UBND tỉnh bắc ninh Sở giáo dục và đào tạo đề thi tuyển sinh vào lớp 10 thpt Năm học 2011 - 2012 Môn thi: Toán (Dành cho tất cả thí sinh) Thời gian: 120 phút (Không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 09 tháng 07 năm 2011 Bi 1 (1,5 im) a) So sỏnh hai s: 3 5 v 4 3 b) Rỳt gn biu thc: 3 5 3 5 3 5 3 5 A + = + Bi 2 (2,0 im). Cho h phng trỡnh: 2 5 1 2 2 x y m x y + = = ( m l tham s) a) Gii h phng trỡnh vi 1m = b) Tỡm m h phng trỡnh cú nghim ( ) ;x y tha món: 2 2 2 1x y = . Bi 3 (2,0 im). Gii bi toỏn sau bng cỏch lp phng trỡnh hoc h phng trỡnh: Mt ngi i xe p t A n B cỏch nhau 24 km. Khi i t B tr v A ngi ú tng vn tc thờm 4 km/h so vi lỳc i, vỡ vy thi gian v ớt hn thi gian i 30 phỳt. Tớnh vn tc ca xe p khi i t A n B. Bi 4 (3,5 im). Cho ng trũn (O; R), dõy cung BC c nh (BC < 2R) v im A di ng trờn cung ln BC sao cho tam giỏc ABC cú ba gúc nhn. Cỏc ng cao BD v CE ca tam giỏc ABC ct nhau ti H. a) Chng minh t giỏc ADHE l t giỏc ni tip. b) Gi s ã 0 BAC 60 = , hóy tớnh khong cỏch t tõm O n cnh BC theo R. c) Chng minh ng thng k qua A v vuụng gúc vi DE luụn i qua mt im c nh. d) Phõn giỏc gúc ã ABD ct CE ti M, ct AC ti P. Phõn giỏc gúc ã ACE ct BD ti N, ct AB ti Q. T giỏc MNPQ l hỡnh gỡ? Ti sao? Đề chính thức Bài 5 (1,0 điểm). Cho biểu thức: ( ) ( ) 2 2 2 6 12 24 3 18  36P xy x y x x y y= − + + − + + + . Chứng minh P luôn dương với mọi giá trị ;x y ∈ ¡ . HƯỚNG DẪN CHẤM THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT Bài Đáp án Điểm 1 (1,5 điểm) a) 0,75 điểm + 3 5 45= 4 3 48 = + 45 48 3 5 4 3 < → < 0,25 0,25 0,25 b) 0,75 điểm ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 3 5 3 5 3 5 3 5 A + − − = − + ( ) (9 6 5 5) 9 6 5 5 9 5 + + − − + = − 12 5 3 5 4 = = 0,25 0,25 0,25 2 (2,0 điểm) a) 1,0 điểm Với m = 1 ta có hệ phương trình: 2 4 2 2 x y x y + =   − =  4 2 8 2 2 + =  ⇔  − =  x y x y 5 10 2 2 =  ⇔  − =  x x y 2 0 =  ⇔  =  x y 0,25 0,25 0,25 0,25 b) 1,0 điểm Giải hệ: 2 5 1 4 2 10 2 2 2 2 2 x y m x y m x y x y + = − + = −   ⇔   − = − =   5 10 2 2 2 1 x m x m x y y m = =   ⇔ ⇔   − = = −   Có: 2 2 2 1x y − = ⇔ ( ) ( ) 2 2 2 2 1 1m m − − = ⇔ 2 2 4 3 0m m + − = Tìm được: 2 10 2 m − − = và 2 10 2 m − + = 0,25 0,25 0,25 0,25 3 (2,0 điểm) 2,0 điểm Gọi vận tốc của xe đạp đi từ A đến B là x (km/h, x > 0) Thời gian để đi từ A đến B là 24 x (h) Vận tốc của xe đạp đi từ B đến A là (x+4) (km/h) Thời gian để đi từ B về đến A là 24 4x + (h) Theo bài ra ta có phương trình: 24 24 1 x x 4 2 − = + ⇔ 2 4 192 0 (*)x x + − = Giải phương trình ( ) * được ( ) 12x tm = và 16x = − (loại) Vậy vận tốc của xe đạp đi từ A đến B là 12 km/h . 