Câu 1 (3,0 điểm). Cho hàm số 32 32y x x    (1). 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1). 2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng : 9 1d y x    . Câu 2 (1,0 điểm). Tìm m để đồ thị (C 1 ) của hàm số 31 2 x y x    và đường thẳng :2y x m   cắt nhau tại hai điểm phân biệt , AB sao cho đoạn AB ngắn nhất. Câu 3 (2,0 điểm) 1. Cho hàm số   ln 3f x x x x . Tính   2 'fe . 2. Tính giá trị của biểu thức 2 3 27 33 1 3 log 8 log 27 18.log 3 log 2 A    . Câu 4 (3,0 điểm). Cho hình chóp . S ABCD có đáy ABCD là hình vuông, mặt bên SAB là tam giác vuông cân tại S , SA a và mặt phẳng   SAB vuông góc với mặt đáy. Gọi H là trung điểm của cạnh AB . 1. Chứng minh   SH ABCD . Tính thể tích của khối chóp .S ABCD . 2. Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp .S ABCD . 3. Gọi G là trọng tâm của tam giác SAB . Mặt phẳng   GCD chia khối chóp thành hai phần. Tính tỷ số thể tích của hai phần đó. Câu 5 (1,0 điểm). Cho hai số thực dương ,.xy Chứng minh rằng   2 3 22 41 8 4 xy x x y   . Hết Họ tên học sinh: Số báo danh: SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BẮC GIANG ĐỀ KIỂM TRA CHẤT LƯỢNG HỌC KÌ I NĂM HỌC 2014-2015 MÔN: TOÁN LỚP 12 Thời gian làm bài: 90 phút, không kể thời gian giao đề www.MATHVN.com SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BẮC GIANG HƯỚNG DẪN CHẤM BÀI KIỂM TRA HỌC KỲ 1 MÔN TOÁN – LỚP 12 Năm học: 2014-2015 Chú ý: Dưới đây chỉ là sơ lược từng bước giải và cách cho điểm từng phần của mỗi bài. Bài làm của học sinh yêu cầu phải chi tiết, lập luận chặt chẽ. Nếu học sinh giải cách khác đúng thì chấm và cho điểm từng phần tương ứng (đây là đề chung cho học sinh học Cơ bản và Nâng cao, không có tự chọn như các năm học trước). Câu Hướng dẫn giải Điểm Câu 1 1.1. (1.0 điểm) Khảo sát hàm số 32 32y x x     +) TXĐ:R 0.25 +) Các giới hạn:     3 2 3 2 lim lim 3 2 ; lim lim 3 2 x x x x y x x y x x                 0.25 +) Có 2 0 ' 3 6 ' 0 2 x y x x y x            0.25 +) Bảng biến thiên đúng 0.25 +) Hàm số đồng biến trên khoảng   0;2 +) Hàm số nghịch biến trên các khoảng     ;0 ; 2;  0.25 +) Hàm số đạt cực đại tại 2x  và 2 CD y  +) Hàm số đạt cực tiểu tại 0 x  và 2 CT y  0.25 +) Đồ thị (Vẽ đúng) -2 -1 1 2 3 -3 -2 -1 1 2 3 x y O 0.5 1.2 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết tiếp tuyến song song với www.MATHVN.com www.DeThiThuDaiHoc.com (1.0 điểm) đường thẳng : 9 1d y x    . 0. 5 Giả sử   00 ;M x y là tiếp điểm của tiếp tuyến cần lập với đồ thị hàm số Hệ số góc của tiếp tuyến tại   00 ;M x y là   0 2 00 ' 3 6 x y x x    .Theo giả thiết tiếp tuyến song song với đường thẳng : 9 1d y x   . Suy ra   0 0 2 00 0 1 ' 9 3 6 9 3 x x y x x x              Viết được phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại   1;2 M  .Kết quả 97yx   0.25 Viết được phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại   3; 2M  .Kết quả 9 25yx   Kết luận 0.25 Câu 2 (1.0 điểm) Xét phương trình hoành độ giao điểm của   1 C và đường thẳng  31 2 2 x xm x      1 .Với điều kiện 2x  thì          22 1 3 1 2 2 3 1 2 4 2 2 7 2 1 0 2x x x m x x x mx m x m x m                 Phương trình   2 có 2 2 57mm    . 