HỘI CÁC TRƯỜNG CHUYÊN VÙNG DUYÊN HẢI VÀ ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG NAM ĐỊNH ĐỀ THI ĐỀ XUẤT ĐỀ THI MÔN TOÁN KHỐI 10 NĂM 2015 Thời gian làm bài 180 phút (Đề này có 1 trang, gồm 5 câu) Câu 1 ( 4 điểm): Giải hệ phương trình sau: 2 2 3 2 2 3 2 2 2 2 3 3 1 0 x xy y x x xy y  − − =   − − − + =   Câu 2 (4 điểm): Cho , ,a b c là các số thực dương. Chứng minh rằng: 2 2 2 3 2 a b c ab b bc c ca a + + ≥ + + + . Câu 3 (4 điểm): Cho tứ giác ABCD ngoại tiếp đường tròn (O). Gọi M, N, P, Q lần lượt là các tiếp điểm của đường tròn (O) với AB, BC, CD, DA. Gọi X là giao điểm của MN và PQ; E, F lần lượt là giao điểm của AC với đường tròn (O). Gọi H là hình chiếu vuông góc của X trên BD. Chứng minh rằng · · .A HE CHF= Câu 4 (4 điểm): Tìm tất cả các số nguyên dương a b c d< < < sao cho mỗi số trong chúng là ước của tổng ba số còn lại. Câu 5 (4 điểm): Cho 2016 cái kẹo vào 1008 cái hộp sao cho không có hộp nào có nhiều hơn 1008 cái kẹo và mỗi hộp có ít nhất một cái kẹo. Chứng minh rằng có thể tìm thấy một số hộp mà tổng số kẹo trong các hộp đó đúng bằng 1008 cái kẹo. ………………………. HẾT ……………………. Người ra đề Nguyễn Thị Giang SĐT:0976138529 P N + BIU IM CHM MễN TON KHI 10 Cõu Ni dung im 1 Gii h phng trỡnh: ( ) ( ) 2 2 3 2 2 3 2 2 2 1 2 3 3 1 0 2 x xy y x x xy y = + = 4 im Phng trỡnh (2) ca h vit li nh sau ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 3 2 2 2 2 3 3 3 1 0 3 1 3 3x x y x x y x y x x y x+ - + - + = + - + = - 1,0 Ta thy 0x = khụng tha món h phng trỡnh. Chia 2 v ca (3) cho 3 x ta cú phng trỡnh 3 3 1 3 1 3 1 y y x x x x ổ ử ổ ử ữ ữ ỗ ỗ ữ ữ + - + = - ỗ ỗ ữ ữ ỗ ỗ ữ ữ ỗ ỗ ố ứ ố ứ 0,5 2 2 1 1 1 1 1 1 . 3 0 y y y x x x x x x + + + + + = ữ ữ ữ 0,5 PT (1) ca h c vit li nh sau ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 3 1 3 4 y x xy y x x y x x x ổ ử ữ ỗ ữ + + + = + + = + + = ỗ ữ ỗ ữ ỗ ố ứ 0,5 TH1: 1 1 1 0 1 y y x x x x ổ ử ữ ỗ ữ + - = + = ỗ ữ ỗ ữ ỗ ố ứ thay vo (4) ta cú 2 1 0 3 3 1 2 x y x y x ộ ộ = = ờ ờ = ịị ờ ờ = - = ờ ờ ở ở 0,5 TH2: 2 2 1 1 1 1 . 3 0 y y x x x x ổ ử ổ ử ữ ữ ỗ ỗ ữ ữ + + + + - = ỗ ỗ ữ ữ ỗ ỗ ữ ữ ỗ ỗ ố ứ ố ứ kt hp vi (4) ta cú 2 1 1 1 1 . 0 1 1 y y y x x x x x x ổ ử ữ ỗ ữ + - = + = = - ỗ ữ ỗ ữ ỗ ố ứ 0,5 Thay vo (4) ta cng c hai nghim trựng vi hai nghim trờn Vy h phng trỡnh cú hai nghim l ( ) ( ) ( ) ; 1;0 ; 1;2x y = - 0,5 2 Cho , ,a b c l cỏc s thc dng. Chng minh rng: 4 im 2 2 2 3 2 a b c ab b bc c ca a + + ≥ + + + . Ta có 2 2 2 1 1 1 a b c a b c b c a a b c ab b bc c ca a b c a + + = + + + + + + + + 2 1 1 1 a b c b c a a b c b c a æ ö ÷ ç ÷ ç + + ÷ ç ÷ ç ÷ ç è ø ³ + + + + + 1,0 Đặt , , 1. a b c x y z xyz b c a = = = =Þ Ta có ( ) 2 2 1 1 1 1 1 1 a b c x y z b c a a b c x y z b c a æ ö ÷ ç ÷ ç + + ÷ ç ÷ + + ç ÷ ç è ø = + + + + + + + + + + ( ) ( ) ( ) ( ) 2 6 3 3 3 3 x y z xy yz zx x y z x y z x y z + + + + + + + + ³ ³ + + + + + + 1,0 Suy ra ( ) 2 2 2 3 3 6 3 a b c S S x y z S ab b bc c