! !"#$%&'()*+,-) ).*.)) /0&1)23)&456)7)489):%&4)&4;&)<=)>?%)489)@4A))) B4%)#%C#()DE#4$%&2:FG&! "! H4"I)1%J%)>K)L!ML)N=O9)P%E)Q)L4RS()/T&1)L4U&4)VE6) DW&()L"I&X)/Y)Z[)77\]*) V1US)#4%)()*^\*^\.*_]) L4`%)1%E&)$U6)aU%()_b*)@4c#d)24W&1)2e)#4`%)1%E&)1%E")>K) f%g&)4h)>0&1)23)24"I)489)Q)!"#$%&'()*+,-) ).*.)Q)B4%)#%C#()iiiF6E#4$%&2:FG&)) ) Bj=)_)k.d*)>%e6lF!#$%!$&'!()! y = x 3 − 3x 2 + 4 (1) *! "* +$,%!( !(/!0123!.$143!5&!56!78!.$9!$&'!()!:";*! <* =12.!>$?@3A!.BC3$!.12>!.DE23!FGH!:";!.I1!F-F!A1H%!71J'!FGH!:";!5K1!.BLF!$%&3$*! Bj=).)k_d*)>%e6lF) H; #$%!AMF!H!.$%,!'N3! sina = 1 5 ,a ∈ ( π 2 ;π) *!OP3$!A1-!.B9!FGH!01JD!.$QF! M = (tana +1).cos2a *! 0; #$%!()!>$QF!R!.$%,!'N3! z + 2.z = 6−3i *!OC'!()!>$QF!S143!$T>!FGH!R*! Bj=)7)k*d])>%e6lF!U1,1!>$?@3A!.BC3$! log 3 (x +1)+ 3= 2log 3 (x + 7) *! Bj=)^)k_d*)>%e6lF!U1,1!0V.!>$?@3A!.BC3$! 8 x(x 2 − x−2) + 4−8x ≥ (x 2 − 2x) 2 *! Bj=)])k_d*)>%e6lF)OP3$!.PF$!>$W3! I = (cosx + x.e x )dx 0 π 2 ∫ *! Câu 6 (1,0 điểm). Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB = a,AC = a 3 và tam giác SBC vuông tại S. Hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng (ABC) trùng với trung điểm H của cạnh BC. Tính thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SAC). Bj=),)k_d*)>%e6lF!OB%3A!X$Y3A!A1H3!5K1!$Z!.BLF!.%I!7[!\]ER!F$%!$H1!71J'!^:<_`_`;!5&!a:"_"_b";*! =12.!>$?@3A!.BC3$!'c.!>$d3A!:e;!71!fDH!0H!71J'!\g^ga*!=12.!>$?@3A!.BC3$!'c.!FhD!:i;!71!fDH! \g^ga!5&!FM!0-3!XP3$!3$j!3$V.*! Bj=)b)k_d*)>%e6lF)OB%3A!'c.!>$d3A!5K1!.BLF!.%I!7[!\]E!F$%!.H'!A1-F!^a#!FM!7k3$!a:<_l;!5&! A1H%!71J'!FGH!7?m3A!>$W3!A1-F!.B%3A!AMF!^!5K1!7?m3A!>$W3!A1-F!3A%&1!AMF!a!FGH!.H'!A1-F! ^a#!S&!71J'!+:"n_"o;*!p?m3A!.$d3A!71!fDH!+!5DY3A!AMF!5K1!^+!Fq.!F-F!7?m3A!.$d3A!^ag^#! Sh3!S?T.!.I1!rgs!.$%,!'N3! BD.CE = 288 *!OC'!.%I!7[!F-F!7k3$!^g#!012.!r!FM!$%&3$!7[!t?@3A! 3u'!.B43!7?m3A!.$d3A! 10x− y+ 7= 0 *! Bj=)+)k_d*)>%e6lF!OB%3A!'[.!Xv!.$1!5V3!7->!.$P!(13$!^!>$,1!7Q3A!.B?KF!0H3!A1-'!X$,%!F$w3! 3AxD!3$143!y!>$12D!FWD!$j1!.z!'[.!.${3A!>$12D!A8'!o`!