HỘI CÁC TRƯỜNG CHUYÊN ĐỀ THI MÔN TOÁN KHỐI 10 VÙNG DUYÊN HẢI VÀ ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ NĂM 2015 TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÀO CAI TỈNH LÀO CAI Thời gian làm bài 180 phút Đề thi này gồm có 01 trang, 05 câu TỔ TOÁN-TIN HỌC TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÀO CAI Câu 1: (4 điểm ) Giải hệ phương trình Câu 2: (4 điểm ) Cho hình thang có đáy nhỏ và một điểm di động bên trong hình thang. Gọi tương ứng là giao điểm của với . Đường tròn ngoại tiếp các tam giác và tam giác cắt nhau tại điểm thứ hai . Chứng minh đường thẳng luôn đi qua một điểm cố định. Câu 3(4 điểm): Cho là số nguyên tố mà . Tìm tất cả các số nguyên dương để Câu 4: (4 điểm ) Cho các số thực dương thỏa mãn Chứng minh rằng Câu 5: (4 điểm ) Cho là số nguyên dương. Đặt Hãy chứng minh Page 1 ĐỀ THI ĐỀ XUẤT Hết HỘI CÁC TRƯỜNG CHUYÊN HDC ĐỀ THI MÔN TOÁN KHỐI 10 VÙNG DUYÊN HẢI VÀ ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ NĂM 2015 TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÀO CAI TỈNH LÀO CAI Thời gian làm bài 180 phút Hướng dẫn chấm này gồm có 0 trang TỔ TOÁN-TIN HỌC TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÀO CAI Câu 1: (4 điểm ) Giải hệ phương trình Hướng dẫn chấm Nội dung trả lời Điểm Xét hệ phương trình Điều kiện Ta có phương trình (10 Do điều kiện nên: phương trình vô nghiệm. Vậy . Thay vào ta có (Điều kiện ) 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 Page 2 HDC ĐỀ THI ĐỀ XUẤT (Điều kiện ) Từ đó ta thu được nghiệm của hệ đã cho là 0,5 0,5 Câu 2: (4 điểm ) Cho hình thang có đáy nhỏ và một điểm di động bên trong hình thang. Gọi tương ứng là giao điểm của với . Đường tròn ngoại tiếp các tam giác và tam giác cắt nhau tại điểm thứ hai . Chứng minh đường thẳng luôn đi qua một điểm cố định. Hướng dẫn chấm Nội dung trả lời Điểm Gọi là giao điểm của và đường tròn . Gọi là giao điểm của và đường tròn . -Ta có (cùng bằng góc ). Do đo tứ giác nội tiếp (1). *Ta có (cùng bằng góc ). Do đo tứ giác nội tiếp (2). 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 Page 3 Từ (1) và (2) cho ta tứ giác CQDP nội tiếp. Mặt khác nên tứ giác ABPQ nội tiếp. Gọi đường tròn ngoại tiếp tứ giác là . Khi đó là trục đẳng phương của từng cặp ba đường tròn . Gọi là giao điểm của và . Khi đó đi qua điểm cố định. 0,5 0,5 0,5 Câu 3(4 điểm): Cho là số nguyên tố mà . Tìm tất cả các số nguyên dương để Hướng dẫn chấm Nội dung trả lời Điểm Từ suy ra lẻ (*) . Gọi là cấp của 2 theo . Ta có (1) . Nếu (2) Từ và suy ra hay , vô lý vì theo (*) thì lẻ. Do đó không chia hết cho . Mà nên . Do đó để thì 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 Câu 4: (4 điểm ) Cho các số thực dương thỏa mãn Chưng minh rằng Nội dung trả lời Điểm Page 4 Đặt , suy ra Áp dụng điều kiện , bất đẳng thức cần chứng minh trở thành Do nên ta có đánh giá: Để kết thúc bài toán ta sẽ chứng minh Thật vậy . Điều này luôn đúng. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi Khi đó là nghiệm phương trình Do đó hoặc các hoán vị 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 Page 5 . HỘI CÁC TRƯỜNG CHUYÊN ĐỀ THI MÔN TOÁN KHỐI 10 VÙNG DUYÊN HẢI VÀ ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ NĂM 2015 TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÀO CAI TỈNH LÀO CAI Thời gian làm bài 180 phút Đề thi này gồm có 01. 10 VÙNG DUYÊN HẢI VÀ ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ NĂM 2015 TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÀO CAI TỈNH LÀO CAI Thời gian làm bài 180 phút Hướng dẫn chấm này gồm có 0 trang TỔ TOÁN-TIN HỌC TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÀO CAI Câu 1:. Cho các số thực dương thỏa mãn Chứng minh rằng Câu 5: (4 điểm ) Cho là số nguyên dương. Đặt Hãy chứng minh Page 1 ĐỀ THI ĐỀ XUẤT Hết HỘI CÁC TRƯỜNG CHUYÊN HDC ĐỀ THI MÔN TOÁN KHỐI 10 VÙNG DUYÊN