SỞ GD - ĐT BẮC GIANG TRƯỜNG THPT CHUYÊN BẮC GIANG (ĐỀ THI ĐỀ XUẤT) ĐỀ THI DUYÊN HẢI VÀ ĐBBB NĂM 2015 MÔN TOÁN LỚP 10 Thời gian làm bài 180 phút Câu 1 (4 điểm). Giải hệ phương trình 3 2 2 2 2 3 2 2 2 2 ( 4) 2 0 ( , ). 0, x y x x y x xy x y x y x y x xy y + − + + + + − =  ∈  + − + + − =  ¡ Câu 2 (4 điểm). Cho tam giác ABC nhọn, không cân, trực tâm H, tâm đường tròn ngoại tiếp là O, và đường cao AD. Đường thẳng AO cắt BC tại E. Gọi I, S, F lần lượt là trung điểm AE, AH và BC. Đường thẳng qua D song song với OH lần lượt cắt AB, AC tại M và N. Đường thẳng DI lần lượt cắt AB, AC tại P, Q. Đường thẳng MQ cắt NP tại T. Chứng minh rằng: a) SF // AE. b) Các điểm D, O, T thẳng hàng. Câu 3 (4 điểm). Cho hàm số :f ¥ a ¥ , f khác hằng số và thỏa mãn a – b | f(a) – f(b). Chứng minh rằng tập các ước nguyên tố của f(c), với c ∈ ¥ là vô hạn. Câu 4 (4 điểm). Cho ba số thực dương a, b, c chứng minh rằng 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 2 2 2 a bc b ca c ab a b c b c a c a b − − − + + ≥ + + + + + + Câu 5 (2 điểm). Bên trong một hình vuông cạnh 1 cho 2015 điểm sao cho không có ba điểm nào thẳng hàng. Chứng minh rằng tồn tại một tam giác có đỉnh tại các điểm đã cho và diện tích S của nó thoả mãn bất đẳng thức: 1 2013 S < . HẾT ĐÁP ÁN – BIỂU ĐIỂM Câu Phương pháp – Kết quả Điểm Câu 1 Lấy 3pt(2) – pt(1) ta được 2 2 2 2 (2 1)[ ( 1) 2] 0 2 1 0 ( 1) 2 0 x y x y x x x y x y x x + − − + − + = + =  ⇔  − − + − + =  TH1: 1 2 1 0 2 x x+ = ⇔ = − Thay vào pt (1) ta được 5 3 5 4 y ± = TH2: 2 2 ( 1) 2 0 (3)y x y x x− − + − + = Lây pt(1) – pt (2) – pt(3) ta được: x 2 + 2 = 0 (vô nghiệm) KL … 2 1 1 Câu 2 a) Ta có hệ thức quen thuộc OA OB OC OH+ + = uuur uuur uuur uuur Gọi L đối xứng O qua F ta có OA OL OH+ = uuur uuur uuur Suy ra tứ giác OLHA là hình bình hành Từ đó suy ra đpcm b) Gọi K, L lần lượt là giao điểm của DO và AB, AC Theo phần a) OH,SF, DI có chung trung điểm J. Do đó D(HOJN) = -1 Suy ra (ALQN) = -1 và (AKPM) = -1 Do đó (AKMP) = - 1 Vậy KL, MQ, PN đồng quy Hay DO, MQ, PN đồng quy. Từ đó suy ra đpcm 1 1 1 1 Câu 3 Giả sử f chỉ có hữu hạn ước nguyên tố. Khi đó gọi tất cả các ước nguyên tố của f là p 1 , p 2 , , p n . Theo giả thiết ta có a = (a+1) – 1 | f(a + 1) – f(1). 