>$12D!FWD!$j1g!.B%3A!7M!FM!n!Fc>! >$12D!FWD!$j1!'&!'|1!Fc>!>$12D!FM!3[1!tD3A!X$-F!3$HD!.z3A!7Y1!'[.!5&!.B%3A!'|1!'[.!Fc>! >$12D!FM!3[1!tD3A!A1)3A!3$HD*!OP3$!]-F!(DV.!7J!.$P!(13$!^!F$w3!7?TF!y!>$12D!FWD!$j1!FM!3[1! tD3A!X$-F!3$HD*! Bj=)_*)k_d*)>%e6lF!#$%!F-F!()!.$/F! a,b,c ∈ 1;2 ⎡ ⎣ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ .$%,!'N3! a 2 + b 2 + c 2 = 6 *!OC'!A1-!.B9!3$j!3$V.! FGH!01JD!.$QF! P = 4− a 2 + 4− b 2 + 4− c 2 *!!!!! mmm!nLmm ! !"#$%&'()*+,-) ).*.)) /0&1)23)&456)7)489):%&4)&4;&)<=)>?%)489)@4A))) B4%)#%C#()DE#4$%&2:FG&! <! M!oV)LpB!)qrV!)fstV)/uM)uV) Bj=)_)k.d*)>%e6lF!#$%!$&'!()! y = x 3 − 3x 2 + 4 (1) *! "* +$,%!( !(/!0123!.$143!5&!56!78!.$9!$&'!()!:";*! <* =12.!>$?@3A!.BC3$!.12>!.DE23!FGH!:";!.I1!F-F!A1H%!71J'!FGH!:";!5K1!.BLF!$%&3$*! "* }wF!(13$!./!A1,1*! <* e$?@3A!.BC3$!$%&3$!7[!A1H%!71J'~! x 3 −3x 2 + 4= 0 ⇔ (x +1)(x − 2) 2 = 0 ⇔ x = −1 x = 2 ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ *! OH!FM~! y' = 3x 2 − 6x *!! •;!€2D! x = −1⇒ y '(−1)= 9;y(−1)= 0 !343!.12>!.DE23!S&~! y = 9(x +1)+ 0= 9x + 9 *!!!! •;!€2D! x = 2 ⇒ y '(2)= 0;y(2)= 0 343!.12>!.DE23!S&! y = 0 *! +2.!SD•3~!=•E!FM!$H1!.12>!.DE23!!Fh3!.C'!S&! y = 0;y = 9x+ 9 *!!!! Bj=).)k_d*)>%e6lF) H; #$%!AMF!H!.$%,!'N3! sina = 1 5 ,a ∈ ( π 2 ;π) *!OP3$!A1-!.B9!FGH!01JD!.$QF! M = (tana +1).cos2a *! 0; #$%!()!>$QF!R!.$%,!'N3! z + 2.z = 6−3i *!OC'!()!>$QF!S143!$T>!FGH!R*! H;!OH!FM~! cos 2 a = 1− sin 2 a = 1− 1 5 = 4 5 *!=C! a ∈ ( π 2 ;π)⇒ cosa < 0 ⇒ cosa = − 2 5 *! r%!7M! M = ( sina cosa +1).(2cos 2 a −1) = ( 1 −2 +1).(2. 4 5 −1)= 3 10 *!!!! 0;!pc.! z = x+ y.i(x,y ∈ !) g!.$‚%!A1,!.$12.!.H!FM~! x + y.i+ 2(x − y.i) = 6−3i ⇔ (3x − 6)+ (3− y).i = 0 ⇔ 3x− 6 = 0 3− y = 0 ⎧ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⇔ x = 2 y = 3 ⎧ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⇒ z = 2+ 3i,z = 2−3i *! =•E! z = 2− 3i *!! Bj=)7)k*d])>%e6lF!U1,1!>$?@3A!.BC3$! log 3 (x +1)+ 3= 2log 3 (x + 7) *! p1ƒD!X1Z3~! x >−1 *! e$?@3A!.BC3$!.?@3A!7?