Bài 1 (4,0 điểm) a. Chứng minh B A là một số nguyên, biết rằng : 1 1 1 1 A = + + + + 2 3 4 2013 và 2012 2011 2010 1 B = + + + + 1 2 3 2012 b. Tìm các cặp số nguyên (x ; y) thỏa mãn : x - y + 2xy = 3 Bài 2 (4,0 điểm) a. Tìm điểm M(x 0 ; y 0 ) thuộc đồ thị hàm số 2 y = - x 3 , biết : 0 0 5y +2 x = 8 b. Cho đa thức f(x) thỏa mãn điều kiện : (x - 1) . f(x) = (x + 4) . f(x + 8) , với mọi x R. Chứng minh đa thức f(x) có ít nhất một nghiệm là số nguyên tố. Bài 3 (4,0 điểm) a. Tìm ba số a, b, c biết : 52 39 13 = = a -20 b-15 c-5 và b.c = 3 b. Cho ba số thực dơng x, y, z thỏa mãn : x 2 + y 3 + z 4 = 1 Chứng minh : x 5 + y 6 + z 7 < 1 Bài 4 (4,0 điểm) Cho tam giác ABC cân tại A có ã o BAC = 20 . Trên cạnh AC lấy điểm M sao cho AM = BC. Vẽ tam giác đều ACN (N và C thuộc hai nửa mặt phẳng đối nhau có bờ là đờng thẳng AB). a. Chứng minh AMB = CBN . b. Tính số đo ã ABM . Bài 5 (4,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A. Vẽ ở phía ngoài tam giác ABC các tam giác vuông cân ABE, ACF, BMC ( ã ã ã o ABE = ACF = BMC = 90 ). Gọi H và K thứ tự là hình chiếu của E và F trên đờng thẳng BC. Chứng minh : a. EH + FK = BC b. AB + AC = AM 2 Phòng giáo dục và đào tạo THàNH phố thái bình đề khảo sát học sinh giỏi lớp 7 Năm học : 2012 - 2013 Môn : toán Thời gian làm bài : 120 phút Bài 1 (4,0 điểm) Câu Nội dung Điểm a (2đ) 2012 2011 2010 1 B = + + + + 1 2 3 2012 1 + + + + + ữ ữ ữ ữ 1+ 1+ 1+ 1+ 2011 2010 2009 1 = 2 3 4 2012 1.0 + 2013 2013 2013 2013 2013 = + + + + 2 3 4 2012 2013 0.25 + ữ 1 1 1 1 1 = 2013 + + + + 2 3 4 2012 2013 0.25 => 2013= B A là số nguyên. 0.5 b (2đ) x - y + 2xy = 3 => 2x - 2y + 4xy = 6 0.25 => (2x + 4xy) - 2y = 6 => 2x(1 + 2y) - (2y + 1) = 5 => (2x - 1).(2y + 1) = 5 0.5 Vì x, y nguyên => 2x - 1 và 2y + 1 nguyên => 2x - 1 và 2y + 1 là ớc của 5. 0.25 Ta có bảng giá trị nh sau : 2x - 1 1 5 -1 -5 2y + 1 5 1 -5 -1 x 1 3 0 -2 y 2 0 -3 -1 Thử lại chọn chọn chọn chọn 0.75 Vậy (x ; y) = (1 ; 2) ; (3 ; 0) ; (0 ; -3) ; (-2 ; -1) 0.25 Bài 2 (4,0 điểm) a (2đ) Vì điểm M(x 0 ; y 0 ) thuộc đồ thị hàm số 2 y = - x 3 => 0 0 2 y = - x 3 0.25 Mà 0 0 5y +2 x = 8 => 0 0 -10 3 x +2 x = 8 => 0 0 -5 3 x + x = 4 0.5 - Nếu x 0 0 ta có : 0 0 -5 3 x + x = 4 => x 0 = -6 (không thỏa mãn x 0 0 ) 0.5 - Nếu x 0 < 0 ta có : 0 0 -5 3 x -x = 4 => x 0 = 3 - 2 (thỏa mãn x 0 < 0) => y 0 = 1. 