Khoá giải đề THPT Quốc Gia Môn Toán – Thầy Đặng Thành Nam – Mathlinks.vn! !"#$%&'()*+,-) ).*.)) /0&1)23)&456)7)489):%&4)&4;&)<=)>?%)489)@4A))) B4%)#%C#()DE#4$%&2:FG&)! H4"I)1%J%)>K)L!ML)N=O9)P%E)Q)L4RS()/T&1)L4U&4)VE6) DW&()L"I&X)/Y)Z[)*,\]*) V1US)#4%)()^^\*.\.*^]) L4_%)1%E&)$U6)`U%()^a*)@4b#c)24W&1)2d)#4_%)1%E&)1%E")>K) e%f&)4g)>0&1)23)24"I)489)Q)!"#$%&'()*+,-) ).*.) Bh=)^)i.c*)>%d6jF!Cho!hàm!số! y = x 3 − (m + 2)x 2 + (2m +1)x −1 (1) .! 1. Khảo!sát!sự!biến!thiên!và!vẽ!đồ!thị!hàm!số!(1)!với! m =1 .!! 2. !Gọi!A!là!giao!điểm!của!(1)!với!Oy.!Viết!phương!trình!tiếp!tuyến!của!(1)!tại!A!và!cách!điểm! B(1;2)!một!khoảng!bằng! 2 .! Bh=).)i^c*)>%d6jF) a) Giải!hệ!phương!trình! log x y = log y xy x − y = 3(xy −1) 2 ⎧ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ .!! b) Tìm! m >1 !để!giá!trị!lớn!nhất!của!hàm!số! y = 2x + m x 2 +1 !trên!đoạn![0;2]!bằng!4.! Bh=)7)i^c*)>%d6jF!Gọi!S!là!hình!phẳng!giới!hạn!bởi!các!đường! y = 1 e x 3 + 2 ; y = 0;x = 0; x = 3ln 2 .! Tính!thể!tích!khối!tròn!xoay!sinh!ra!khi!quay!S!quanh!trục!hoành.! Bh=)k)i^c*)>%d6jF!! a) Trong!các!số!phức!z!thoả!mãn! z = 1 .!Tìm!số!phức!z!để! 1+ z + 31− z đạt!giá!trị!lớn!nhất.!!! b) Cho!tập!A!gồm!n!phần!tử!phân!biệt!trong!đó!có!phần!tử!x.!Gọi!S!là!tập!hợp!các!tập!con!của! A.!Tính!số!phần!tử!của!S,!lấy!ra!ngẫu!nhiên!một!phần!tử!từ!S!tính!xác!suất!để!phần!tử!đó!có! chứa!x.! Bh=)])i^c*)>%d6jF!Cho!hình!chóp!S.ABC!có! AB = AC = a, BAC ! = 120 0 .!Gọi!I!là!trung!điểm!cạnh! AB,!hình! chiếu!vuông!góc!của!S!trên!mặt!phẳng!(ABC)!là!trung!điểm!của! đoạn!CI;!góc!giữa!SA! và! mặt! đáy! bằng! 60 0 !.! Tính! thể! tích! khối! chóp! S.ABC! và! khoảng! cách! từ! điểm! A! đến! mặt! phẳng!(SBC).! Bh=)-)i^c*)>%d6jF)Trong!không!gian!với!hệ!trục!toạ!độ!Oxyz!cho!hai!điểm!A(3;w2;3),!B(w5;10;w1)! và!mặt!phẳng! (P ) : 2x + y + 2z −1= 0 .!Chứng!minh!A,B!nằm!khác!phía!với!mặt!phẳng!(P).!Tìm! toạ!độ!điểm!M!thuộc!(P)!sao!cho! MA + MB = 4 14 .!!!! Bh=),)i^c*)>%d6jF!Trong!mặt!phẳng!với!trục!toạ!độ!Oxy!cho!tam!giác!ABC!có! B 21 5 ; 3 5 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ .!Phương! trình!tiếp!tuyến!tại!A!của!đường!tròn!ngoại!tiếp!tam!giác!ABC!là! x + 2 y−7 = 0 .!Đường!phân! giác!ngoài!của!góc!A!cắt!BC!kéo!dài!tại!điểm!E(9;3).!Tìm!toạ!độ!các!đỉnh!A,C!biết!A!có!tung!