@3A!5K1~! ! log 3 (x +1)+ log 3 27= log 3 (x + 7) 2 ⇔ log 3 27(x +1) ⎡ ⎣ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ = log 3 (x + 7) 2 ⇔ 27(x +1)= (x + 7) 2 ⇔ x 2 −13x + 22= 0 ⇔ x = 2 x = 11 ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ (t / m) !*! =•E!>$?@3A!.BC3$!FM!$H1!3A$1Z'! x = 2;x = 11 *!!! Bj=)^)k_d*)>%e6lF!U1,1!0V.!>$?@3A!.BC3$! 8 x(x 2 − x−2) + 4−8x ≥ (x 2 − 2x) 2 *! p1ƒD!X1Z3!]-F!793$~! x ≥ 2 −1≤ x ≤ 0 ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ *! aV.!>$?@3A!.BC3$!.?@3A!7?@3A!5K1~! 8 x(x 2 − x−2) + 4−8x ≥ x 4 − 4x 3 + 4x 2 ⇔ 8 x(x 2 − x−2) + 4x 3 − 4x 2 −8x + 4≥ x 4 ⇔ 4(2 x(x 2 − x−2) + x(x 2 − x−2)+1)≥ x 4 ⇔ 4( x(x 2 − x−2) +1) 2 ≥ x 4 ⇔ 2( x(x 2 − x−2) +1)≥ x 2 (1) *! ! !"#$%&'()*+,-) ).*.)) /0&1)23)&456)7)489):%&4)&4;&)<=)>?%)489)@4A))) B4%)#%C#()DE#4$%&2:FG&! y! •;!€2D! −1≤ x ≤ 0 ⇒ VP (1) ≤1≤VT (1) _!0V.!>$?@3A!.BC3$!SDY3!7„3A*! •;!€2D! x ≥ 2 0V.!>$?@3A!.BC3$!.?@3A!7?@3A!5K1~! ! x 2 −2 x(x 2 − x−2) −2 ≤ 0 ⇔ (x 2 − x−2)− 2 x(x 2 − x−2) + x ≤ 0 ⇔ ( x 2 − x−2 − x) 2 ≤ 0 ⇔ x 2 − x−2 = x ⇔ x 2 −2x −2 = 0 ⇔ x = 1− 3(l) x = 1+ 3(t / m) ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ *! +2.!$T>!<!.B?m3A!$T>!.H!FM!.•>!3A$1Z'!FGH!0V.!>$?@3A!.BC3$!S&! S = −1;0 ⎡ ⎣ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ∪ 1+ 3 { } *!! qU%)#;@)#<v&1)#wm) qU%)_F)U1,1!0V.!>$?@3A!.BC3$! 8 3x(x 2 − x−2) +1− 6x ≥ ( x 2 − 4x 2 ) 2 *!p…(~! S = −1;0 ⎡ ⎣ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ∪ 2+ 6 { } *!!!! qU%).F)U1,1!0V.!>$?@3A!.BC3$! 8 2x(x 2 − x−2) + 4−16x ≥ (x 2 −3x) 2 *!p…(~! S = −1;0 ⎡ ⎣ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ∪ 3+ 17 2 ⎧ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎫ ⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭ ⎪ ⎪ ⎪ *! Bj=)])k_d*)>%e6lF)OP3$!.PF$!>$W3! I = (cosx + x.e x )dx 0 π 2 ∫ *! •;!OH!FM~! I = cosx dx 0 π 2 ∫ + x.e x dx 0 π 2 ∫ *! •;! I 1 = cosx dx 0 π 2 ∫ = sin x π 2 0 = 1 *! •;! I 2 = x.e x dx 0 π 2 ∫ = xd(e x ) 0 π 2 ∫ = x.e x π 2 0 − e x dx 0 π 2 ∫ = π 2 e π 2 −e x π 2 0 = π −2 2 e π 2 +1 *! •;!