0.5 Vậy điểm M ( 3 - 2 ; 1) thỏa mãn đề bài. 0.25 Phòng giáo dục và đào tạo THàNH phố thái bình HƯớNG DẫN CHấM khảo sát hSG lớp 7 Năm học : 2012 - 2013 Môn : toán b (2đ) (x - 1) . f(x) = (x + 4) . f(x + 8) (*) , với mọi x R. Thay x = 1 vào (*) ta có : (1 - 1) . f(1) = (1 + 4) . f(1 + 8) => f(9) = 0 0.75 Thay x = 9 vào (*) ta có : (9 - 1) . f(9) = (9 + 4) . f(9 + 8) => f(17) = 0 => x = 17 là một nghiệm của f(x) 0.75 Mà 17 là số nguyên tố => f(x) có ít nhất một nghiệm là số nguyên tố. 0.5 Bài 3 (4,0 điểm) a (2.5đ) ĐK : a 20;b 15;c 5 0.25 52 39 13 a-20 b-15 c-5 = = = = a -20 b-15 c-5 52 39 13 - - a 20 b 15 c 5 = = 52 52 39 39 13 13 - - a 5 b 5 c 5 = = 52 13 39 13 13 13 a b c = = 52 39 13 0.75 Đặt = a = 52k b = 39k c = 13k a b c = = k 52 39 13 Mà b.c = 3 => 39k . 13k = 3 => 3. (13k) 2 = 3 => 13k = 1=> 1 k = 13 0.75 - Với 1 k = 13 => a = 4; b = 3; c = 1 - Với 1 k = - 13 => a = -4; b = -3; c = -1 0.5 Các bộ số (a ; b ; c) = (4 ; 3 ; 1) ; (-4 ; -3 ; -1) thỏa mãn ĐK bài toán. Vậy (a ; b ; c) = (4 ; 3 ; 1) ; (-4 ; -3 ; -1) 0.25 b (1.5đ) Vì x, y, z là ba số thực dơng thỏa mãn : x 2 + y 3 + z 4 = 1 => 0 < x 2 < 1 ; 0 < y 3 < 1 ; 0 < z 4 < 1 0.25 => 0 < x < 1 ; 0 < y < 1 ; 0 < z < 1 0.5 => x 5 < x 2 ; y 6 < y 3 ; z 7 < z 4 0.5 => x 5 + y 6 + z 7 < x 2 + y 3 + z 4 = 1 0.25 Bài 4 (4,0 điểm) a (2.5đ) A B C N M - Tính đợc ã ã = = O ABC ACB 80 - Tính đợc ã = O BCN 20 và chứng minh đợc AB = CN - AMB và CBN có : AM = CB (gt) ã ã ( ) = = O MAB BCN 20 AB = CN (chứng minh trên) => AMB = CBN (c.g.c) 0.75 0.75 1.0 b Ta có AMB = CBN (chứng minh trên) => ã ã =ABM CNB (2 góc tơng ứng) (1) 0.25 Chứng minh đợc tam giác ABN cân tại A 0.25 Tính đợc ã = O BAN 40 0.25 ã = O ANB 70 0.25 ã = O CNB 10 (2) 0.25 Từ (1) và (2) => ã = O ABM 10 0.25 Bài 5 (4,0 điểm) a (2đ) B C A E F H K I - Kẻ AI BC (I BC) - Chứng minh đợc BHE = AIB (ch - gn) => EH = BI (1) - Chứng minh đợc CFK = ACI (ch - gn) => KF = CI (2) -Từ (1) và (2) => EH + FK = BI + CI = BC 0.25 0.75 0.75 0.25 b (2đ) B C A E F H K I B C A M N - Trên tia đối của tia CA lấy điểm N sao cho CN = AB => AB + AC = CN + AC = AN (1) - Chứng minh đợc ã ã = ABM MCN - Chứng minh đợc ABM = NCM (c.g.c) => AM =NM ã ã =AMB CMN Từ đó chứng minh đợc AMN vuông cân tại M => AN = AM 2 (2) Từ (1) và (2) => AB + AC = AM 2 0.5 0.25 1.0 0.25 Chú ý - Trên đây chỉ là hớng dẫn chấm điểm theo bớc cho một cách giải. Các cách giải chính xác khác, giám khảo cho điểm tơng ứng. - Điểm toàn bài thi bằng tổng điểm từng bài (không làm tròn). . 52 39 13 - - a 20 b 15 c 5 = = 52 52 39 39 13 13 - - a 5 b 5 c 5 = = 52 13 39 13 13 13 a b c = = 52 39 13 0 .75 Đặt = a = 52k b = 39 k c = 13k a b c = = k 52 39 13 Mà b.c = 3 =>. 1 = 2 3 4 2012 1.0 + 20 13 20 13 20 13 20 13 20 13 = + + + + 2 3 4 2012 20 13 0.25 + ữ 1 1 1 1 1 = 20 13 + + + + 2 3 4 2012 20 13 0.25 => 20 13= B A là số nguyên. 0.5 b (2đ) x - y + 2xy = 3 =>. = 3 => 39 k . 13k = 3 => 3. (13k) 2 = 3 => 13k = 1=> 1 k = 13 0 .75 - Với 1 k = 13 => a = 4; b = 3; c = 1 - Với 1 k = - 13 => a = -4; b = -3; c = -1 0.5 Các bộ số (a ; b