ca a + + + ≥ = + + + ≥ + + + Ta có 3 3 6 2 3 3 3 2 2 2 2 2 S S S S S æ ö ÷ ç ÷ ç + = + + + =³ ÷ ç ÷ ç ÷ ç è ø 1,0 Suy ra 3 3 3 2 S S + ³ . Bất đẳng thức được chứng minh. Dấu bằng xảy ra khi .a b c= = 1,0 3 Cho tứ giác ABCD ngoại tiếp đường tròn (O). Gọi M, N, P, Q lần lượt là các tiếp điểm của đường tròn (O) với AB, BC, CD, DA. Gọi X là giao điểm của MN và PQ; E, F lần lượt là giao điểm của AC với đường tròn (O). Gọi H là hình chiếu vuông góc của X trên BD. Chứng minh rằng · · .A HE CHF= 4 điểm Trước hết ta chứng minh kết quả sau: Gọi J là giao điểm của AC và BD. Khi đó ta có MP, NQ, BD, AC đồng quy tại điểm J, , ,X A C thẳng hàng và ( ) ( ) 1, 1A CJX FEJX= - = - . Thật vậy + Kẻ hai tiếp tuyến XS, XR tới đường tròn (O). Khi đó tứ giác MSNR là tứ giác điều hòa, suy ra tiếp tuyến của (O) tại M, N và SR đồng quy, hay B, S, R thẳng hàng. Tương tự D, S, R thẳng hàng. Suy ra ( ) 1FEJX = - + Gọi I, K lần lượt là giao điểm của BD với MN và PQ. Ta có ( ) ( ) 1X IMN X KPQ= = - . Suy ra IK, MP, NQ đồng quy hay BD, MP, NQ đồng quy. + Nếu AC qua O dễ chứng minh AC, MP, NQ đồng quy. Nếu AC không qua O thì tiếp tuyến tại E và F cắt nhau tai một điểm. Tương tự trường hợp trên ta có AC, MP, NQ đồng quy. Suy ra MP, NQ, BD, AC đồng quy tại điểm J. + Ta có ( ) ( ) ( ) ( ) 1B X DA C B X IMN D X KQP D XBA C= = - = = . Suy ra A, X, C thẳng hàng. 1,0 0,5 0,5 Áp dụng định lý Menelaus cho tam giác ABC ta có . . 1 X A NC MB X A MA X C NB MA X C NC = =Þ . Qua C ta kẻ đường thẳng song song với AB cắt đường MP tại G. Dễ dàng chứng minh được tam giác CPG cân tại C nên CP=CG Từ đó theo định lí Thales: JA MA MA MA JC CG CP CN = = = X nằm ngoài và J nằm trong đoạn AC nên ( ) 1A CJX = - 0,5 0,5 Theo kết quả trên ta có ( ) 1A CJX = - kéo theo ( ) 1H A CJX = - . Nhưng vì .HJ HX^ Theo định lí về chùm điều hòa ta có HJ là phân giác của góc AHC. Dễ thấy ( ) 1FEJX = - suy ra HJ là phân giác của góc EHF Từ đó dễ dàng thấy được điều cần chứng minh · · .A HE CHF= 0,5 0,5 Tìm tất cả các số nguyên dương a b c d< < < sao cho mỗi số trong chúng là ước của tổng ba số còn lại. 4 điểm Do ( ) |d a b c+ + và 3 2 a b c d a b c d a b c d é + + = ê + + < Þ ê + + = ê ë 0,5 TH1: a b c d+ + = . Do ( ) |a b c d+ + nên | 2a d . Tương tự | 2 , | 2 .b d c d Đặt 2 ,d ax by cz= = = khi đó 2 z y x< < < và 1 1 1 1 2 2 a b c x y z d + + + + = = 0,5 +) Nếu 3z = thì ( ) ( ) 1 1 1 6 6 36. 6 x y x y + = - - =Þ Ta có các nghiệm ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) { } ; 42;7 , 24;8 , 18;9 , 15;10x y Î . Vì vậy ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) { } ; ; ; ;6 ;14 ;21 , ;3 ;8 ;12 , ;2 ;6 ;9 , 2 ; 3 ;10 ;15a b c d k k k k k k k k k k k k k k k kÎ Với k là số nguyên dương 1,0 +) Nếu 4z = thì ( ) ( ) 1 1 1 4 4 16. 4 x y x y + = - - =Þ Ta có các nghiệm ( ) ( ) ( ) { } ; 20;5 , 12;6x y Î . Vì vậy ( ) ( ) ( ) { } ; ; ; ; 4 ;5 ;10 , ;2 ; 3 ;6a b c d k k k k k k k kÎ Với k là số nguyên dương 0,5 4 +) Nếu 5z = thì 1 1 3 . 