=•E! I = I 1 + I 2 = 1+ π − 2 2 e π 2 +1= π − 2 2 e π 2 + 2 *!!!! Câu 6 (1,0 điểm). Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB = a,AC = a 3 và tam giác SBC vuông tại S. Hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng (ABC) trùng với trung điểm H của cạnh BC. Tính thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SAC). Tam giác ABC vuông tại A, nên BC = a 2 + (a 3) 2 = 2a,S ABC = 1 2 AB.AC = a 2 3 2 . Do tam giác SBC vuông tại S nên SH = BC 2 = a . Vì vậy V S.ABC = 1 3 SH.S ABC = 1 3 .a. a 2 3 2 = a 3 3 6 (đvtt). +) Do BC = 2HC , nên d(B;(SAC)) = 2d(H;(SAC)) . Kẻ HI song song với AB cắt AC tại I, Kẻ HK vuông góc với SI tại K, ta có HK ⊥ SI (1) . ! !"#$%&'()*+,-) ).*.)) /0&1)23)&456)7)489):%&4)&4;&)<=)>?%)489)@4A))) B4%)#%C#()DE#4$%&2:FG&! n! Ta có AC ⊥ HI,AC ⊥ SH ⇒ AC ⊥ (SHI) (2) . Từ (1), (2) suy ra: HK ⊥ (SAC),HK = d(H;(SAC)) . Tam giác vuông SHI có: IH = AB 2 = a 2 ,SH = a ⇒ 1 HK 2 = 1 HI 2 + 1 SH 2 = 4 a 2 + 1 a 2 ⇒ HK = a 5 . Vì vậy d(B;(SAC)) = 2a 5 5 . Bj=),)k_d*)>%e6lF!OB%3A!X$Y3A!A1H3!5K1!$Z!.BLF!.%I!7[!\]ER!F$%!$H1!71J'!^:<_`_`;!5&!a:"_"_b";*! =12.!>$?@3A!.BC3$!'c.!>$d3A!:e;!71!fDH!0H!71J'!\g^ga*!=12.!>$?@3A!.BC3$!'c.!FhD!:i;!71!fDH! \g^ga!5&!FM!0-3!XP3$!3$j!3$V.*! OH!FM~! OA ! "! = (2;0;0),OB ! "! = (1;1;−1)⇒ OA ! "! ,OB ! "! ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ = (0;2;2) / /(0;1;1) *! •;!†c.!>$d3A!:e;!71!fDH!\!5&!3$•3!:`_"_";!S&'!5‡F!.@!>$->!.DE23!343!FM!>$?@3A!.BC3$! (P): y + z = 0 *! •;!Uw1!ˆ!S&!.W'!7?m3A!.B‰3!3A%I1!.12>!.H'!A1-F!\^ag!t%!ˆ!.$D[F!:e;!343! I(x;y;−y) *! OH!FM~! IO 2 = IA 2 IO 2 = IB 2 ⎧ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⇔ x 2 + 2y 2 = (x − 2) 2 + 2y 2 x 2 + 2y 2 = (x −1) 2 + 2(y−1) 2 ⎧ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⇔ x = 1 y = 1 4 ⎧ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⇒ I(1; 1 4 ;− 1 4 ) *! •;!Uw1!+!S&!.W'!'c.!FhD!:i;!5&!