Đề thi chuyên Lê Quý Đôn 2014 GV: NVThắng KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN LÊ QUÍ ĐÔN NĂM HỌC 2014 – 2015 MÔN THI: TOÁN CHUYÊN NGÀY THI: 21/6/2014 Bài 1: (2đ) 1)Cho a, b là các số thực dương phân biệt. Rút gọn biểu thức:                         a a b b a a b b a b a b a b P= ba a b b a a b b a a b a b 2)Tìm giá trị tham số m để phương trình x 2 – mx + m – 3 = 0 có 2 nghiệm x 1 , x 2 sao cho biểu thức 2(x 1 2 + x 2 2 ) – x 1 x 2 đạt GTNN. Bài 2: (2đ) 1) Giải phương trình: x 4 + 3x 3 – 14x 2 – 6x + 4 = 0 2) Cho hai số thực a, b thỏa mãn a> 1 và b >1. Chứng minh rằng: 3 3 2 2 ()     a b a b 8 (a 1)(b 1) Bài 3: (2đ) 1) Chứng minh tổng 1 + 2 + 2 2 + 2 3 + …+ 2 2014 + 2 2015 chia hết cho 15. 2) Giải hệ phương trình 33        x +y =1 x+y+xy 7xy+ y x = 7 Bài 4: (3đ) Cho đường tròn (O) có 2 đường kình AB và CD vuông góc với nhau. E là điểm bất kỳ trên cung nhỏ AD (E khác A, D).Nối EC, EB cắt OA, OD lần lượt tại M, N. a) Chứng minh rằng: MAC đồng dạng với AEC ; OMC đồng dạng với EDC. b) Tìm GTNN của biểu thức  OM ON AM DN Bài 5: (1đ) Trên mặt phẳng cho 25 điểm phân biệt, biết rằng với 3 điểm bất kỳ trong số đó luôn có 2 điểm cách nhau một khoảng nhỏ hơn 1. Chứng minh rằng có 1 hình tròn bán kính bằng 1 chứa không ít hơn 13 điểm đã cho. Hết Đề thi chuyên Lê Quý Đôn 2014 GV: NVThắng ĐÁP ÁN: Bài 1: 1)                 22 .                               a b a ab b a b a ab b a b a b ab ab P= b a a b ab a b ab a b a ab b a ab b a b 2 ab P ab 2 2 0 ab a b ab 2) Vì  = m 2 – 4m + 12 = (m – 2) 2 + 8 > 0 với mọi m nên PT luôn có 2 nghiệm x 1 , x 2 phân biệt Theo Viet có x 1 + x 2 = m và x 1 x 2 = m – 3 Ta có: 2(x 1 2 + x 2 2 ) – x 1 x 2 = 2(x 1 + x 2 ) 2 – 5x 1 x 2 = 2m 2 – 5(m – 3) = 2m 2 – 5m + 15 =                 2 2 5 15 5 95 95 2 m m+ 2 m + 2 2 4 8 8 Suy ra : GTNN của 2(x 1 2 + x 2 2 ) – x 1 x 2 là khi  95 5 m 84 Bài 2: 1) Nhận xét: x = 0 không là nghiệm của PT Chi cả 2 vế của PT cho x 2 ta được:     2 2 42 x + +3 x 14= 0 x x Đặt  22 2 24 a = x a +4= x + x x PT trở thành a 2 + 3a – 10 = 0  a = 2 hoặc a = –5 . + Với a = 2 thì    2 2 2= x x -2x - 2=0 x =1± 3 x + Với a = -5 thì    2 2 -5± 33 -5 = x x +5x-2=0 x = x2 Vậy PT có 4 nghiệm phân biệt x =1± 3 ; -5± 33 2 Đề thi chuyên Lê Quý Đôn 2014 GV: NVThắng 2) 3 3 2 2 2 2 2 2 22 () 0                                       22 2 2 2 2 22 2 2 2 2 22 22 a b a b a b 8 + 8 (a 1)(b 1) b -1 a-1 a b a 4b+ 4 b 4a+ 4 4+ 4 0 0 b-1 a-1 b-1 a-1 a b +b - 4b+ 4 b a +a - 4a+ 4 0 b-1 a-1 a b a b (b-2) (a- 2) b-1 a -1 b-1 a -1 1 1 (b 2) (a 2) (a b ) b 1 a 1 b 1 a    2 0 0 0              22 22 1 a-b (b 2) (a 2) a-b a+b (a-1)(b-1) b 1 a 1 (a-b) (a+b) (b 2) (a 2) (a-1)(b-1) b 1 a 1 BĐT trên luôn đúng với a > 1 và b > 1. Suy ra đfcm. Bài 3 : 1) Số số hạng là 2016, nhóm mỗi bộ 4 số hạng ta được 504 nhóm. Ta có: (1 + 2 + 2 2 + 2 3 ) + …+ (2 2012 + 2 2013 + 2 2014 + 2 2015 ) = 15.1 + …+ 2 2012 (1 + 2 + 2 2 + 2 3 ) = 15 . (1 + 2 2 + 2 4 + …+ 2 2012 ) chia hết cho 15. 