ĐỀ TỰ LUYỆN THPT QUỐC GIA NĂM HỌC 2014- 2015 Môn: TOÁN; ĐỀ 08-BN Thời gian làm bài: 180 phút Câu 1* (2,0 điểm). Cho hàm số 2 (C) 1 x y x + = − 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số. 2.Cho điểm A(0;a). Tìm a để từ A kẻ được hai tiếp tuyến tới (C) sao cho hai tiếp điểm tương ứng nằm về hai phía trục hoành. Câu 2* (1,0 điểm) 1. Giải phương trình: 2 3(2.cos cos 2) (3 2cos ).sin 0 2cos 1 x x x x x + − + − = + 2. Giải phương trình nghiệm phức: )(,1 4 Cz iz iz ∈=       − + Câu 3* (0,5 điểm) Giải phương trình sau: 2 3 3 2log 5log (9 ) 3 0x x− + = Câu 4 (1,0 điểm) Giải hệ phương trình sau: 4 2 2 2 2 1 4 5 8 6 x y y x y x y  =  + +   + + + =  Câu 5* (1,0 điểm). Tính tích phân sau: 3 2 2 1 log 1 3ln e x dx x x + ∫ Câu 6 (1,0 điểm). Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với , 2AB a AD a = = , tam giác SAB cân tại S và mặt phẳng ( )SAB vuông góc với mặt phẳng ( )ABCD . Biết góc giữa mặt phẳng ( )SAC và mặt phẳng ( )ABCD bằng 0 60 . Tính thể tích khối chóp .S ABCD . Gọi H là trung điểm cạnh AB tính góc giữa hai đường thẳng CH và .SD Câu 7 (1,0 điểm) Trong mặt phẳng 0xy cho đường tròn (C): . Viết pt đường tròn (C’) tâm M(5;1) biết (C’) cắt (C) tại A, B sao cho AB= và bán kính của nó lớn hơn 4. Câu 8* (1,0 điểm) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d: 3 9 6 2 3 2 x y z + − − = = − và mặt phẳng (P): . Lập phương trình đường thẳng nằm trong mặt phẳng (P), vuông góc với d và cách d một khoảng bằng 3 238 Câu 9* (0,5 điểm) Trong mp có bao nhiêu hình chữ nhât được tạo thành từ 6 đường thẳng song song với nhau và 8 đường thẳng vuông góc với 6 đường thẳng song song đó. Cõu 10 (1,0 im). Cho các số thực dơng x, y, z thỏa mãn: 1 yz zx xy x y z + + = . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 1 1 1 1 1 1 A x y z = + + . P N Cõu í Ni dung im 1 1 HS t lm (HS lm cỏc bc) 1 2 k: , PT ng thng d qua A v cú hsg k cú dng: d tip xỳc vi (C) h pt sau cú nghim 0,25 Thay (2) vo (1) ta c: t qua A k c 2 tip tuyn cú 2 nghim phõn bit 1 Theo viet ta cú: v 0,25 2 tip im nm v 2 phớa ca trc honh T (*) Kt hp vi iu kin (1) ta c: Vi tha món bi toỏn 0,5 2 1 K: Pt ó cho tng ng vi pt: 0,25 Vậy pt có 2 họ nghiệm hoặc 0,25 2 Đk: khi đó, pt đã cho tương đương 0.25 (1) (t/m) (2) (t/m) Vậy pt có tập nghiệm z={-1;0;1} 0.25 3 Giải pt: 2 3 3 2log 5log (9 ) 3 0x x− + = Đk:x>0 Khi đó pt 2 3 3 3 2 3 3 3 3 2log 5(log 9 log ) 3 0 2log 5log 12 0 log 4 3 log 2 x x x x x x ⇔ − + + = ⇔ − − = =   ⇔ −  =  0.25 3 81 (t/m) 1 9 x x =   ⇔  =   0.25 4 Hệ pt đã cho tương đương NX: Nếu y=0 thì từ pt (1) Thay x=0; y=0 vào pt (2) ta được: (vô lý). Vậy y=0 không thỏa mãn bài toán 0,25 *) chia cả 2 vế của pt (1) cho ta được: Xét Có . Vậy đồng biến trên R. 0,25 Từ (*) Thay vào pt (2) ta được Vậy hpt có cặp nghiệm duy nhất (x;y)=(1;1) 0,5 5 Đặt Từ Đổi cận: với 1 1 2 2 4 2 2 2 4 2 0 0 2 1 ( 1 ) (1 ) 2 1 u u I du du u u u − = − = − + − − + ∫ ∫ 0,25 2 2 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2( 1) 1 2 1 *) 2 1 ( 1) 1 ( 1) 2 1 [( 1) ( 1)] . 