Š!S&!0-3!XP3$!FGH!:i;g!.H!FM~! R 2 = KI 2 + IO 2 ≥ IO 2 = 9 8 *!rVD!0u3A!],E!BH!X$1!5&!F$k!X$1! K ≡ I ⇒ K(1; 1 4 ;− 1 4 ) *! =•E! (S):(x−1) 2 + (y− 1 4 ) 2 + (z + 1 4 ) 2 = 9 8 *!!!!!!!! Bj=)b)k_d*)>%e6lF)OB%3A!'c.!>$d3A!5K1!.BLF!.%I!7[!\]E!F$%!.H'!A1-F!^a#!FM!7k3$!a:<_l;!5&! .W'!7?m3A!.B‰3!0&3A!.12>!AMF!^!S&!71J'!+:"n_"o;*!p?m3A!.$d3A!71!fDH!+!5DY3A!AMF!5K1!^+! Fq.!F-F!7?m3A!.$d3A!^ag^#!Sh3!S?T.!.I1!rgs!.$%,!'N3! BD.CE = 288 *!OC'!.%I!7[!F-F!7k3$!^g#! 012.!r!FM!$%&3$!7[!t?@3A!3u'!.B43!7?m3A!.$d3A! 10x− y + 7 = 0 *! ! OH'!A1-F!^rs!FW3!.I1!^!:t%!FM!7?m3A!FH%!F‹3A!S&! 7?m3A!>$W3!A1-F;* ⇒ D ! = E ! :";*! OQ!A1-F!ar#s!FM~! B ! + C ! + D ! + E ! = 360 0 ⇒ E ! + KCE " + KBD " = 180 0 (2) *! Œ‡.!.H'!A1-F!+#s!FM~! E ! + KCE " + CKE " = 180 0 (3) *!!!! Oz!:<;g:y;!(DE!BH~! CKE ! = KBD ! (4) *! Oz!:";g:n;!(DE!BH!.H'!A1-F!ra+!783A!tI3A!5K1!.H'!A1-F! s+#*! r%!7M! DB EK = DK CE ⇒ BD.CE = EK.DK = DK 2 :•;*! •;!Uw1! D(a;10a + 7),a > 0 .z!:•;!.H!FM!>$?@3A!.BC3$~! ! !"#$%&'()*+,-) ).*.)) /0&1)23)&456)7)489):%&4)&4;&)<=)>?%)489)@4A))) B4%)#%C#()DE#4$%&2:FG&! 5! (a −14) 2 + (10a − 8) 2 = 288⇔ 101a 2 −188a − 28= 0 ⇔ a = 2(t / m) a = − 14 101 (l) ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ .! Vậy!D(2;27),!K!là!trung!đểm!của!DE!nên!E(26;3).! +)!Đường!thẳng!AB!đi!qua!B,D!nên!có!phương!trình:! x − 2 = 0 .! +)!Đường!thẳng!AK!đi!qua!K!và!vuông!góc!với!DE!nên!có!phương!trình!là! x− y +1= 0 .! Toạ!độ!điểm!A!là!nghiệm!của!hệ! x− 2 = 0 x− y +1= 0 ⎧ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⇔ x = 2 y = 3 ⎧ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⇒ A(2;3) .! +)!Đường!thẳng!AC!đi!qua!A,E!nên!có!phương!trình!là! y− 3 = 0 .! Đường!thẳng!BC!đối!với!AB!đối!xứng!qua!đường!thẳng!KB!nên!có!phương!trình!! 3x + 4y − 42 = 0 .! Toạ!độ!điểm!C!là!nghiệm!của!hệ! y−3= 0 3x + 4y − 42 = 0 ⎧ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⇔ x = 10 y = 3 ⎧ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⇒ C(10;3) .!!!!! HC#)$=;&(!Vậy!A(2;3),!C(10;3).! IJ&4)$=;&(!Với!giả!thiết!bài!toán!liên!quan!