HỘI CÁC TRƯỜNG CHUYÊN ĐỀ THI ĐỀ XUẤT MÔN TOÁN VÙNG DUYÊN HẢI ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ KHỐI 10-NĂM 2015 TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN Thời gian làm bài 180 phút TP ĐÀ NẴNG (Đề có 01 trang, gồm 05 câu) Câu 1. (4,0 điểm) Giải hệ phương trình ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 3 3 7 2 3 2 11 5 0 , 2 8 4 x x y y x y y y x x ì ï - - + - - = ï ï Î í ï - + + = ï ï î ¡ . Câu 2. (4,0 điểm) Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn ( ) O , hai đường cao ,BE CF cắt nhau tại H . Gọi M là điểm trên cung nhỏ BC của ( ) ,O đường thẳng MC cắt đường thẳng BE tại L, đường thẳng FC cắt đường thẳng BM tại K . Chứng minh rằng đường thẳng EF đi qua trung điểm đoạn KL . Câu 3. (4,0 điểm) Cho ( ) 3p p > là số nguyên tố và ,m n là các số nguyên thỏa mãn ( ) ( ) ( ) ( ) 0 1 2 3 3 3 3 3 3 . 1.2 2.3 3.4 1 2 2 1 k p p p p p p C C C C C m k k p p n - - - - - - + + + + + + = + + - - Chứng minh 2m n- chia hết cho .p (Với các số nguyên 0x y³ ³ , kí hiệu y x C để chỉ số các tổ hợp chập y của tập hợp gồm x phần tử). Câu 4. (4,0 điểm) Cho , ,a b c là các số thực dương. Chứng minh bất đẳng thức ( ) ( ) ( ) 2 2 2 10 2 a b c abc b c a c a b a b b c c a æ ö æ ö æ ö ÷ ÷ ÷ ç ç ç + + + ³ ÷ ÷ ÷ ç ç ç ÷ ÷ ÷ ç ç ç è ø è ø è ø + + + + + + . Câu 5. (4,0 điểm) Trong lớp học có 7 học sinh nam và 13 học sinh nữ. Trong 3 tháng, mỗi học sinh nam đều đến chơi nhà mỗi học sinh nữ đúng 1 lần. Chứng minh rằng trong 1 tháng nào đó có 2 học sinh nam cùng đến chơi nhà 2 học sinh nữ. HẾT ĐÁP ÁN +BIỂU ĐIỂM CHẤM MÔN TOÁN KHỐI 10 Câu Ý Nội dung Điểm 1 Điều kiện 3; 5.x y£ £ Phương trình ban đầu biến đổi thành ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 3 1 3 2 5 1 5 *x x y y- + - = - + - Đặt ( ) ( ) 2 1f t t t= + với 0t ³ thì ( ) ( ) ( ) * : 3 5f x f y- = - (1) Nhận xét. Với mỗi số không âm 1 2 0 t t£ ¹ thì ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 1 2 1 2 1 1 2 1 0 t t t t f t f t t t t t + + + - = > - + Vậy ( ) f t là hàm số đồng biến trên [ ) 0;+ ¥ . Do đó ( ) 1 :3 5 2x y y x- = - = +Û 2,0 Thay vào phương trình còn lại được ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 3 2 2 2 3 2 2 4 4 2 4 2 2 2 2 4 0 x x x x x x x x x x x + + - + = - + - + + + - + =Û Đặt 3 2 2 2 4 x t x x + = - + phương trình trên thành { } 3 2 2 2 1 0 1 2 2 4 1;2t t t x x x x- - = = + = - +Û Þ ÞÎ Vậy hệ có nghiệm ( ) ( ) 1;3 ; 2;4 . 2,0 2 Kéo dài EF cắt LK tại X , tam giác HLK có 3 điểm thẳng hàng , ,E F X nên theo định lí Menelaus , ta có ( ) . . 1 . . * XK EL FH XK EH FK EH FK XL EH FK XL EL FH FH EL = = =Û 1,0 Bốn điểm , , ,A F H E cùng thuộc một đường tròn đường kính AH nên ( ) cos cos , cos 1 cos FH B FH AH B HE AH C HE C = = =Þ 1,0 cos cos , cos cos BF B EC BC C BF BC B EC C = = =Þ Vì · · ECL ABK= nên hai tam giác BFK và CEL đồng dạng nên ( ) cos 2 cos FK BF B EL EC C = = 1,5 Từ ( ) ( ) 1 , 2 và ( ) * có được 1 XK XL = , điều phải chứng minh. 0,5 3 Đặt ( ) ( ) 3 3 0 . 