độ! dương.!!!! Bh=)a)i^c*)>%d6jF)Giải!bất!phương!trình! (x −3+ 2− x ) 3 + 2− x + 2x −1 3 + 3x ≥ 4 .! Bh=)+)i^c*)>%d6jF!Cho!x,y,z!là!các!số!thực!thoả!mãn! x + y + z = 0 .!Tìm!giá!trị!nhỏ!nhất!của!biểu! thức! P = 3 cos x + 3 cos y + 3 cos z − 3.max cos x , cos y , cos z { } .! lll!mLlll) ! ! Khoá giải đề THPT Quốc Gia Môn Toán – Thầy Đặng Thành Nam – Mathlinks.vn! !"#$%&'()*+,-) ).*.)) /0&1)23)&456)7)489):%&4)&4;&)<=)>?%)489)@4A))) B4%)#%C#()DE#4$%&2:FG&)! PHÂN TÍCH – BÌNH LUẬN ĐÁP ÁN Bh=)^)i.c*)>%d6jF!Cho!hàm!số! y = x 3 − (m + 2)x 2 + (2m +1)x −1 (1) .! 1. Khảo!sát!sự!biến!thiên!và!vẽ!đồ!thị!hàm!số!(1)!với! m =1 .!! 2. !Gọi!A!là!giao!điểm!của!(1)!với!Oy.!Viết!phương!trình!tiếp!tuyến!của!(1)!tại!A!và!cách!điểm! B(1;2)!một!khoảng!bằng! 2 .! 1. Học!sinh!tự!làm.! 2. Ta!có! A(0;−1) .!Tiếp!tuyến!của!(1)!tại!A!có!dạng:! d : y = (2m +1)x −1 .! Theo!giả!thiết!ta!có:! ! d (B;d ) = (2m +1).1−1− 2 (2m +1) 2 + (−1) 2 = 2 ⇔ 2(m −1) = 2(4m 2 + 4m + 2) ⇔ 4(m −1) 2 = 2(4m 2 + 4m + 2) ⇔ 4m 2 +16m = 0 ⇔ m = 0 m = −4 ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ .!! Vậy! m = −4;m = 0 là!giá!trị!cần!tìm.!!! Bh=).)i^c*)>%d6jF) a) Giải!hệ!phương!trình! log x y = log y xy x − y = 3(xy −1) 2 ⎧ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ .!! b) Tìm! m >1 !để!giá!trị!lớn!nhất!của!hàm!số! y = 2x + m x 2 +1 !trên!đoạn![0;2]!bằng!4.! a)!Điều!kiện:! 0 < x, y ≠ 1 .! Phương!trình!thứ!nhất!của!hệ!tương!đương!với:! log x y = 1 2 log y x +1 ( ) ⇔ 2log x y = log y x +1 ⇔ 2log x 2 y − log x y −1 = 0 ⇔ log x y =1 log x y = − 1 2 ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⇔ x = y x = 1 y 2 ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ . +)!Nếu! x = y thay!vào!phương!trình!thứ!hai!của!hệ!ta!được:! (x 2 −1) 2 = 0 ⇔ x = ±1(l ) .! +)!Nếu! x = 1 y 2 thay!vào!phương!trình!thứ!hai!của!hệ!ta!được:! 1 y 2 − y = 3 1 y −1 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ 2 ⇔1− y 3 = 3(y−1) 2 ⇔ y 3 + 3y 2 −6y + 2 = 0 ⇔ y = 1(l) y = −2+ 6(t / m) y = −2− 6(l) ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ → (x; y) = 5−2 6 2 ;−2+ 6 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ . Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x; y) = 5−2 6 2 ;−2+ 6 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ . Khoá giải đề THPT Quốc Gia Môn Toán – Thầy Đặng Thành Nam – Mathlinks.vn! !"