đến!tích!độ!dài!hoặc!tỷ!số!độ!dài!các!chúng!ta!cần! chú!ý!đến!việc!chứng!minh!hai!tam!giác!đồng!dạng!với!nhau.! IK%)#;@)#<L&1)#M)N!Trong!mặt!phẳng!toạ!độ!Oxy!cho!tam!giác!ABC!có!tâm!đường!tròn!nội!tiếp! là!I(1;0).!Đường!thẳng!vuông!góc!với!AI!tại!I!cắt!các!cạnh!AB,AC!lần!lượt!tại!M,N!thoả!mãn! BM.CN = 50 .!Viết!phương!trình!đường!thẳng!AC!biết!rằng!P(3;11)!thuộc!đường!thẳng!AB,!M! có!hoành!độ!âm!và!thuộc!đường!thẳng! x + y + 7= 0 .!! HD:!Chứng!minh!tam!giác!MBI!đồng!dạng!với!tam!giác!NIC.! Suy!ra:! BM.CN = MI.NI = MI 2 ⇒ M(−6;−1) ,!I!là!trung!điểm!MN!suy!ra!N(8;1).! +)!Viết!pt!AI,AB!và!tìm!được!A(0;7),!đường!thẳng!AC!đi!qua!A,N!nên!có!pt!là! 3x + 4y − 28 = 0 .!!!!!!! BO=)+)PQR*)>%S6TF!Trong!một!kỳ!thi!vấn!đáp!thí!sinh!A!phải!đứng!trước!ban!giám!khảo!chọn! ngẫu!nhiên!3!phiếu!câu!hỏi!từ!một!thùng!phiếu!gồm!50!phiếu!câu!hỏi,!trong!đó!có!4!cặp! phiếu!câu!hỏi!mà!mỗi!cặp!phiếu!có!nội!dung!khác!nhau!từng!đôi!một!và!trong!mỗi!một!cặp! phiếu!có!nội!dung!giống!nhau.!Tính!xác!suất!để!thí!sinh!A!chọn!được!3!phiếu!câu!hỏi!có!nội! dung!khác!nhau.! Không!gian!mẫu!là!số!cách!chọn!tuỳ!ý!3!phiếu!câu!hỏi!từ!thùng!đựng!50!phiếu!câu!hỏi,!vậy! Ω = C 50 3 .! +)!Gọi!A!là!biến!cố!thí!sinh!A!chọn!được!3!phiếu!câu!hỏi!khác!nhau.! Để!tìm!số!phần!tử!của!A!ta!tìm!số!phần!tử!của!biến!cố! A ,!lúc!này!cần!chọn!được!1!trong!4!cặp! phiếu!có!câu!hỏi!giống!nhau!và!chọn!1!phiếu!trong!48!phiếu!còn!lại.! Vậy! Ω A = 48.C 4 1 .! Vậy!xác!suất!cần!tính! P = Ω A Ω = Ω − Ω A Ω = C 50 3 − 48.C 4 1 C 50 3 = 1213 1225 ≈ 0,9902 .!!! BO=)Q*)PQR*)>%S6TF!Cho!các!số!thực! a,b,c ∈ 1;2 ⎡ ⎣ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ thoả!mãn! a 2 + b 2 + c 2 = 6 .!Tìm!giá!trị!nhỏ!nhất! của!biểu!thức! P = 4− a 2 + 4− b 2 + 4− c 2 .! ! !"#$%&'()*+,-) ).*.)) /0&1)23)&456)7)489):%&4)&4;&)<=)>?%)489)@4A))) B4%)#%C#()DE#4$%&2:FG&! 6! Theo!giả!thiết!a,b,c!là!độ!dài!3!cạnh!một!tam!giác!có!thể!suy!biến!