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 Vẽ hình đúng, đủ làm câu a) 0,25 a) 0,75 điểm BD ⊥ AC (gt) ⇒ · ADB = 0 90 CE ⊥ AB (gt) ⇒ · AEC = 0 90 Tứ giác ADHE có µ µ 0 D+ E 180 = nên là tứ giác nội tiếp. 0,25 0,25 0,25 b) 1,0 điểm Kẻ OI ⊥ BC ( I BC ∈ ), nối O với B, O với C Có · BAC = 0 60 ⇒ · BOC = 0 120 (góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn một cung) OBC ∆ cân tại O ⇒ · 0 OCI 30 = Suy ra OI R 2 = 0,5 0,25 0,25 c) 1,0 điểm Gọi (d) là đường thẳng qua A và vuông góc với DE. Qua A kẻ tiếp tuyến sAt với đường tròn (O;R) ⇒ AO ⊥ sAt BEDC ◊ nội tiếp (E, D cùng nhìn BC dưới 1 góc vuông) · · ACB=AED ⇒ (cùng bù với · BED ) Mặt khác · · BAs ACB = » 1 sdAB 2   =  ÷   ⇒ · · BAs AED = sAt// DE ⇒ (hai góc ở vị trí so le trong) d sAt ⇒ ⊥ Có d sAt⊥ , OA sAt ⊥ d OA⇒ ≡ (tiên đề Ơclit) ⇒ Đường thẳng (d) luôn đi qua điểm O cố định. 0,25 0,25 0,25 0,25 d) 0,5 điểm Có · · ABD ACE= (cùng phụ với góc · BAC ). · · · 1 ABP ECQ ABD 2   ⇒ = =  ÷   QEC ∆ vuông tại E · · 0 ECQ EQC 90⇒ + = CQ BP ⇒ ⊥ Mà BP, CQ là các phân giác nên MP, NQ cắt nhau tại trung điểm mỗi đường . Vậy có MNPQ là hình thoi. 0,25 0,25 5 (1,0 điểm) 1,0 điểm ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 P x 2x y 6y 12 x 2x 3 y 6y 12= − + + − + + + ( ) ( ) ( ) 2 2 2  x 2x y 6y 12 3 y 6y 12= − + + + + + ( ) ( ) 2 2 y 6y 12 x 2x 3 = + + − + ( ) ( ) 2 2 y 3 3 x 1 2 0 x, y    = + + − + > ∀ ∈    ¡ Vậy P luôn dương với mọi giá trị x, y ∈ ¡ . 0,25 0,25 0,25 0,25 . giáo dục và đào tạo đề thi tuyển sinh vào lớp 10 thpt Năm học 2011 - 2012 Môn thi: Toán (Dành cho tất cả thí sinh) Thời gian: 120 phút (Không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 09 tháng 07 năm 2011 Bi. − + + − + + + . Chứng minh P luôn dương với mọi giá trị ;x y ∈ ¡ . HƯỚNG DẪN CHẤM THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT Bài Đáp án Điểm 1 (1,5 điểm) a) 0,75 điểm + 3 5 45= 4 3 48 = + 45 48 3 5 4. =  x y x y 5 10 2 2 =  ⇔  − =  x x y 2 0 =  ⇔  =  x y 0,25 0,25 0,25 0,25 b) 1,0 điểm Giải hệ: 2 5 1 4 2 10 2 2 2 2 2 x y m x y m x y x y + = − + = −   ⇔   − = − =   5 10 2 2 2 1 x