#$%&'()*+,-) ).*.)) /0&1)23)&456)7)489):%&4)&4;&)<=)>?%)489)@4A))) B4%)#%C#()DE#4$%&2:FG&)! b) Ta có: y ' = 2 x 2 +1 − x(2x + m) x 2 +1 x 2 +1 = 2− mx (x 2 +1) 3 ; y ' = 0 ⇔ x = 2 m ∈ 0;2 ⎡ ⎣ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ . Ta!có! y(0) = m; y 2 m ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ = m 2 + 4; y(2) = m + 4 5 ⇒ y max = y 2 m ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ = m 2 + 4 .! Vậy!yêu!cầu!bài!toán!tương!đương!với:! m 2 + 4 = 4 ⇔ m 2 + 4 =16 ⇒ m = 2 3 .! Vậy!giá!trị!cần!tìm!của!tham!số!là! m = 2 3 .!!!!! Bh=)7)i^c*)>%d6jF!Gọi!S!là!hình!phẳng!giới!hạn!bởi!các!đường! y = 1 e x 3 + 2 ; y = 0;x = 0;x = 3ln 2 .! Tính!thể!tích!khối!tròn!xoay!sinh!ra!khi!quay!S!quanh!trục!hoành.! Ta!có:! V = π dx ( e x 3 + 2) 2 0 3ln 2 ∫ .!Đặt! t = e x 3 ⇒ t 3 = e x ⇒ e x dx = 3t 2 dt ⇒ dx = 3dt t .! Vì!vậy!! V = π 3dt t(t + 2) 2 1 2 ∫ = 3π 4 1 t − 1 t + 2 − 2 (t + 2) 2 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ dt 1 2 ∫ = 3π 4 ln t t + 2 + 2 t + 2 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ 2 1 = 3π 4 ln 3 2 − 2 12 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ .! Bh=)k)i^c*)>%d6jF!! a) Trong!các!số!phức!z!thoả!mãn! z = 1 .!Tìm!số!phức!z!để! 1+ z + 3 1− z đạt!giá!trị!lớn!nhất.!!! b) Cho!tập!A!gồm!n!phần!tử!phân!biệt!trong!đó!có!phần!tử!x.!Gọi!S!là!tập!hợp!các!tập!con!của! A.!Tính!số!phần!tử!của!S,!lấy!ra!ngẫu!nhiên!một!phần!tử!từ!S!tính!xác!suất!để!phần!tử!đó!có! chứa!x.! a) Giả!sử! z = x + yi(x, y ∈ !) .! Vì! z = 1 ⇔ x 2 + y 2 = 1 ⇔ x 2 + y 2 = 1 .! Khi!đó!!! 1+ z + 3 1− z = (x +1) 2 + y 2 + 3 (x −1) 2 + y 2 = (x +1) 2 +1− x 2 + 3 (x −1) 2 +1− x 2 = 2( 1+ x + 3 1− x ) .! Xét!hàm!số! f (x) = 2( 1+ x + 3 1− x ) trên!đoạn![w1;1]!ta!có! f '(x) = 2 1 2 1+ x − 3 2 1− x ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ; f '(x ) = 0 ⇔ 1− x = 3 1+ x ⇔ x = − 4 5 . Ta có: f (−1) = 6; f (1) = 2; f − 4 5 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ = 2 10 . Vì vậy f max = f − 4 5 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ = 2 10 . Từ đó suy ra x = − 4 5 y 2 = 1− x 2 ⎧ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⇔ x = − 4 5 , y = − 3 5 x = − 4 5 , y = 3 5 ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ . Khoá giải đề THPT Quốc Gia Môn Toán – Thầy Đặng Thành Nam – Mathlinks.vn! !"