Đề và đáp án thi vào lớp 10 môn Toán trường Chuyên Yên Bái năm 2012 - 2013

5 300 0
Đề và đáp án thi vào lớp 10 môn Toán trường Chuyên Yên Bái năm 2012 - 2013

Đang tải... (xem toàn văn)

Thông tin tài liệu

Đề và HD chấm thi chuyên toán THPT Yên Bái năm học 2012 – 2013 Thời gian làm bài 150 phút không kể giao đề. Câu 1 (2,5đ) Cho biểu thức Q = ( ) ( ) 2 2 2 1 3 4 1 1 1 1 4 x x x x x x x x x x   + − + − −  ÷ − ×  ÷ + + − +   a/ Với giá trị nào của x thì Q xác định. b/ Rút gọn Q. c/ Tìm giá trị của x để Q = 2012 x - 2012. a/ Để biểu thức Q xác định, x thỏa mãn điều kiện: 2 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 4 0 4 1 0 1 x x x x x x x x x x x x   ≥ ≥   + ≠ ≠ −   ≥    − ≠ ⇔ ≠ ± ⇔    ≠    + ≠ ≠ −     + ≠ ≠ −   b/ Với x ≥ 0 và x ≠ 1, dùng phương pháp “hữu tỷ hóa” biểu thức Q bằng cách: đặt 2 2 4 0 ;x a x a x a= ≥ ⇒ = = ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 5 4 2 4 4 2 2 4 2 2 2 2 1 3 4 1 1 1 1 4 1 4 1 1 1 1 1 1 1 1 4 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 a a a a a Q a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a Q x x   + − + − −  ÷ = − ×  ÷ + + − +     − + + − +   = − × + + + + − +       + − + −   = − × = × + + − + + + + + +     = × − ⇒ = − c/ Q = 2012 x - 2012 ⇔ ( ) 1x x − = 2012 x - 2012 ⇔ ( ) ( ) 1 2012 1 0x x x− − − = ⇔ ( ) ( ) 1 0 1 1 2012 0 4048144 2012 0 x x x x x x  − = =   − − = ⇔ ⇔   = − =    Kết hợp với ĐKXĐ: x ≥ 0 và x ≠ 1 ⇒ x = 4048144 là giá trị cần tìm Câu 2 (1,5đ) Giải hệ phương trình: 2 2 2 6 3 1 1 x xy x y x y  − + = −   + =   Giải hệ phương trình: 2 2 2 6 3 1 (1) 1 (2) x xy x y x y  − + = −   + =   * (1) ⇔ 6x 2 – 3xy + x + y – 1 = 0 ⇔ 6x 2 – 3xy + 3x – 2x + y – 1 = 0 ⇔ 3x(2x – y + 1) – (2x – y + 1) = 0 ⇔ (2x – y + 1)(3x – 1) = 0 ⇔ 1 3 1 0 3 2 1 0 2 1 x x x y y x  − = =   ⇔   − + =   = +  * Kết hợp với (2) ta có: 2 2 1 1 3 3 2 2 1 3 x x x y y  =   =   ⇔     + = = ±    và 2 2 ( 0; 1) 2 1 4 3 ( ; ) 1 5 5 x y y x x y x y = =  = +   ⇔   = − = − + =    Vậy hệ phương trình có 4 nghiệm (x, y) ∈ ( ) 4 3 1 2 2 1 2 2 0;1 ; ; ; ; ; ; 5 5 3 3 3 3           − − −  ÷  ÷    ÷           Câu 3 (2,0đ) Cho đường thẳng (d) có phương trình: 2(m – 1)x + (m – 2)y = 2 a/ Vẽ (d) với m = 3. b/ Chứng minh rằng (d) luôn đi qua một điểm cố định với mọi m, tìm điểm cố định ấy. c/ Tìm giá trị của m để (d) cách gốc tọa độ một khoảng lớn nhất a/ Với m = 3 ta có y = - 4x + 2 Giao với trục tung Oy tại điểm (0 ; 2) Giao với trục hoành Ox tại điểm (0,5 ; 0) Ta có đồ thị hàm số như hình bên y = - 4x + 2 O 1 2 2 y x b/ Gọi điểm cố định mà mọi đường thẳng(d) đi qua là M(x 0 ; y 0 ) ta có: 2(m – 1)x 0 + (m – 2)y 0 = 2 với mọi m ⇔ (2x 0 + y 0 )m – 2(x 0 + y 0 + 1) = 0 0 0 0 0 0 0 2 0 1 1 0 2 x y x m x y y + = =   ⇔ ⇔ ∀   + + = = −   vậy tọa độ điểm cố định là M(1; - 2) Cách khác: Với m = 2 ta có đường thẳng x = 1, với m = 1 ta có đường thẳng y = -2; thay x= 1; y = - 2 vào phương trình ta có: 2(m – 1).1 + (m – 2).