2) Giải hệ phương trình 33        x +y =1 x+y+xy 7xy+ y x = 7 Ta có: x 3 + y 3 = 1 – x + y + xy  (x +y)[(x + y) 2 – 3xy] = 8 – 6xy (*) Đặt a = x + y và b = xy Từ (*)  a 3 – 8 – 3ab + 6b = 0  (a – 2)(a 2 + 2a + 4 – 3b) = 0.  a = 2 hoặc a 2 + 2a + 4 – 3b = 0 TH1: a = 2  x + y = 2  x = 2 – y. Từ 7xy + y – x = 7  7y 2 – 16y + 9 = 0  y = 1 hoặc y = 9 7 .  (x,y) = (1 ; 1) hoặc ;    59 77 TH2: a 2 + 2a + 4 = 3b  (x +y) 2 + 2(x + y) + 4 = 3xy  x 2 – xy + y 2 + 2x + 2y + 4 =0  x 2 – (y – 2)x + y 2 + 2y + 4 = 0       2 2 y-2 3 x - + y+2 =0 24  x = y = -2 Vậy hệ PT có 3 nghiệm là (1 ; 1) ; ;    59 77 ; (-2 ;-2). Đề thi chuyên Lê Quý Đôn 2014 GV: NVThắng Bài 4 : a)  MAC đồng dạng với AEC : + AB  CD nên AOC= AOD=BOC=BOD  AC= AD=BC=BD  BAC= AEC (góc nội tiếp chắn cung BC và AC) + Xét MAC và AEC có ACE chung ; BAC= AEC (cmt) Suy ra : MAC đồng dạng với AEC (g.g) (1)  OMC đồng dạng với EDC : + 0 CED=90 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) + OMC và EDC có ECD chung và 0 CED=MOC=90 Suy ra : OMC đồng dạng với EDC (g.g) (2) b) Tìm GTNN của biểu thức  OM ON AM DN Từ (2)   OM OD OM.EC=ED.OD ED EC (3) Từ (1)   AM AC AM.EC= AE.AC AE EC (4) Từ (3)(4)   OM ED.OD AM AE.AC . (5) Chứng minh tương tự ta cũng có: ND.EB = ED.BD và ON . EB = AE.OB. Suy ra:  ON OB.AE ND ED.BD (6) Từ (5)(6)  2          OM ON ED.OD OB.AE R ED AE 1 ED AE .2. . = 2 AM DN AE.AC ED.BD AE ED AE ED R2 (BĐT Cô si) Do đó:  OM ON AM DN đạt GTNN là 2 khi ED = EA. Bài 5: (1đ) Nhận xét: 25 = 2. 12 + 1 Gọi A là 1 điểm trong số 25 điểm đã cho. Vẽ đường tròn tâm A bán kính 1. + Nếu 24 điểm còn lại nằm trong (A; 1) thì bài toán được chứng minh. + Nếu có 1 điểm nằm ngoài (A; 1) , giả sử đó là điểm B nên AB > 1. Vẽ đường tròn tâm B bán kính 1. Với 1 điểm C bất kỳ ta có: Xét 3 điểm A, B, C thì AB > 1 nên theo giả thiết đề bài thì AC < 1 hoặc BC < 1. Suy ra: C thuộc (A; 1) hoặc C thuộc (B; 1) Theo nguyên tắc Dirichlet thì có 25 điểm (25 con thỏ) mà có 2 đường tròn (2 cái lồng) nên tồn tại 1 1 đường tròn chứa ít nhất [25:2] + 1 = 13 điểm. N M B A C O D E Đề thi chuyên Lê Quý Đôn 2014 GV: NVThắng . Đề thi chuyên Lê Quý Đôn 2014 GV: NVThắng KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN LÊ QUÍ ĐÔN NĂM HỌC 2014 – 2015 MÔN THI: TOÁN CHUYÊN NGÀY THI: 21/6/2014 Bài 1:. có 1 hình tròn bán kính bằng 1 chứa không ít hơn 13 điểm đã cho. Hết Đề thi chuyên Lê Quý Đôn 2014 GV: NVThắng ĐÁP ÁN: Bài 1: 1)                 22 . . +5x-2=0 x = x2 Vậy PT có 4 nghiệm phân biệt x =1± 3 ; -5± 33 2 Đề thi chuyên Lê Quý Đôn 2014 GV: NVThắng 2) 3 3 2 2 2 2 2 2 22 () 0                 