#$%&'()*+,-) ).*.)) /0&1)23)&456)7)489):%&4)&4;&)<=)>?%)489)@4A))) B4%)#%C#()DE#4$%&2:FG&)! Vậy số cần cần tìm là z = − 4 5 − 3 5 i; z = − 4 5 + 3 5 i . b) Số!tập!con!của!A!có!chứa!k!phần!tử!là! C n k (k = 0,n) .! Vì!vậy!tổng!số!phần!tử!của!S!là!! C n k k=0 n ∑ = 2 n .! +)!Ta!tìm!!số!tập!con!của!A!chứa!phần!tử!x.! Số!tập!con!không!chứa!phần!tử!x!chính!là!số!tập!con!của!tập!hợp! A\ x { } .!Tập!hợp!này!có!(nw1)! phần!tử.! Vậy!số!tập!con!của!nó!bằng! 2 n−1 .! Vì!vậy!số!tập!con!của!A!chứa!phần!tử!x!là! 2 n − 2 n−1 = 2 n−1 .! Vậy!xác!suất!cần!tính!là! P = 2 n−1 2 n = 1 2 .!!!!! Bh=)-i^c])>%d6j!Cho!hình!chóp!S.ABC!có! AB = AC = a,BAC ! = 120 0 .!Gọi!I!là!trung!điểm!cạnh! AB,!hình! chiếu!vuông!góc!của!S!trên!mặt!phẳng!(ABC)!là!trung!điểm!của! đoạn!CI;!góc!giữa!SA! và! mặt! đáy! bằng! 60 0 !.! Tính! thể! tích! khối! chóp! S.ABC! và! khoảng! cách! từ! điểm! A! đến! mặt! phẳng!(SBC).! ! Gọi!D!là!giao!điểm!của!AH!với!BC;!M!là!trung!điểm!cạnh! BC.!Do!tam!giác!ABC!cân!tại!A!nên!AM!vuông!góc!với!BC.! Ta!có:! S ABC = 1 2 AB.AC sin120 0 = a 2 3 4 .! Sử!dụng!định!lý!hàm!số!Côsin!cho!tam!giác!ACI!ta!có:! ! CI = AI 2 + AC 2 −2AI .AC cos120 0 = a 2 4 + a 2 −2. a 2 .a. − 1 2 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ = a 7 2 .!! ! ! Sử!dụng!công!thức!đường!trung!tuyến!ta!có:! AH = 2(AI 2 + AC 2 )−CI 2 2 = a 3 4 .! Có! SH ⊥ (ABC ) ⇒ SAH ! = 60 0 ⇒ SH = AH tan60 0 = 3a 4 .! Vì!vậy! V S .ABC = 1 3 SH .S ABC = 1 3 . 3a 4 . a 2 3 4 = a 3 3 16 (đvtt).! +)!Kẻ!HK!vuông!góc!với!BC!tại!K,!kẻ!HI!vuông!góc!với!SK!tại!I!ta!có! HI ⊥ (SBC ) .! Ta!có! HK = 1 2 d (I ;BC ) = 1 4 AM = a 8 .!! Sử!dụng!định!lý!Talets!ta!có:! HD AD = HK AM = 1 2 d (I ;BC ) AM = 1 4 ⇒ d (A;(SBC )) = 4d (H ;(SBC )) = 4HI . Khoá giải đề THPT Quốc Gia Môn Toán – Thầy Đặng Thành Nam – Mathlinks.vn! !"#$%&'()*+,-) ).*.)) /0&1)23)&456)7)489):%&4)&4;&)<=)>?%)489)@4A))) B4%)#%C#()DE#4$%&2:FG&)! Tam giác vuông SHK có 1 HI 2 = 1 SH 2 + 1 HK 2 = 16 9a 2 + 64 a 2 ⇒ HI = 3a 37 148 . Vì vậy d (A;(SBC )) = 4. 3a 37 148 = 3a 37 37 . BH=)-)IJK*)>%L6MF)Trong!không!gian!với!hệ!trục!toạ!độ!Oxyz!cho!hai!điểm!A(3;w2;3),!B(w5;10;w1)! và!mặt!phẳng! (P ) : 2x + y + 2z −1= 0 .!Chứng!minh!A,B!nằm!khác!phía!với!mặt!phẳng!