10x y + = Suy ra ( ) ( ) 3 10 3 10 100x y- - = Vì ( ) 3 10 20 3 10 5 5 3 10 2 mod 3 4 3 10 50 3 10 2 x y y x y x y é ì ï - = ï ê í ê é ï - = = ê ï ê î - ºÞÞ ê ê ì = ï - = ê ê ï ë ê í ï - = ê ï î ë : vô lý +) Nếu 6z ³ thì 1 1 1 1 1 1 1 6 6 6 2x y z + + < + + = : không thỏa mãn 1 1 1 1 2x y z + + = 0,5 TH2: 2a b c d+ + = . Khi đó | 3 , | 3 , | 3 .a d b d c d Đặt 3 ,d ax by cz= = = khi đó 3 z y x< < < và 1 1 1 2 3x y z + + = . Suy ra 4, 5, 6z y x³ ³ ³ . Do đó 1 1 1 1 1 1 37 2 6 5 4 60 3x y z + + + + = <£ : vô lý. Vậy các số ( ) ; ; ;a b c d thỏa mãn đề bài là ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ;6 ;14 ;21 , ;3 ; 8 ;12 , ;2 ;6 ;9 , 2 ; 3 ;10 ;15 , ;4 ; 5 ;10 , ;2 ; 3 ;6k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k Với k là số nguyên dương 1,0 5 Cho 2016 cái kẹo vào 1008 cái hộp sao cho không có hộp nào có nhiều hơn 1008 cái kẹo và mỗi hộp có ít nhất một cái kẹo. Chứng minh rằng có thể tìm thấy một số hộp mà tổng số kẹo trong các hộp đó đúng bằng 1008 cái kẹo. 4 điểm +) Nếu tất cả các hộp có số kẹo bằng nhau và bằng 2 thì lấy 504 cái hộp bất kì đều có tổng số kẹo bằng 1008. 0,5 +) Nếu tồn tại hai hộp có số kẹo khác nhau, sắp xếp các hộp thành một hàng ngang sao cho hai hộp đầu tiên không có cùng số kẹo. Kí hiệu i a là số kẹo trong hộp thứ , 1, 2, ,1008i i = . Xét các số sau 1 1 2 1 2 1008 1 2 1008 , , , S a S a a S a a a= = + = + + + 1,0 Nếu hai số trong chúng có cùng số dư khi chia cho 1008, giả sử đó là ( ) , i j S S j i> . Khi đó 1 1008 j i i j S S a a + - = + + M . Rõ ràng 1 2016 j i S S- <£ , mà 1008 1008 j i j i S S S S- - =ÞM . Hay 1 1008 i j a a + + + = 1,0 Giả sử trong dãy 1 2 1008 , , ,S S S không có 2 số nào có cùng số dư khi chia cho 1008. Xét 1009 số sau 1 2 1008 2 , , ., ,S S S a . Theo nguyên lý Dirichlet tồn tại hai số có cùng số dư khi chia cho 1008. 0,5 Lại có 1 1 2 1 2 ,1 , 1008S a a a a= ¹££ , nên 1 2 ,a a không cùng số dư khi chia cho 1008. Suy ra tồn tại 2, 3, ,1008k = thỏa mãn 2 , k S a có cùng số dư khi chia cho 1008. 0,5 Khi đó 2 1 3 1008 k k S a a a a- = + + + M . Lại có 1 3 1 2016 k a a a+ + + <£ , suy ra 1 3 1008. k a a a+ + + = 0,5 Mọi cách giải khác nếu đúng kết quả và lập luận chặt chẽ đều cho điểm tương đương. Người ra đề Nguyễn Thị Giang SĐT: 0976138529 . HỘI CÁC TRƯỜNG CHUYÊN VÙNG DUYÊN HẢI VÀ ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG NAM ĐỊNH ĐỀ THI ĐỀ XUẤT ĐỀ THI MÔN TOÁN KHỐI 10 NĂM 2015 Thời gian làm bài 180 phút (Đề này có. ; 4 ;5 ;10 , ;2 ; 3 ;6a b c d k k k k k k k kÎ Với k là số nguyên dương 0,5 4 +) Nếu 5z = thì 1 1 3 . 10x y + = Suy ra ( ) ( ) 3 10 3 10 100x y- - = Vì ( ) 3 10 20 3 10 5 5 3 10 2 mod. vào 100 8 cái hộp sao cho không có hộp nào có nhiều hơn 100 8 cái kẹo và mỗi hộp có ít nhất một cái kẹo. Chứng minh rằng có thể tìm thấy một số hộp mà tổng số kẹo trong các hộp đó đúng bằng 100 8