Đôi khi trong lời giải ta cũng sử dụng phép biến đổi hệ quả, chẳng hạn như bình phương hai vế của phương trình, thế biểu thức, Khi giải xong ta phải thử lại nghiệm để loại nghiệm ngoại lai nếu có. Dạng cơ bản của Phương pháp biến đổi tương đương phương trình vô tỷ 2 g(x) 0 f (x) g(x) f (x) g (x)        và 3 3 f (x) g(x) f (x) g (x)    . Với Phương pháp này ta thường sử dụng tính chất của lũy thừa và phép biến đổi tương đương, biến đổi hệ quả của phương trình. II.1.2. Một số ví dụ 1. Ví dụ 1 Giải các phương trình sau với x R  . 1) 3 33 x 2 x 3 2x 1      . 2) 3 3 3 x 1 x 1 5x     . 3) 3 3 3 2x 1 x 1 3x 1      . HD: 1) Lập phương hai vế ta được phương trình tương đương 3 33 3 2x 1 3 x 2. x 3.( x 2 x 3) 2x 1          3 33 3 x 2. x 3.( x 2 x 3) 0        3 3 3 3 x 2 0 x 3 0 x 2 x 3 0                . Dễ dàng thấy phương trình đã cho có nghiệm là 1 x 2   , x = -3, x = 2. 2) Lập phương hai vế ta được phương trình tương đương 3 3 3 3 2x 3 x 1. x 1.( x 1 x 1) 5x        3 3 3 3 x 1. x 1.( x 1 x 1) x        3 3 3 x 1. x 1. 5x x     3 5x(x 1)(x 1) x     Một số phương pháp giải phương trình vô tỷ cho học sinh giỏi Nguyễn Anh Tuấn 8 2 x(4x 5) 0    x 0 5 x 2          . Thử lại ta được phương trình có ba nghiệm trên. 3) Lập phương hai vế ta được phương trình tương đương 3 3 3 3 3x 2 3 2x 1. x 1.( 2x 1 x 1) 3x 1          3 3 3 3 2x 1. x 1.( 2x 1 x 1) 1        3 3 3 2x 1. x 1. 3x 1 1      (2x 1)(x 1)(3x 1) 1      3 2 6x 7x 0    x 0 7 x 6        . Thử lại, ta được phương trình chỉ có nghiệm 7 x 6  . Nhận xét: Phương trình đầu tiên, nếu ta thay 3 33 x 2 x 3 2x 1      khi biến đổi thì sẽ được một phương trình hệ quả. Phương trình thứ hai, nếu biến đổi tương đương ở bước thứ hai thì sẽ sai bản chất mặc dù nghiệm vẫn tìm được đầy đủ. 2. Ví dụ 2 (Thi chọn HSG lớp 9 tỉnh Bắc Giang, năm 2009) Giải phương trình x 1 2x 3 3x 2x 2       , với x R  . HD: Đk x 1  . Phương trình đã cho tương đương với 223213  xxxx 2 2 ( 3x x 1) ( 2x 3 2x 2)        3x x 1 2 3x(x 1) 2x 3 2x 2 2 (2x 3)(2x 2)             3x(x 1) (2x 2)(2x 3)      2 x x 6 0     x 3 x 2        . Thử lại ta thấy x = 2 là nghiệm. Vậy nghiệm của phương trình là x = 2. Một số phương pháp giải phương trình vô tỷ cho học sinh giỏi Nguyễn Anh Tuấn 9 3. Ví dụ 3 (Tuyển sinh vào lớp 10 chuyên Toán – Tin trường THPT Chuyên Bắc Giang, năm học 2005 – 2006) Giải phương trình x 3 5 x 2     , với x R  . HD: Đk x 2  . Với đk đó phương trình tương đương x 3 x 2 5     x 3 x 2 2 (x 3)(x 2) 25         (x 3)(x 2) 12 x      2 12 x 0 (x 3)(x 2) (12 x)           x 12 25x 150       . Từ đó ta được phương trình đã cho có nghiệm là x = 6. 4. Ví dụ 4 Giải phương trình 2 (2x 7) 2x 7 x 9x 7      , với x R  . HD: Đk 7 x 2   . Phương trình đã cho tương đương với 2 (2x 7) (2x 7) 2x 7 (x 7x) 0        2 (2x 7 x 2x 7 7 2x 7)-(x 2x 7 x 7x) 0           ( 2x 7 x)( 2x 7 x 7)=0       2x 7 x 2x 7 =x+7         2 2 x 0 2x 7 x x+7 0 2x 7 (x+7)                     . Từ đó ta được phương trình đã cho có nghiệm là x 1 2 2   . 