Đề thi học sinh giỏi lớp 9 Bài I (2 đ ) Rút gọn A a a a a 211 21 211 21 + ++ + Với a = 4 3 Bài II (6đ) a) Tìm nghiệm nguyên của phơng trình 2x 2 + 4x = 19-3y 2 b) Giải hệ phơng trình x 3 =7x +3y y 3 = 7y+3x Bài III (3 đ ) Cho x,y,z là các số không âm và x+y+z =1 Tìm giá trị lớn nhất của M = xy+yz+zx Bài IV (6 đ ) Cho hình thang ABCD (AD//CD,AB CD) M,N lần lợt thứ tự là trung điểm của các đờng hcéo AC và BD , kẻ NH AD, MH BC. Gọi I là giao điểm của MH và NH. Chứng minh rằng I cách đều 2 điểm C và D. Bài V (3 đ ) Cho a,b,c >0 và a+b+c = 1. Chứng minh b+c 16abc. Hớng dẫn chấm Bài I (2 đ ) Thay a = 4 3 vào A ta có: 1 33 32 33 32 132 32 132 32 )13(2 32 )13(2 32 3242 32 3242 32 22 = + + + = + + ++ + = + ++ + = + ++ + =A Bài II (6đ) a) (3 đ ) Tìm nghiệm nguyên của phơng trình 2x 2 + 4x = 19-3y 2 (1) <=> 2(x+1) 2 = 3(7 - y 2 ) (2) Do 2(x+1) 2 2 => 3(7 - y 2 ) 2 => y lẽ (1 đ ) Ta lại có 7 - y 2 0 nên y 2 = 1 Khi đó phơng trình (2) có dạng: (0.5 đ ) 2(x+1) 2 <=> x =2 hoặc x = - 4 (1 đ ) Từ đó ta có các nghiệm (x,y) = (2;1) ,(2;-1), (- 4;1), (- 4;-1) (0.5 đ ) b) x 3 =7x +3y (1) y 3 = 7y+3x (2) Lấy (1) - (2) ta đợc: (x-y)(x 2 + xy+ y 2 -4) =0 (1 đ ) * Với x = y kết hợp với phơng trình (1) x 3 =7x +3y Ta đợc x =y = 0; x =y = 10 ; x =y = - 10 * Với x 2 + xy+ y 2 - 4 =0 cộng (1) và (2) ta có x 2 + xy +y 2 = 4 x+y = S đặt (S 2 4P) y 3 + x 3 = 10(y+x) xy = P Ta có S 2 - P - 4 = 0 Thế P = S 2 - 4 S 3 -3SP -10S = 0 => S 3 - 3S(S 2 - 4) -10S = 0 <=> S 1 =0 hoặc S 2 = 1; S 3 =- 1 (0.5 đ ) * S 1 = 0 => P 1 = - 4 Khi đó x,y là nghiệm của phơng trình (0.5 đ ) X 2 - 4 = 0 => x =2 hoặc x = - 2 y = -2 y = 2 * S 2 = 1 => P 2 = -3 Khi đó x,y là nghiệm của phơng trình (0.5 đ ) X 2 - X -3 = 0 => x = 2 131 + hoặc x = 2 131 y = 2 131 y = 2 131+ * S 3 = -1 => P 3 = -3 Khi đó x,y là nghiệm của phơng trình (0.5 đ ) X 2 + X -3 = 0 => x = 2 131- + hoặc x = 2 13-1- y = 2 131- y = 2 131- + Vậy hệ đã cho có 9 nghiệm. Bài II (3đ) Ta có (x+y+z) 2 = x 2 +y 2 +z 2 +2(xy+yz+zx) = 1 => 2M = 1- (x 2 +y 2 +z 2 ) (0.5 đ ) Mặt khác: x 2 +y 2 +z 2 = 2 x 2 z 2 x 222222 zyy + + + ++ + xy+yz+zx (1 đ ) => 2M 1- (xy+yz+zx) =>3M 1 (0.5 đ ) =>M 1/3 Vậy GTLN của M = 1/3xảy ra khi và chỉ khi x =y =z = 1/3 (1 đ ) Bài IV (6 đ ) Hạ AP BC ; BQ AD Từ giả thiết ta có: H là trung điểm của DQ; H là trung điểm của CP (1 đ ) Ta có tứ giác ABPQ nội tiếp => góc(ABP) + góc (DCB) = 180 o (1 đ ) mà góc(ABP) = góc (DCB) (đồng vị) => góc(AQP) + góc (DCB) = 180 o (1 đ ) Hay tứ giác DCPQ nội tiếp (1 đ ) Lại có HN, MH là trung trực của DQ,PC (1 đ ) Suy ra I =HN HM là tâm đờng tròn ngoại tiếp tứ giác DCPQ (1 đ ) => I cách đều D và C Bài V Từ giả thiết ta có 1 = [ a+(b+c)] 2 4a(b+c) vì (a+b) 2 4ab => b + c 4a(b+c) 2 (1) do b+c > 0 (1 đ ) Lại có (b+c) 2 4bc (2) (0.5 đ ) Từ (1) và (2) => b + c 4a.4bc hay b + c 16abc (đpcm) (0.5 đ ) Dấu = xảy ra <=> a = b+c b = c (1 đ ) Mà a+b+c = 1 => a =1/2 b = c = 1/4 . 2 13 1 + hoặc x = 2 13 1 y = 2 13 1 y = 2 13 1+ * S 3 = -1 => P 3 = -3 Khi đó x,y là nghiệm của phơng trình (0.5 đ ) X 2 + X -3 = 0 => x = 2 13 1- + hoặc x = 2 1 3 -1 - y = 2 13 1- . x 3 = 10 (y+x) xy = P Ta có S 2 - P - 4 = 0 Thế P = S 2 - 4 S 3 -3 SP -1 0S = 0 => S 3 - 3S(S 2 - 4) -1 0S = 0 <=> S 1 =0 hoặc S 2 = 1; S 3 =- 1 (0.5 đ ) * S 1 = 0 => P 1 . Đề thi học sinh giỏi lớp 9 Bài I (2 đ ) Rút gọn A a a a a 211 21 211 21 + ++ + Với a = 4 3 Bài II (6đ) a) Tìm nghiệm nguyên của phơng trình 2x 2 + 4x = 1 9- 3y 2 b) Giải