KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS MÔN THI: TOÁN Thời gian làm bài 150 phút không kể thời gian giao đề Câu 1: 1. Giải phương trình 2 3 3 x 3 y 3 − = − trên tập hợp các số hữu tỉ. 2. Giải hệ phương trinh 2 x xy x y 4 (x y)(1 xy) 4  + + + =  + + =  Câu 2: Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm A(4; 3), cắt trục tung tại điểm có tung độ là một số nguyên dương, cắt trục hoành tại điểm có hoành độ là số nguyên tố. Câu 3: 1. Cho xy = 1 và x > y. Chứng minh 2 2 x y 2 2 x y + ≥ − 2. Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác sao cho a + b + c = 2. Chứng minh: a² + b² + c² + 2abc < 2 Câu 4: Cho đường tròn (O; R) đường kính BC và điểm A thay đổi trên (O) (A không trùng với B, C). Đường phân giác góc A của tam giác ABC cắt (O) tại K (K khác A). Hai AH vuông góc với BC. Đặt AH = x. Tính diện tích S của tam giác AHK theo R và x. Tìm x sao cho S đạt giá trị lớn nhất. Chứng minh rằng khi A thay đổi, tổng AH² + HK² luôn là một đại lượng không đổi. Tính số đo góc B của tam giác ABC biết AH 3 HK 5 = . Câu 5: a. Tìm tất cả các số tự nhiên có 3 chữ số abc sao cho 2 2 abc n 1 cba (n 2)  = −   = −   với n là số nguyên lớn hơn 2. b. Tìm các số x, y, z nguyên dương thỏa mãn đẳng thức: 2(y + z) = x(yz – 1) c. Cho số nguyên tố p > 3. Biết rằng có số tự nhiên n sao cho trong cách viết thập phân của số p n có đúng 20 chữ số. Chứng minh rằng: trong 20 chữ số này có ít nhất 3 chữ số giống nhau. Câu 6: Cho x là số thực thỏa mãn 0 ≤ x ≤ 3. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = x 5 x (3 x) x 2− + − + KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS MÔN THI: TOÁN Thời gian làm bài 150 phút không kể thời gian giao đề Câu 1: 1. Cho hệ phương trình 3x y a ax y b + =   − =  (a, b là tham số). Xác định b để hệ luôn có nghiệm với mọi a. 2. Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm M(2; 3), cắt trục hoành và trục tung tại các điểm A(a; 0) và điểm B(0; b) sao cho a, b là các số nguyên tố. Câu 2: Cho đường tròn tâm O nội tiếp tam giác ABC, tiếp xúc với các cạnh BC, CA, AB lần lượt tại D, E, F. Vẽ DH vuông góc với EF (H thuộc EF). Chứng minh rằng ˆ ˆ ABH ACH = . Câu 3: 1. Chứng minh rằng F(n) = 4 n + 15n – 1 luôn chia hết cho 9 với mọi n nguyên dương. 2. Tìm tất cả các cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn x³ = y³ + 2y² + 1. Câu 4: Cho a, b, c ≥ –1 và a³ + b³ + c³ = 6. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A = a² + b² + c². Câu 5: Cho tam giác đều ABC cạnh a ngoại tiếp đường tròn (O). Một tiếp tuyến của đường tròn cắt cạnh AB, AC thứ tự ở D, E. Đặt AD = x; AE = y; DE = z. Chứng minh rằng: a. x² + y² – xy = z². b. AD AE DB EC + không đổi khi tiếp tuyến DE thay đổi. . KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS MÔN THI: TOÁN Thời gian làm bài 150 phút không kể thời gian giao đề Câu 1: 1. Giải. lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = x 5 x (3 x) x 2− + − + KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS MÔN THI: TOÁN Thời gian làm bài 150 phút không kể thời gian giao đề Câu 1: 1. Cho. Chứng minh rằng ˆ ˆ ABH ACH = . Câu 3: 1. Chứng minh rằng F(n) = 4 n + 15n – 1 luôn chia hết cho 9 với mọi n nguyên dương. 2. Tìm tất cả các cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn x³ = y³ + 2y² + 1. Câu