5. Ví dụ 5 Giải phương trình (x 3) (4 x)(12 x) 28 x      , với x R  . HD: Đk (4 x)(12 x) 0 12 x 4 (x 3)(28 x) 0 3 x 28                    3 x 4     . Với đk đó phương trình tương đương với Một số phương pháp giải phương trình vô tỷ cho học sinh giỏi Nguyễn Anh Tuấn 10 2 2 (x 3) (4 x)(12 x) (28 x)      4 3 2 x 14x 10x 272x 352 0       2 2 (x 6x 22)(x 8x 16) 0       2 2 x 6x 22 0 x 8x 16 0            x 3 31 x 4 4 2            . Kết hợp với đk ta được phương trình có hai nghiệm là x 3 31    và x 4 4 2    . Nhận xét: Bài toán này học sinh dễ mắc sai lầm khi đặt điều kiện, có thể chỉ có 12 x 4    dẫn đến phương trình có bốn nghiệm. Ta cũng có thể đặt Đk lỏng hơn là (x 3)(28 x) 0    để dẫn đến 3 x 4    . Bài toán này ta cũng có thể giải bằng Phương pháp đặt ẩn phụ. 6. Ví dụ 6 Giải phương trình 2 3 2(x 8) 5 x 8    , với x R  . HD: Đk x 2   Với đk đó cả hai vế của phương trình không âm nên tương đương với 2 2 3 2(x 8) 25(x 8)    4 3 2 2x 25x 32x 72 0      2 2 (2x 5x 6)(x 10x 12) 0       . Ta thấy 2 2 5 23 2x 5x 6 2 x 0 4 8             với mọi x. Do đó ta được 2 x 10x 12 0    x 5 37 x 5 37          . Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm x 5 37   . 7. Ví dụ 7 Giải phương trình 2 9 2 x x 1 (x 1) x 1 4      , với x R  . HD: Ta có 2 9 2 x x 1 (x 1) x 1 4      (1). Đk x 1  . [...]... với x  R 5 Bài 5 Giải phương trình 6 Bài 6 Giải phương trình 7 Bài 7 Giải phương trình 8 Bài 8 Giải phương trình 9 Bài 9 Giải phương trình 12 Một số phương pháp giải phương trình vô tỷ cho học sinh giỏi Nguyễn Anh Tuấn 10 Bài 10 Giải phương trình x  3  2x x  1  2x  x 2  4x  3 , với x  R 11 Bài 11 Giải phương trình x 3  4x  4 x , với x  R x 3 12 Bài 12 Giải phương trình 4 x  3  1 ... giáo viên dạy THPT Chuyên Bắc Giang năm học 2005 – 2006) Giải phương trình 4 1  x  1  3x  2 1  x  1  x 2 , với x  R 34 Một số phương pháp giải phương trình vô tỷ cho học sinh giỏi Nguyễn Anh Tuấn II.4 Phương pháp đánh giá II.4.1 Một số lưu ý Khi giải phương trình vô tỷ (chẳng hạn f (x)  g(x) ) bằng phương pháp đánh giá, thường là để ta chỉ ra phương trình chỉ có một nghiệm (nghiệm duy nhất).Ta... 2003) Giải phương trình 4 1  x  1  3x  2 1  x  1  x 2 , với x  R 18 Bài 18 Giải phương trình x  2011  2011  x , với x  R 26 Một số phương pháp giải phương trình vô tỷ cho học sinh giỏi Nguyễn Anh Tuấn 19 Bài 19 Giải phương trình 2012x 2  4x  3  2011x 4x  3 , với x  R 20 Bài 20   2 Giải phương trình x  (2012  x ) 1  1  x , với x  R 27 Một số phương pháp giải phương trình vô tỷ. .. 