(!tức!có!thể!xảy!ra! a + b = c hoặc! b = c + a !hoặc! c = a + b ).! Ta!có:! P = 2(b 2 + c 2 )− a 2 3 + 2(c 2 + a 2 )− b 2 3 + 2(a 2 + b 2 )− c 2 3 = 2 3 (ma + mb + mc) .! Trong!đó!ma,mb,mc!là!độ!dài!ba!đường!trung!tuyến!kẻ!từ!A,B,C.! Ta!cũng!có!ma,mb,mc!cũng!là!độ!dài!ba!cạnh!của!một!tam!giác! Thậy!vậy!vì!tính!đối!xứng!của!ma,mb,mc!ta!chỉ!cần!chứng!minh! ma + mb ≥ mc .! ! ⇔ 2(b 2 + c 2 )− a 2 + 2(c 2 + a 2 )− b 2 ≥ 2(a 2 + b 2 )− c 2 ⇔ 2 2(b 2 + c 2 )− a 2 . 2(c 2 + a 2 )− b 2 ≥ a 2 + b 2 − 5c 2 ⇔ 2 (2x− y + 2)(2y− x + 2) ≥ x + y− 5 (x = a 2 c 2 ,y = b 2 c 2 ) .! +)!Nếu! x + y− 5< 0 bất!đẳng!thức!luôn!đúng.! +)!Nếu! x + y− 5≥ 0 ,!ta!chỉ!cần!chứng!minh! ! 4(2x− y + 2)(2y− x + 2)≥ (x+ y− 5) 2 ⇔ x 2 + y 2 − 2xy− 2x− 2y +1≤ 0 ⇔ (x − y +1) 2 ≤ 4x ⇔ −2 x ≤ x − y +1≤ 2 x ⇔ ( x −1) 2 ≤ y ≤ ( x +1) 2 ⇔ x −1 ≤ y ≤ x +1⇔ a− c ≤ b ≤ a + c .! Bất!đẳng!thức!cuối!luôn!đúng.! Áp!dụng!ta!có:! ! ma + mb ≥ mc mb + mc ≥ ma mc + ma ≥ mb ⎧ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⇒ mc(ma + mb)≥ mc 2 ma(mb + mc)≥ ma 2 mb(mc + ma)≥ mb 2 ⎧ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⇒ 2(ma.mb + mb.mc + mc.ma)≥ ma 2 + mb 2 + mc 2 ⇒ (ma + mb + mc) 2 ≥ 2(ma 2 + mb 2 + mc 2 )= 3 2 (a 2 + b 2 + c 2 )= 9 ⇒ ma + mb + mc ≥ 3⇒ P ≥ 2 3 .! Nhận!thấy! a = 2,b = c = 1 dấu!bằng!xảy!ra.!Vậy!giá!trị!nhỏ!nhất!của!P!bằng! 2 3 .! IJ&4)$=;&(!Lời!giải!trên!dựa!vào!tính!chất!hình!học!của!tam!giác!đó!là!độ!dài!3!đường!trung! tuyến!cũng!là!độ!dài!ba!cạnh!của!một!tam!giác.! +)!Ngoài!ra!ta!có!thể!chứng!minh!trực!tiếp!các!bất!đẳng!thức:! 2(b 2 + c 2 )− a 2 + 2(c 2 + a 2 )− b 2 ≥ 2(a 2 + b 2 )− c 2 , 2(c 2 + a 2 )− b 2 + 2(a 2 + b 2 )− c 2 ≥ 2(b 2 + c 2 )− a 2 , 2(b 2 + c 2 )− a 2 + 2(a 2 + b 2 )− c 2 ≥ 2(c 2 + a 2 )− b 2 ! Rồi!áp!dụng!tương!tự!cách!trên.! +)!Nếu!đổi!giả!thiết!thành! 4− a 2 + 4− b 2 + 4− c 2 = 2 3(a,b,c ∈ 1;2 ⎡ ⎣ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ) .!Bài!toán!đặt!ra!tìm!giá! trị!lớn!nhất!của!biểu!thức! P = a 2 + b 2 + c 2 .!!! Cách%2:! Không!mất!tính!tổng!quát!giả!sử! a = max a;b;c { } ⇒ a ∈ 2;2 ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ,!ta!có:! ! !"