ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – HƯỚNG DẪN GIẢI Năm học: 2007 – 2008 Bài 1 (4 điểm). Cho a là một số tự nhiên lẻ, b là số tự nhiên. Chứng minh rằng các số a và ab + 4 không có ước số chung khác ±1 Giải: Giả sử a và ab + 4 có ước số chung khác 1 là d. Thế thì: ab M d và ab + 4 M d ⇒ ab + 4 – ab M d Do đó: d \ 4 nên d = ±1; ±2; ±4. Nhưng theo giả thiết a là số lẻ nên: d = ±1 Vậy: a và ab + 4 không có ước số chung khác ±1 Bài 2 (4 điểm). Cho hệ phương trình ax by 15 ay bx 15 + =   + =  (a, b là số nguyên dương và a ≠ b). Tìm tất cả các cặp giá trị của a, b để hệ phương trình có nghiệm số nguyên dương Giải: Trừ hai phương trình của hệ vế với vế ta được: (a – b)(x – y) = 0 Do a ≠ b nên: x – y = 0 ⇔ x = y. Thế vào hệ ta được: (a + b)x = 15 ⇔ 15 x a b = + Vì x nguyên dương nên: a + b \ 15 và a, b là số nguyên dương. Suy ra: a + b ∈ {3; 5; 15} – Nếu a + b = 3 ⇔ (a, b) ∈ {(1; 2); (2; 1)} – Nếu a + b = 5 ⇔ (a, b) ∈ {(1; 4); (4; 1); (2; 3); (3; 2)} – Nếu a + b = 15 ⇔ (a; b) ∈ {(1; 14); (14; 1); (2; 13); (13; 2); (3; 12); (12; 3); (4; 11); (11; 4); (5; 10); (10; 5); (6; 9); (9; 6); (7; 8); (8; 7)} Bài 3 (3 điểm). Giải phương trình: 2 2 2 2 3x 7x 9 x 2 3x 5x 1 x 3x 13− + − − = − − − − + (1) Giải: (1) ⇔ 2 2 2 2 3x 5x 1 2(x 5) x 2 3x 5x 1 x 2 3(x 5)− − − − − − = − − − − − − Dễ thấy: x = 5 là nghiệm của phương trình đã cho – Nếu x > 5: –2(x – 5) > –3(x – 5). Phương trình có vế trái nhỏ hơn vế phải ⇒ x > 5 không là nghiệm của phương trình đã cho – Nếu x < 5: –2(x – 5) < –3(x – 5). Phương trình có vế trái lớn hơn vế phải ⇒ x < 5 không là nghiệm của phương trình đã cho Vậy: phương trình đã cho có một nghiệm duy nhất là x = 5 Bài 4 (5 điểm). a) Cho tam giác vuông ABC có các cạnh góc vuông là a, b và cạnh huyền là c. Chứng minh rằng: a b c 2 + ≥ . Với điều kiện nào của a, b thì a b c 2 + = , khi đó tính giá trị của c theo a và b b) Cho 2 số thực a, b thỏa mãn điều kiện a 2 + b 2 ≤ 2. Chứng minh rằng: a + b ≤ 2 Giải: a) Theo ĐL Pitago: a 2 + b 2 = c 2 Mặt khác: a 2 + b 2 ≥ 2ab Cộng vào 2 vế a 2 + b 2 : 2(a 2 + b 2 ) ≥ a 2 + b 2 + 2ab ⇔ 2c 2 ≥ (a + b) 2 Do a, b, c là các số dương vì là độ dài ba cạnh tam giác. Nên: a b 2c a b c 2 + ≥ + ⇔ ≥ Dấu “=” xảy ra ⇔ a = b. Khi đó: 2a c 2a (hay: c 2b) 2 = = = b) (a – b) 2 ≥ 0 ⇔ 2ab ≤ a 2 + b 2 (1). Theo giả thiết: a 2 + b 2 ≤ 2 (2) Cộng (1) và (2): a 2 + b 2 + 2ab ≤ a 2 + b 2 + 2 ≤ 2 + 2 = 4 (vì a 2 + b 2 ≤ 2) Do đó: (a + b) 2 ≤ 4 ⇔ |a + b| ≤ 2 Nên: a + b ≤ |a + b| ≤ 2 Vậy: a + b ≤ 2 Bài 5 (4 điểm). Cho ∆ABC trung tuyến AM. Một đường thẳng song song với BC cắt AB, AC lần lượt tại D và E, BE cắt CD tại O. Chứng minh rằng ba điểm A, O, M thẳng hàng Giải: Gọi N là giao điểm của AM và DE Do DN // BM nên: DN AN BM AM = Do EN // CM nên: EN AN CM AM = Suy ra: DN EN BM CM = . Do BM = CM (gt) ⇒ DN = EN Ta có: S BMND = S CMNE (1) Mặt khác: S DNO = S ENO ; S DBO = S COE ; S BOM = S CMO Suy ra: S DNO + S DBO + S CMO = S ENO + S COE + S CMD Do đó: Đường gấp khúc MON chia hình thang BCED thành hai phần có diện tích bằng nhau. Đoạn NM cũng chia hình thang thành hai phần có diện tích bằng nhau. Suy ra: N, O, M thẳng hàng ⇒ A, O, M thẳng hàng N O E D M B C A . ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – HƯỚNG DẪN GIẢI Năm học: 2007 – 2008 Bài 1 (4 điểm). Cho a là một số tự nhiên lẻ, b là số tự nhiên. Chứng minh rằng các số a và ab + 4 không. Giả sử a và ab + 4 có ước số chung khác 1 là d. Thế thì: ab M d và ab + 4 M d ⇒ ab + 4 – ab M d Do đó: d 4 nên d = ±1; ±2; ±4. Nhưng theo giả thi t a là số lẻ nên: d = ±1 Vậy: a và ab +. – y) = 0 Do a ≠ b nên: x – y = 0 ⇔ x = y. Thế vào hệ ta được: (a + b)x = 15 ⇔ 15 x a b = + Vì x nguyên dương nên: a + b 15 và a, b là số nguyên dương. Suy ra: a + b ∈ {3; 5; 15} – Nếu a + b