1 Vì f(1) là xác định nên tồn tại vô số số a sao cho ( ) ( (1)) i i p p v a v f> Mà a | f(a + 1) – f(1). Nếu f(a + 1) ≠ f(1) thì tồn tại ít nhất một chỉ số i sao cho ( ( 1)) ( (1)) i i p p v f a v f+ ≠ ⇒ ( ( 1) (1)) ( (1)) ( ) i i i p p p v f a f v f v a+ − ≤ < (vô lí) Vậy f(a + 1) = f(1). Với mọi b ta có (a + 1) – b | f(a + 1) – f(b) = f(1) – f(b) Do đó (a + 1) – b | f(1) – f(b) với mọi a Điều đó chỉ xảy ra khi f(b) = f(1) Hay f là hàm hằng (mâu thuẫn với điều kiện bài toán) Vậy có điều phải chứng minh. 2 1 Câu 4 BĐT tương đương với 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) ( ) 3 2 2 2 b c c a a b a b c b c a c a b + + + + + ≤ + + + + + + Ta có 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) 2 ( ) ( ) b c b c b c a b c a b a c a b a c + + = ≤ + + + + + + + + Tương tự với hai BĐT còn lại suy ra đpcm 2 2 Câu 5 Xét bao lồi của 2015 điểm nằm bên trong hình vuông. Vì không có 3 điểm nào thẳng hàng, nên bao lồi có k đỉnh ( ) 2015k ≤ , ngoài ra các điểm đã cho hoặc là các đỉnh của đa giác lồi, hoặc nằm hẳn bên trong của đa giác bao lồi. Chỉ có hai khả năng sau xảy ra: TH1: (H1) Nếu 2015k = . Khi đó số đường chéo xuất phát từ 1 A của đa giác bao lồi tạo thành cùng các cạnh của đa giác 1 A 1 A 2 A k A k+1 A 1 A 2 A 3 A n 2013 tam giác. Gọi S là diện tích tam giác nhỏ nhất trong 2013 tam giác ấy. Vì tổng các diện tích của 2013 tam giác nhỏ hơn 1( chú ý 1 là diện tích hình vuông chứa chọn 2013 tam giác này ), do đó suy ra 1 2013 S < . TH2 (H2) Nếu 2013k < . Khi đó bên trong đa giác bao lồi 1 2 k A A A còn 2013 – k điểm 1 2 , , , k k n A A A + + . Nối 1k A + với các đỉnh 1 2 , , , k A A A . Khi đó ta có k tam giác 1 1 2 1 2 3 1 1 , , , k k k k A A A A A A A A A + + + . Vì không có ba điểm nào thẳng hàng, nên các điểm phải nằm hẳn trong k tam giác nói trên. Giả sử 2k A + thuộc tam giác nào đó. Nối 2k A + với ba đỉnh tam giác này, thì từ một tam giác ta sẽ có ba tam giác mới. Sau mỗi lần làm số tam giác tăng lên 2. Như thế ta đi đến : ( ) ( ) 2 2015 1 2.2015 2 2013 2015k k k k+ − − = − − = + − tam giác, mà bên trong mỗi tam giác này không có điểm nào thuộc 2015 điểm đã cho. Gọi S là tam giác có diện tích bé nhất trong các tam giác này thì: ( ) 1 1 2013 2013 S n k < < + − (do 0n k − > ). Bất đẳng thức 1 2013 S < đã được chứng minh. 1 1 1 Người ra đề: Nguyễn Văn Thảo - đt: 0983186256 . SỞ GD - ĐT BẮC GIANG TRƯỜNG THPT CHUYÊN BẮC GIANG (ĐỀ THI ĐỀ XUẤT) ĐỀ THI DUYÊN HẢI VÀ ĐBBB NĂM 2015 MÔN TOÁN LỚP 10 Thời gian làm bài 180 phút Câu 1 (4. K, L lần lượt là giao điểm của DO và AB, AC Theo phần a) OH,SF, DI có chung trung điểm J. Do đó D(HOJN) = -1 Suy ra (ALQN) = -1 và (AKPM) = -1 Do đó (AKMP) = - 1 Vậy KL, MQ, PN đồng quy Hay DO,. ( ) 2 2015 1 2 .2015 2 2013 2015k k k k+ − − = − − = + − tam giác, mà bên trong mỗi tam giác này không có điểm nào thuộc 2015 điểm đã cho. Gọi S là tam giác có diện tích bé nhất trong các tam