0.25   C và  cắt nhau tại hai điểm phân biệt ,AB khi và chỉ khi   2 có hai nghệm phân biệt khác 2 tương đương với hệ 0 70 m       . 0.25 Với mọi m thì  và   C cắt nhau tại hai điểm phân biệt   11 ;2A x x m và   22 ;2 B x x m Trong đó 12 ; xx là hai nghiệm của   2 .Theo Viet có 1 2 1 2 7 2 1 ; 22 mm x x x x       0.25 Khiđó       2 2 2 2 2 1 2 1 1 2 1 2 7 2 1 2 2 5 4 5 4 22 mm AB x x x x x x x x                                 2 2 55 2 57 1 56 70 22 AB m m m       .Dấu "" xảy ra khi 1m  . KL 0.25 Câu 3 3.1 (1.0 điểm) +) Tính được       ' ' ln . ln ' 3 ln 2f x x x x x x     . 0.5 +)   22 ' ln 2 0f e e   . KL: 0.5 +) Tính được 3 2 3 3 33 3 log 27 log 3 2.log 3 2   . 0.25 www.MATHVN.com www.DeThiThuDaiHoc.com 3.2 (1.0 điểm) +) Tính được 3 2 2 2 27 3 3 18.log 3 18.log 3 2.log 3 2   0.25 +) Tính được. 33 2 13 3 log 8 log 8 log 8 3 log 2 log 2       0.25 +) Từ đó suy ra 2 2 3 3A     0.25 Câu 4 4.1 (1.0 điểm) M N K O H C A D B S G Ta có tam giác SAB là tam giác vuông cân đỉnh S và H là trung điểm của AB , suy ra SH AB . Vậycó             , SAB ABCD SAB ABCD AB SH ABCD SH SAB SH AB            Ta có SH là đường cao của hình chóp. Tính được cạnh đáy của hình vuông là 2a và tính được đường cao của hình chóp là 2 2 a SH  . 0.5 Tính được thể tích khối chóp 3 . 12 . 33 S ABCD ABCD a V SH S  (đvtt) 0.5 4.2 (1.0 điểm) Chỉ ra được điểm O cách đều các điểm , , , ,A B C D S . Suy ra O là tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp. Tính được bán kính mặt cầu là R OA a 1.0 4.3 (1.0 điểm) Ta có             // CD AB AB SAB SAB GCD MN CD CDG G SAB GCD              . Với // , , ,MN AB G MN M SA N SB   . Khi đó   GCD chia khối chóp thành hai khối đa diện. Gọi 1 2 . ,, SMNCD MNCDAB S ABCD V V V V V V   Suy ra 1 . . S CMN S CMD V V V  và 1 2 S CAB S CAD V V V 0.25 Ta có 2 . . . . 2 4 4 2 1 3 9 9 9 2 S CMN S CMN S CMN S CAB V V V SC SM SN V SC SA SB V V           0.25 . . . . 2 2 1 1 3 3 3 2 S CMD S CMD S CMD S CAD V V V SC SM SD V SC SA SD V V       0.25 www.MATHVN.com www.DeThiThuDaiHoc.com Vậy 11 2 2 1 5 5 9 3 9 4 VV VV      0.25 Câu 5 (1.0 điểm Đặt x t y  .Từ giả thiết ,0xy  suy ra 0 t  . Khi đó bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với   3 2 41 8 4 t tt   hay   3 2 42 t t t   . 0.25 Xét hàm số     3 2 4 f t t t t   . Tính được       3 22 2 4 4 3 ' 4 t t t t ft t       ;   2 '0 2 f t t   . Ta có bảng biến thiên của hàm số x 0 2 2    'ft  0    ft 2 0 0 0.5 Từ bảng biến thiên của hàm số ta có   0 2 max 2 2 t f t f       hay   3 2 42t t t   . Dấu bằng xảy ra khi 2 2 t  hay 2yx . 0.25 Tổng 10 www.MATHVN.com www.DeThiThuDaiHoc.com . Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết tiếp tuyến song song với www .MATHVN. com www.DeThiThuDaiHoc .com (1.0 điểm) đường thẳng : 9 1d y x    . 0. 5 Giả sử   00 ;M x y là. KL: 0.5 +) Tính được 3 2 3 3 33 3 log 27 log 3 2.log 3 2   . 0.25 www .MATHVN. com www.DeThiThuDaiHoc .com 3.2 (1.0 điểm) +) Tính được 3 2 2 2 27 3 3 18.log 3 18.log. 3 2 S CMD S CMD S CMD S CAD V V V SC SM SD V SC SA SD V V       0.25 www .MATHVN. com www.DeThiThuDaiHoc .com Vậy 11 2 2 1 5 5 9 3 9 4 VV VV      0.25 Câu 5 (1.0 điểm