13 Giải phương trình 3( 3 x  1  3 (x  1)2 )  x 3  x , với x  R 13 Một số phương pháp giải phương trình vô tỷ cho học sinh giỏi Nguyễn Anh Tuấn II.2 Phương pháp đặt ẩn phụ II.2.1 Một số lưu ý Khi giải phương trình vô tỷ bằng Phương pháp đặt ẩn phụ ta có thể sử dụng một trong những cách sau đây 1 Đặt ẩn phụ để biến đổi phương trình đã cho về phương trình đại số không còn chứa căn thức với phương. .. phương trình vô nghiệm Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm x  5  37 Nhận xét: Bài toán này đã giải bằng Phương pháp biến đổi tương đương 20 Một số phương pháp giải phương trình vô tỷ cho học sinh giỏi Nguyễn Anh Tuấn 14 Ví dụ 14 Giải phương trình 4 8x  1  4 9x  1  3 4 x , với x  R 1 8 HD: Đk x  Chia cả hai vế của phương trình cho 4 Đặt 4 8 1  y; x 4 9 4 8 x  0 ta được phương trình tương... 9 Giải phương trình 2  2 1  x 2  x(1  1  x 2 ) , với x  R 10 Bài 10 Giải phương trình 64x 3  112x 2  56x  7  2 1  x , với x  R 11 Bài 11 Giải phương trình 1  1  x 2  x(1  2 1  x 2 ) , với x  R 12 Bài 12 Giải phương trình 1  1  x 2 ( (1  x)3  (1  x)3 )  2  1  x 2 , với x  R 32 Một số phương pháp giải phương trình vô tỷ cho học sinh giỏi Nguyễn Anh Tuấn 13 Bài 13 Giải phương. .. Một số phương pháp giải phương trình vô tỷ cho học sinh giỏi Nguyễn Anh Tuấn 8 Ví dụ 8 (Tuyển sinh vào lớp 10 chuyên Toán – Tin trường THPT Chuyên Bắc Giang, năm học 2003 – 2004) Giải phương trình ( x  7  x  2)(1  x 2  9x  14)  5 , với x  R HD: Đặt x  7  y, x  2  z  y2  z 2  5 , từ đó suy ra (y  z)(1  yz)  5 Ta được hệ  y  1 z  1  Cuối cùng ta được phương trình có nghiệm. .. thì x   3 x 2  2 , dẫn đến vô nghiệm Còn x 2  xy  y 2  x  y  (y  x)(1  x)  y 2  0 với mọi y  0 và x   2 Do đó hệ vô nghiệm hay phương trình đã cho vô nghiệm Nhận xét: Khi giải một phương trình không phải lúc nào cũng có nghiệm thực, có những phương trình vô nghiệm nhưng khi cho học sinh làm bài ta cũng kiểm tra được năng lực của học sinh khi trình bầy lời giải bài toán đó Chẳng hạn như... (Do 0  y   ) 9 4 8 Vậy phương trình có nghiệm duy nhất là x  2cos 31 2 9 Một số phương pháp giải phương trình vô tỷ cho học sinh giỏi Nguyễn Anh Tuấn II.3.3 Một số bài tập tương tự 1 Bài 1 Giải phương trình 4x 3  3x  1  x 2 , với x  R HD:    8 Đặt x  cos y , phương trình có tập nghiệm là S  cos ; cos   5 3 2  ; cos   8 4 2   2 Bài 2 Giải phương trình 5  3 1  x 2  8 ... 2  0  sin y  1 30 Một số phương pháp giải phương trình vô tỷ cho học sinh giỏi Nguyễn Anh Tuấn    co s y  0 (Do y   0;  )  2 Từ đó ta được phương trình đã cho có hai nghiệm là x = 0 và x = 2 7 Ví dụ 7 (1  x 2 )3 Giải phương trình 2x  1  x  , với x  R 1 x2 HD: Đk x  1 2     Đặt x = tany, với y    ;  , y   4  2 2 Phương trình đã cho trở thành 2 tan y  1  tan 2 y . Một số phương pháp giải phương trình vô tỷ cho học sinh giỏi Nguyễn Anh Tuấn 14 II.2. Phương pháp đặt ẩn phụ II.2.1. Một số lưu ý Khi giải phương trình vô tỷ bằng Phương pháp đặt ẩn. nghiệm. Vậy nghiệm của phương trình là x = 2. Một số phương pháp giải phương trình vô tỷ cho học sinh giỏi Nguyễn Anh Tuấn 9 3. Ví dụ 3 (Tuyển sinh vào lớp 10 chuyên Toán – Tin trường. Do đó hệ vô nghiệm hay phương trình đã cho vô nghiệm. Nhận xét: Khi giải một phương trình không phải lúc nào cũng có nghiệm thực, có những phương trình vô nghiệm nhưng khi cho học sinh làm