#$%&'()*+,-) ).*.)) /0&1)23)&456)7)489):%&4)&4;&)<=)>?%)489)@4A))) B4%)#%C#()DE#4$%&2:FG&! 7! ! 4− b 2 + 4− c 2 = 8−b 2 − c 2 + 2 (4− b 2 )(4− c 2 ) = 2+ a 2 + 2 16− 4(b 2 + c 2 )+ b 2 c 2 = 2+ a 2 + 2 4a 2 −8+ b 2 c 2 ≥ 2+ a 2 + 2 4a 2 − 7 .! Vì!vậy! P ≥ 4−a 2 + 2+ a 2 + 2 4a 2 −7 ≥ 2 3,∀a ∈ 2;2 ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ .!!!! Cách%3:%Với!mọi! x ∈ 1;2 ⎡ ⎣ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ !ta!có:! 4− x 2 ≥ −2x 2 + 3x + 2 3 (*) .% Thật!vậy,!sau!khi!bình!phương!hai!vế!bất!đẳng!thức!tương!đương!với:!! (x − 2)(x −1) 2 (x +1)≤ 0 .! Áp!dụng!bất!đẳng!thức!(*)!ta!có:! ! P ≥− 2 3 (a 2 + b 2 + c 2 )+ 2 3 + 3(a + b + c) = 3(a + b + c)− 2 3 .! Lại!có:! ! (a −1)(a − 2)≤ 0 ⇒ a ≥ a 2 + 2 3 ⇒ a + b + c ≥ a 2 + b 2 + c 2 + 6 3 = 4 .! Vì!vậy! P ≥ 3.4− 2 3 = 2 3 .!!! IK%)#;@)#<L&1)#MN! IK%)QF!Cho!các!số!thực! a,b,c ∈ 1;2 ⎡ ⎣ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ thoả!mãn! 4− a 2 + 4− b 2 + 4− c 2 = 2 3 .!Tìm!giá!trị!lớn! nhất!của!biểu!thức! P = a 2 + b 2 + c 2 .!!!! ! !!!!!!!!!!! . 3 ⎧ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⇒ C(10;3) .!!!!! HC#)$=;&(!Vậy!A(2;3),!C(10;3).! IJ&4)$=;&(!Với!giả !thi t!bài !toán! liên!quan!đến!tích!độ!dài!hoặc!tỷ!số!độ!dài!các!chúng!ta!cần! chú!ý!đến!việc!chứng!minh!hai!tam!giác!đồng!dạng!với!nhau.! IK%)#;@)#<L&1)#M)N!Trong!mặt!phẳng!toạ!độ!Oxy!cho!tam!giác!ABC!có!tâm!đường!tròn!nội!tiếp! là!I(1;0).!Đường!thẳng!vuông!góc!với!AI!tại!I!cắt!các!cạnh!AB,AC!lần!lượt!tại!M,N!thoả!mãn! . a 2 )− b 2 ! Rồi!áp!dụng!tương!tự!cách!trên.! +)!Nếu!đổi!giả !thi t!thành! 4− a 2 + 4− b 2 + 4− c 2 = 2 3(a,b,c ∈ 1;2 ⎡ ⎣ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ) .!Bài !toán! đặt!ra!tìm!giá! trị!lớn!nhất!của!biểu!thức! P = a 2 +. /0&1)23)&456)7)489):%&4)&4;&)<=)>?%)489)@4A))) B4%)#%C#()DE#4$%&2:FG&! 6! Theo!giả !thi t!a,b,c!là!độ!dài!3!cạnh!một!tam!giác!có!thể!suy!biến!(!tức!có!thể!xảy!ra! a + b = c hoặc!