Page 1 ĐỀ SỐ 20 Đề thi thử Đại học lần I năm 2012 – Trường THPT chuyên KHTN Câu I: (2 điểm) Cho hàm số: 21 () 1 x yC x    1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C) 2) Tìm giá trị của m để đồ thị hàm số (C) tiếp xúc với đường thẳng y = mx + 5. Câu II: (2 điểm) 1) Giải phương trình sau: 2 os 3 os 4 cos 1 33                   c x c x x 2) Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số:     45 3sin 4cos 3sin 4cos 1y x x x x    Câu III: (2 điểm) 1) Tìm m để phương trình sau có nghiệm thực:   2 9 2 4 2 2x m x x      2) Tìm hệ số lớn nhất trong khai triển thành đa thức của (2x + 1) n biết tổng các hệ số của nó là 59049. Câu IV: (3 điểm) 1) Cho chóp tam giác đều S.ABC biết cạnh bên bằng a, góc tạo bởi mặt bên và đáy bằng 45 0 . Tính thể tích khối chóp. 2) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình vuông ABCD có đỉnh A (1; 2; 1) và đường chéo BD có phương trình: 3 4 1 1 x y z    . Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình vuông. 3) Trong hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C): x 2 + y 2 – 2x + 2y – 23 = 0. Viết phương trình đường thẳng qua A (7;3) cắt (C) tại B, C sao cho AB – 3AC = 0 Câu V: (1 điểm) Với a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ab + bc + ca = 3abc. Tìm giá trị nhỏ nhất của:       2 2 2 2 2 2 2 2 2 a b c P c c a a a b b b c       Page 2 ĐỀ SỐ 20 Đề thi thử Đại học lần I năm 2012 – Trường THPT chuyên KHTN Câu I: (2 điểm) 1) TXĐ: x  1. Ta có 2 11 1 1 1 2 ' 2 ' ; 1 1 ( 1) lim à lim , lim 2                      x x x y x y y x x x v TCĐ: x = 1; TCN: y = 2. Hàm số nghịch biến trên các khoảng:     ,1 ; 1;  2) gọi x 0 là hoành độ tiếp điểm A, suy ra phương trình tiếp tuyến tại A là            0 0 0 0 0 0 0 ' ' ' .y y x x x y x y x x y x x y x      Tức là ta có:       0 0 0 0 2 0 1 ' à ' ( ) 4 1 m y x v y x x y x x        . Từ đó   0 2 0 0 0 0 2 0 0 0 2 21 1 5 3 8 4 0 2 1 1 3                  x x x x x x x x Đáp số: m = −1 hoặc m = −9 Câu II: (2 điểm) 1) Phương trình đã cho tương đương với 2 27 cos 3 os 4 1 cos 2cos cos 2sin 3 3 2 2 2 6 2                                  x x x x c x x     Mà cos sin 2 2 2     xx  Nên ta có hai trường hợp sau: TH1:   sin 0 2 2     x x k k Z  TH2: Page 3   77 cos cos 2 2 6 2 2 2 6 2 2 62 2 93                                       x x x x k k x kZ k x        2) Đặt t = 3sinx + 4cosx (1), ta có ngay 22 3 4 5  t và mỗi 5t ta đều có x thỏa mãn (1). Bài toán quy về tìm min, max của hàm số     5 4 1f t t t trên đoạn   5;5 . Ta có         5 4 4 3 4 3 ' 4 1 5 1 1 9 4 , ' 0 0; 1; 4 9             f t t t t t t t fx Dễ thấy f’(x) đổi dấu (−) thành (+) tại x = 0 và (+) thành (−) tại x = −4/9 suy ra x = 0 là điểm