đề thi học sinh giỏi lớp 9 Môn : toán Thời gian : 150 ( Không kể thời gian giao đề) Câu 1 (2đ): Giải các phơng trình sau a. (x+1)(x+3)(x+5)(x+7)+15=0 b. ++ 12 2 xx 44 2 + xx = 2006 2005 2006 2005 20051 2 2 2 +++ Câu 2 (2đ): Cho biểu thức: A= 22 1)( 2244 222 +++ ++ yyxx yxxyx a. Chứng minh rằng biểu thức A luôn luôn dơng với mọi x, y. b. Với giá trị nào của x, y biểu thức A có giá trị lớn nhất? Tìm giá trị lớn nhất đó Câu 3 (1,5đ) Cho ba số thực x, y, z thỏa mãn 2006 =++ zyx và 2006 1111 =++ zyx Chứng minh rằng ít nhất một trong ba số x, y, z bằng 2006. Câu 4 (2đ): a. Cho ba số thực dơng x, y, z thỏa mãn 3 5 =++ zyx Chứng minh rằng yx 11 + < ) 1 1( 1 xyz + b. Gọi a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác biết ( )( )( ) abcaccbba 8 =+++ Chứng minh rằng tam giác đã cho là tam giác đều Câu 5 (2,5): Cho đờng tròn tâm O đờng kính AB. M là một điểm di động trên đờng tròn. Vẽ MH vuông góc với AB (H thuộc AB). a. Tìm vị trí của điểm M trên (O) sao cho diện tích tam giác OMH lớn nhất. b. Gọi I là tâm đờng tròn nội tiếp tam giác OMH. Tìm quỹ tích của điểm I. Đáp án Câu Nội dung Điểm Câu 1 a) PT đa về ( )( ) 01515878 22 =+++++ xxxx Đặt 118 2 ++= xxX PT đa về: ( )( ) 01544 =++ XX ( )( ) 011 =+ XX Dẫn đến PT: ( )( ) 0128108 22 =++++ xxxx =++ =++ 0128 0108 2 2 xx xx ( ) ( ) ** * Giải PT ( ) * và ( ) ** tìm nghiệm và trả lời PT có 4 nghiệm ;6 1 = x ;2 2 = x ;64 3 = x ;64 4 += x b) Biến đổi vế phải Ta có: ( ) 12005.22005120052006 2 2 2 ++=+= 2005.2200620051 22 =+ 2006 2005 2006 2005 2005.22006 2006 2005 2006 2005 20051 2 2 2 2 2 2 ++=+++ 2006 2006 2005 2006 2005 2006 2006 2005 2006 2005 2006 2 =+=+ = PT đa về: 200621 =+ xx ( ) * Xét 3 trờng hợp * Trờng hợp 1: Nếu x<1 PT ( ) 2 2003 200623* == xx (thỏa mãn) * Trờng hợp 2: Nếu x 0 < 2 PT ( ) 200610* =+ x (PT vô nghiệm) * Trờng hợp 3: Nếu 2 x PT ( ) 2 2009 200632* == xx (thỏa mãn) Kết luận: PT có 2 nghiệm ; 2 2003 1 = x 2 2009 2 = x 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,5đ 0,25đ C©u 2 a) TÝnh ®îc ( )( ) 2 1 21 1 224 4 + = ++ + = yyx x A Lý luËn 02 2 >+ y yx, ∀ 0 >⇒ A yx, ∀ b) Ta cã: 22 2 ≥+y 2 1 2 1 2 ≤ + ⇒ y 2 1 = MAX A khi ,0 = y x bÊt kú 0,5® 0,5® 0,5® 0,5® C©u 3 Tõ gi¶ thiÕt ta cã: zyxzyx ++ =++ 1111 0 