(- 2) = 2 ⇔ 2m – 2 – 2m + 4 – 2 = 0 điều này luôn đúng với mọi m. Vậy các đường thẳng (d) luôn đi qua điểm cố định có tọa độ (1; - 2) với mọi m. c/ 2(m – 1)x + (m – 2)y = 2 ⇔ ( ) 2 1 2 2 2 m y x m m − − = × + − − . Vì (d) không đi qua gốc O(0; 0) Gọi A, B lần lượt là giao của (d) với hai trục tọa độ Oy và Ox ta có tọa độ giao điểm là A(0; 2 2m − ) và B( 1 1m − ; 0). Gọi H là hình chiếu của O trên AB, xét ∆AOB vuông tại O có: ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 4 1 1 1 1 4 1 2 1 2 1 2 OH OH OB OA m m OB OA m m = + ⇒ = = = − + − + +      ÷  ÷ − −     ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 5 4 2 4 1 6 4 5 5 5 5 OH m m m ⇒ = = ≤ = − + −   − +  ÷   ; Dấu “=” xảy ra ⇔ m = 6 5 Vậy độ dài OH lớn nhất ⇔ m = 6 5 , khi đó ta có OH = 5 (đv dài) Câu 4 (3,0đ) Cho đường tròn (O; R) và điểm M nằm ngoài (O). Kẻ hai tiếp tuyến MB, MC của (O) và tia Mx nằm giữa hai tia MO và MC. Qua B kẻ đường thẳng song song với Mx, đường thẳng này cắt (O) tại điểm thứ hai là A; AC cắt Mx tại I. Vẽ đường kính BB’, đường này cắt MC, B’C lần lượt tại K và E. Chứng minh rằng: a/ Tứ giác MOIC nội tiếp được. b/ OI vuông góc với Mx. c/ ME = R. d/ Khi M di động mà OM = 2R thì K chuyển động trên đường nào ? Tại sao ? a/ Vì MB, MC là 2 tiếp tuyến của (O) (gt) ⇒ OM là tia phân giác của · BOC (t/c…) ⇒ · · 1 2 MOC BOC= (1) Lại có · · 1 2 BAC BOC= (hệ quả góc nội tiếp) (2) Mà · · BAC MIC= (đồng vị do MI // BA) (3) x E K B' I A O C B M Từ (1), (2), (3) ⇒ · · MOC MIC= ⇒ Tứ giác MOIC có 2 đỉnh kề nhau O và I cùng nhìn đoạn thẳng nối 2 đỉnh còn lại dưới cùng một góc nên nội tiếp được trong một đường tròn (theo tính chất quỹ tích cung chứa góc) b/ Vì tứ giác MOIC nội tiếp (theo trên) ⇒ · · 0 90MIO MCO= = (hệ quả góc nội tiếp) ⇒ OI ⊥ Mx. c/ Xét ∆MBO vuông tại B và ∆EOB’ vuông tại O có: OB = OB’ (= R) và · · · 1 ' ( ) 2 MOB EB O BOC= = ⇒ ∆MBO = ∆EOB’ (g.n - c.g.v kề) ⇒ MB = OE Mặt khác lại có MB // OE (cùng vuông góc với BB’) ⇒ Tứ giác MBOE là hình bình hành (dh 3) ⇒ ME = BO = R d/ Khi OM = 2R ⇒ · 0 60BMC = mà MB // OE ⇒ · · 0 60OKC BMC= = ⇒ ∆OKC vuông tại C có OK = 2 3 3 0 OC R cos30 = không đổi ⇒ Khi M di động luôn thỏa mãn OM = 2R thì K luôn cách O cố định một khoảng OK 2 3 3 R = không đổi nên K chạy trên đường tròn tâm O bán kính OK 2 3 3 R = Câu 5 (1,0đ) Tìm giá trị của x, y để biểu thức: M = 2 2 2 2 2 6 4 11 3 2 6 4x y x y x y x y+ − + + + + + + + đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất ấy. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 6 4 11 3 2 6 4 3 2 1 1 3 1 3 1 (" " 1) M x y x y x y x y x y x y x x y = + − + + + + + + + = − + + + + + + ≥ − + + = ⇔ = − mà ( ) ( ) 2 2 3 1 3 1 3 1 4x x x x x x− + + = − + + ≥ − + + = Dấu “=” xảy ra ⇔ y = -1 và –1 ≤ x ≤ 3; Vậy minM = 4 ⇔ y = -1 và – 1 ≤ x ≤ 3 hết . Đề và HD chấm thi chuyên toán THPT Yên Bái năm học 2012 – 2013 Thời gian làm bài 150 phút không kể giao đề. Câu 1 (2,5đ) Cho biểu thức Q = ( ) ( ) 2. − + + + + + +     = × − ⇒ = − c/ Q = 2012 x - 2012 ⇔ ( ) 1x x − = 2012 x - 2012 ⇔ ( ) ( ) 1 2012 1 0x x x− − − = ⇔ ( ) ( ) 1 0 1 1 2012 0 4048144 2012 0 x x x x x x  − = =   − − = ⇔. điểm cố định là M(1; - 2) Cách khác: Với m = 2 ta có đường thẳng x = 1, với m = 1 ta có đường thẳng y = -2 ; thay x= 1; y = - 2 vào phương trình ta có: 2(m – 1).1 + (m – 2). (- 2) = 2 ⇔ 2m – 2 –

Ngày đăng: 28/07/2015, 08:55

Từ khóa liên quan

Tài liệu cùng người dùng

  • Đang cập nhật ...

Tài liệu liên quan