cực tiểu và x = −4/9 là điểm cực đại. f(−5) = −5 4 4 5 , f(−4/9)     45 45 9 4 .5 , 0 0, 5 5 .6 9   ff . Từ đó min y = −5 4 4 5 , max y = 5 4 6 5 Câu III: (2 điểm) 1) Đặt   22 2 2 4 2 4 2 2 2t x x t x t           Bài toán này trở thành tìm m để phương trình 9 + (t 2 – 4) = mt (1) có nghiệm 2 2 2t . Ta có (1)       2 55 , ' 1 , ' 0 5        m t f t f t f t t tt Ta có f(t) nghịch biến trên (2; 5 ), đồng biến trên ( 5 ; 2 5 ). Mà f(2) = 9/2, f( 5 ) = 2 5 , f(2 5 ) = 13 5 /4. Từ đó 2 5 13 2 / 4m 2) Giả sử     0 21      n n k k k P x x a x với 2 kk kn aC . Khi đó tổng các hệ số của P(x) là P (1). Suy ra (2.1 + n) n = 59049 = 3 10 suy ra n = 10. Với k = 0, 1, …, 9 xét tỉ số         11 1 10 10 ! 10 ! 2 10 2 10! 2. 2 1 ! 9 ! 10! 1 kk k kk k k k k aC a C k k k          Page 4 Suy ra 1 19 1 3     k k a k a . Từ đó a 0 < a 1 < … < a 7 > a 8 > a 9 > a 10 . Đáp số: hệ số lớn nhất là a 7 = 2 7 7 10 C Câu IV: (3 điểm) 1) Kẻ   SH ABC . M là trung điểm của BC. Ta có 2 2 2 2 2 22 2 3 à 36 23 3 12 55             AB AB SH SC HC a m SH HM AB AB a a a SH 2 2 2 2 3 3 3 1 3 3 15 . . ( ) 4 5 3 5 25 5      ABC a a a a S AB V dvtt 2) Phương trình tham số của BD: 34        xt yt zt Mặt phẳng    qua A và vuông góc với BD có phương trình 4x – y + z – 3 = 0. Suy ra tâm I của hình vuông thuộc đường thẳng BD và thuộc mặt phẳng    có tọa độ I (1; ½; − ½) suy ra C (1; −1; −2). Tọa độ điểm B, D thỏa mãn phương trình 4x – y + z – 3 = 0 và điều kiện 2 2 2 18 4 IB ID IA   nên B(3;0;0), D(−1;1;−1) hoặc D(3;0;0) và B(−1;1;−1) 3) Gọi H là trung điểm BC (C) có tâm I(1;−1), R = 5. Có AB.AC = AI 2 – R 2 . Suy ra 3AC 2 = 27 3, 9 6 4      AC AB AH IH . Lập  qua A(7;3) có 22 ( ; ), 0  n a b a b cách I một đoạn bằng 4: a(x – 7) + b(y − 3) = 0   22 0 , 4 3 2 2 12 5                   a d I a b a b a b Phương trình  : y – 3 = 0 hoặc −12x + 5y + 69 = 0 Câu V: (1 điểm) Ta có Page 5         2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 2 a c a a ca c a c a c c a c c a c c a c a            . Tương tự   2 22 1 1 1 1 22 b a b b c a b a      . Từ đó 1 1 1 1 1 3 2 2 2          ab bc ca P a b c abc . Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1. Vậy P min = 3/2. . Page 1 ĐỀ SỐ 20 Đề thi thử Đại học lần I năm 2012 – Trường THPT chuyên KHTN Câu I: (2 điểm) Cho hàm số: 21 () 1 x yC x    1) Khảo sát sự biến thi n và vẽ đồ thị hàm. 2 2 2 2 a b c P c c a a a b b b c       Page 2 ĐỀ SỐ 20 Đề thi thử Đại học lần I năm 2012 – Trường THPT chuyên KHTN Câu I: (2 điểm) 1) TXĐ: x  1. Ta có 2 11 1 1 1 2.     2) Đặt t = 3sinx + 4cosx (1), ta có ngay 22 3 4 5  t và mỗi 5t ta đều có x thỏa mãn (1). Bài toán quy về tìm min, max của hàm số     5 4 1f t t t trên đoạn   5;5 .