1111 = ++ −++⇔ zyxzyx ( ) 0= ++ −++ + + ⇔ zyxz zzyx xy yx ( ) ( ) 0 11 =         ++ ++⇔ zyxzxy yx ( )( )( ) 0 =+++⇔ zyzxyx ⇔      =+ =+ =+ 0 0 0 zy zx yx ⇔      = = = 2006 2006 2006 x y z KÕt luËn: VËy Ýt nhÊt mét trong ba sè x, y, z b»ng 2006 0,25® 0.25® 0,5® 0,25® 0,25® C©u 4 a) Ta cã: ( ) ( ) yzxzxyzyxyxz −−+++=−− 2 222 2 ( ) 02 222 ≥−−+++⇒ yzxzxyzyx zyx ,, ∀ ( )         +<+⇒ <−+⇒ <−+⇒ <=++≤−+⇒ xyzyx xyzzxy xyyzxz zyxxyyzxz 1 1 111 1111 1 1 6 5 2 1 222 b) ( )( )( ) abcaccbba 8 =+++ ( ) ( ) ( ) 0222 222222 =−++−++−+⇔ abccacbabcabacabcbcba 0,25® 0,25® 0.25® 0,25® 0,25® ( ) ( ) ( ) 0 222 =++ abccbacab Ta có: ( ) 0 2 cab cba ,, ( ) 0 2 cba cba ,, ( ) 0 2 abc cba ,, mà 0,, cba ( ) ( ) ( ) 0 222 ++ abccbacab cba ,, Dấu bằng xảy ra khi = = = 0)( 0)( 0)( 2 2 2 cab cba bac cba == Kết luận: Vậy tam giác có 3 cạnh bằng nhau nên là tam giác đều 0,25đ 0,25đ 0,25đ Câu 5 a) HMOHS OMH . 2 1 = mà 2222 ROMHMOH ==+ Ta có: ( ) 0 2 HMOH HMOHHMOH 2 22 + 22 . 222 RHMOH HMOH = + 4 2 R S OMH 0,25đ 0,25đ Dấu bằng xảy ra khi HMOH = suy ra góc HOM = 45 0 Ta tìm đợc 4 vị trí của M là 4321 ,,, MMMM lần lợt là trung điểm các cung phần t (I), (II), (III), (IV) b) Phần thuận: Xét hai tam giác DIM và OIB + Nếu góc 0 90 MOB Ta có: ,IOIO = ROBOM == Góc IOM = góc IOB (Vì OI là phân giác góc MOB) 0,25đ 0,25đ A B D C OIBOIM = (c.g.c) góc OIB = góc OIM = 180 0 45 0 =135 0 Điểm I di động trên hai cung chứa góc 0 135 dựng trên dây OB + Nếu góc 0 90 MOB 0 90 AOM góc 0 135 = AIO Điểm I di động trên hai cung chứa góc 0 135 dựng trên dây OA *Phần đảo Lấy một điểm I bất kỳ trên cung tròn vừa tìm đợc. Học sinh chứng minh I là tâm đờng tròn nội tiếp OMH 0,5đ 0,25đ 0,25đ 0.5đ . đề thi học sinh giỏi lớp 9 Môn : toán Thời gian : 150 ( Không kể thời gian giao đề) Câu 1 (2đ): Giải các phơng trình sau a. (x+1)(x+3)(x+5)(x+7)+15=0 b. ++ 12 2 xx 44 2 + xx . Nếu góc 0 90 MOB 0 90 AOM góc 0 135 = AIO Điểm I di động trên hai cung chứa góc 0 135 dựng trên dây OA *Phần đảo Lấy một điểm I bất kỳ trên cung tròn vừa tìm đợc. Học sinh chứng. nhất đó Câu 3 (1,5đ) Cho ba số thực x, y, z thỏa mãn 2006 =++ zyx và 2006 1111 =++ zyx Chứng minh rằng ít nhất một trong ba số x, y, z bằng 2006. Câu 4 (2đ): a. Cho ba số thực dơng x, y, z thỏa