1 2 k p p p k C A k k - - = = + + å Với mọi 0 3k p-£ £ ta có ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 2 3 ! 2. ! 2 2 1 3 3 ! 1 2 1 ! mod . k p k p k C p k p k p p k k k k p - - = = - - - - - - - - + +º 1,5 Do đó ( ) ( ) ( ) ( ) 3 2 1 2 1 mod k k p C k k p - - + +º nên tồn tại số nguyên k a thỏa mãn ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 2 1 1 2 2 1 , 0,1,2, , 3 1 2 1 2 k k p k k k p k C pa k k C pa k p k k k k - - = + - + + = + - = -Þ + + + + ( ) ( ) 3 0 2 2 1 1 1 2 p k p k m a pA A p n k k B - = ổ ử ữ ỗ ữ = = + = +ị ỗ ữ ỗ ữ ỗ + + ố ứ ồ ( ) ( ) 2 0 modm n B npA p- =ị Trong ú ,A B l cỏc s nguyờn v ( ) ( ) 1 ! 1 modB p p= - - nờn ( ) 2 modm n p . 2,5 4 Bin i bt ng thc nh sau ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 3 3 2 3 10 2 2 10 2 2 5 0 a a b a c abc a b b c a a bc a a abc a b b c a a b a c a abc a b b c + + + + + ộ ự + ờ ỳ - + + + ờ ỳ + ờ ỳ ở ỷ - - + + - + + ồ ế ồ ồ ế ồ ồ ế 1,5 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 3 2 2 2 0 2 0 2 2 0 a a b a c a abc a b c b c a a b a c a a b a c b c a b c a a b a c b c - - + + - + + - - + - - + + + - - + ồ ồ ồ ồ ồ 1,5 Theo bt ng thc Schur thỡ bt ng thc cui ỳng nờn bt ng thc ban u c chng minh. 1,0 5 Kớ hiu 7 hc sinh nam : B 1 , B 2 ,, B 7 ; 13 hc sinh n G 1 ,G 2 ,,G 13 Xột cỏc b gm (2 nam-1 n) m 2 bn nam ú cựng n chi nh 1 n trong cựng 1 thỏng. C nh 1 bn n. Gi n 1 , n 2 , n 3 l s bn nam n thm bn n ú trong thỏng th 1, thỏng th 2 v thỏng th 3, ta cú n 1 +n 2 +n 3 =7, suy ra s b thu c l 2,0 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 3 2 2 2 2 2 2 1 2 3 1 2 3 2 1 2 3 1 2 3 2 1 1 2 2 1 1 6 2 7 7 14 6 2 3 n n n T C C C n n n n n n n n n n n n T = + + = + + - + + + + - + +³ - =Þ ³ Vậy có không dưới 5 bộ ứng với bạn nữ đó. Xét bảng G 1 G 2 G 3 … G 13 B 1 -B 2 X B 1 -B 3 X … B 6 -B 7 X Ta sẽ đánh dấu x vào các ô của bảng nếu có hai bạn nam cùng đến chơi nhà 1 bạn nữ trong cùng 1 tháng. Vậy mỗi cột có không dưới 5 dấu x. Suy ra có không ít hơn 5.13=65 dấu x trong bảng nên có một hàng có không ít hơn 2 7 65 C é ù ê ú ê ú ë û +1=4 dấu x. Vậy có một cặp B i -B j đến chơi nhà 4 bạn nữ trong 3 tháng, suy ra có một cặp B i -B j đến chơi nhà hai bạn nữ trong cùng 1 tháng. 2,0 . HỘI CÁC TRƯỜNG CHUYÊN ĐỀ THI ĐỀ XUẤT MÔN TOÁN VÙNG DUYÊN HẢI ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ KHỐI 10- NĂM 2015 TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN Thời gian làm bài 180 phút TP ĐÀ NẴNG (Đề có 01 trang,. học sinh nam đều đến chơi nhà mỗi học sinh nữ đúng 1 lần. Chứng minh rằng trong 1 tháng nào đó có 2 học sinh nam cùng đến chơi nhà 2 học sinh nữ. HẾT ĐÁP ÁN +BIỂU ĐIỂM CHẤM MÔN TOÁN KHỐI 10 Câu. ) 2 2 2 10 2 a b c abc b c a c a b a b b c c a æ ö æ ö æ ö ÷ ÷ ÷ ç ç ç + + + ³ ÷ ÷ ÷ ç ç ç ÷ ÷ ÷ ç ç ç è ø è ø è ø + + + + + + . Câu 5. (4,0 điểm) Trong lớp học có 7 học sinh nam và 13 học sinh