4 1 ( 1) 2 1 1 2 1 4 1 ( 1)( 1) ( 1) ( 1) 1 3 1 1 1 1 4 4 1 1 ( 1) ( 1) u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u − − + = = + − + − − − + − − = + − −    ÷ = + − +  ÷ − + − − +        ÷ = + + −  ÷  ÷ − +   − +   0,5 1 1 2 2 2 4 2 2 2 0 0 2 1 1 1 1 3 1 1 ( 1 ) 1 4 4 1 1 2 1 ( 1) ( 1) 1 3 5 2 1 1 1 3 | 1| ln ln 3 4 6 4 1 1 4 | 1| 0 u I du du u u u u u u u u u u u     −   = − + = − + + + −  ÷  ÷  ÷  ÷ − + − + − +         +    ÷ = − + + + = −  ÷  ÷ − + −     ∫ ∫ 0,25 6 Vì cân tại S có HA=HB Mặt khác (SAB) Ta có: Trong đó đvdt) 0,25 Trong (ABCD) hạ tại K. (1) Khi đó (*) vuông tại B có Thay vào (*) ta được Ta có : Từ (1) và (2) (3) Từ (1) và (3) góc giữa mặt (SAC) và mặt phẳng đáy là có Vậy 0,25 Gọi sao cho A là trung điểm của EH là hình bình hành. HC//=ED góc giữa SD và CH là góc giữa DE và DS. vuông tại A nên vuông tại H nên vuông tại H nên 0,25 có . Vậy góc giữa DE và DS là với 0,25 7 Từ pt đường tròn (C) Tâm I(1;-2) và R= . Đường tròn (C’) tâm M cắt đường tròn tại A, B nên AB tại trung điểm H của AB. Nhận xét : Tồn tại 2 vị trí của AB (hình vẽ) là AB, A’B’ chúng có cùng độ dài là Các trung điểm H, H’ đối xứng nhau qua tâm I và cùng nằm trên đường thẳng IM. Ta có : IH’=IH= Mà nên MH=MI-HI= ; MH’=MI+IH’= loại) Vậy (C’) : =43. 0,5 0,5 8 Gọi chứa . Giả sử tại H. Hạ HK , thì . Vậy góc AKH nhọn là góc giữa (P) và (Q). Và HK là đoạn 0,25 vuông góc chung của d và nên . Do (Q) vuông góc với d nên (Q) có dạng: Với Với 0,5 9 Gọi A là tập hợp gồm 6 đường thẳng song song B là tập hợp gồm 8 đường thẳng vuông góc Mỗi hình chữ nhật được tạo thành gồm 2 đường thẳng trong tập hợp A và 2 đường thẳng trong tập hợp B. 0.25 Như vậy số hình chữ nhật được tạo thành là 2 2 8 6 . 420C C = 0.25 10 §Æt , , yz zx xy a b c x y z = = = . Ta cã a, b, c > 0 vµ 2 2 2 1a b c + + = . Ta cã: 1 1 1 3 1 1 1 1 1 1 bc ca ab A bc ca ab bc ca ab = + + = + + + − − − − − − . DÔ cã: 0.25 ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 4 1 2 2 1 2 b c b c bc b c bc b c b a c a b a c a +   + ≤ = ≤ +  ÷ − + + + + + +   − 0.25 t¬ng tù cã: 2 2 2 2 2 2 1 1 2 ca c a ca c b a b   ≤ +  ÷ − + +   vµ 2 2 2 2 2 2 1 1 2 ab a b ab a c b c   ≤ +  ÷ − + +   0.25 tõ ®ã: A 3 9 3 2 2 ≤ + = . DÊu b»ng x¶y ra khi x = y = z =1/3 0.25 Chú ý : Học sinh làm cách khác mà vẫn đúng vẫn được điểm tối đa . ĐỀ TỰ LUYỆN THPT QUỐC GIA NĂM HỌC 2014- 2015 Môn: TOÁN; ĐỀ 08- BN Thời gian làm bài: 180 phút Câu 1* (2,0 điểm). Cho hàm số 2 (C) 1 x y x + = − 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số. 2.Cho. hợp gồm 8 đường thẳng vuông góc Mỗi hình chữ nhật được tạo thành gồm 2 đường thẳng trong tập hợp A và 2 đường thẳng trong tập hợp B. 0.25 Như vậy số hình chữ nhật được tạo thành là 2 2 8 6 = =   ⇔ −  =  0.25 3 81 (t/m) 1 9 x x =   ⇔  =   0.25 4 Hệ pt đã cho tương đương NX: Nếu y=0 thì từ pt (1) Thay x=0; y=0 vào pt (2) ta được: (vô lý). Vậy y=0 không thỏa mãn bài toán 0,25 *) chia