(P).!Tìm! toạ!độ!điểm!M!thuộc!(P)!sao!cho! MA + MB = 4 14 .!!!! Thay!toạ!độ!của!A,B!vào!mặt!phẳng!(P)!ta!được: 2.3− 2+ 2.3−1 ( ) 2.(−5)+10 + 2.(−1) ( ) < 0 .!! Vì!vậy!A,B!nằm!khác!phía!với!(P)!(đpcm).! Ta!có:! AB ! "!! = (−8;12;−4) ⇒ AB = MA + MB = 4 14 .!Vì!vậy!M!là!giao!điểm!của!AB!và!mặt!phẳng! (P).! Phương!trình!đường!thẳng!AB!là! x = 3 + 2t y = −2−3t z = 3+ t ⎧ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ .!! Toạ!độ!điểm!M!là!nghiệm!của!hệ! x = 3+ 2t y = −2−3t z = 3+ t 2x + y + 2z −1 = 0 ⎧ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⇔ x = −3 y = 7 z = 0 t = −2 ⎧ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⇒ M (−3;7;0) .! Vậy! M (−3;7;0) là!điểm!cần!tìm.!!!! BH=),)IJK*)>%L6MF!Trong!mặt!phẳng!với!trục!toạ!độ!Oxy!cho!tam!giác!ABC!có! B 21 5 ; 3 5 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ .!Phương! trình!tiếp!tuyến!của!tại!A!của!đường!tròn!ngoại!tiếp!tam!giác!ABC!là! x + 2 y−7 = 0 .!Đường! phân!giác!ngoài!của!góc!A!cắt!BC!kéo!dài!tại!điểm!E(9;3).!Tìm!toạ!độ!các!đỉnh!A,C!biết!A!có! tung!độ!dương.!!!! Đường!thẳng!BC!đi!qua!điểm!B,E!có!phương!trình!là! x − 2 y − 3 = 0 .!! Gọi!F!là!giao!điểm!của!tiếp!tuyến!và!đường!thẳng!BC.! Toạ!độ!của!F!là!nghiệm!của!hệ!phương!trình! x −2y − 3 = 0 x + 2y −7 = 0 ⎧ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⇔ x = 5 y = 1 ⎧ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⇒ F (5;1) .! ! Gọi!D!là!chân!đường!phân!giác!trong!góc!A!của!tam! giác!ABC.! Xét!tam!giác!ADF!có!! FA = FD bởi!vì!!! FAD ! = FAC ! +CAD ! ; FDA ! = ABC ! + BAD ! ; FAC ! = BAD ! ;CAD ! = BAD ! .! Tức!tam!giác!FAD!cân!tại!F.! AD,AE!là!hai!phân!giác!góc!A!nên!vuông!góc.!Vì!vậy! tam!giác!ADE!là!tam!giác!vuông!có! FA = FD nên!F!là! trung!điểm!đoạn!ED.!!! !Vì!F!là!trung!điểm!của!ED!nên!D(1;w1).! Gọi! A(7− 2a;a),a > 0 là!điểm!thuộc!tiếp!tuyến! AD ! "!! = (2a −6;−a −1),AE ! "!! = (2a + 2;−a + 3) .! Khoá giải đề THPT Quốc Gia Môn Toán – Thầy Đặng Thành Nam – Mathlinks.vn! !"#$%&'()*+,-) ).*.)) /0&1)23)&456)7)489):%&4)&4;&)<=)>?%)489)@4A))) B4%)#%C#()DE#4$%&2:FG&)! Ta!có! AD ⊥ AC ⇒ AD ! "!! .AE ! "!! = 0 ⇔ (2a −6)(2a + 2) + (−a −1)(−a + 3) = 0 ⇔ 5a 2 −10a −15 = 0 ⇔ a = −1(l ) a = 3(t / m) ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⇒ A(1;3) .! Gọi!I!là!tâm!ngoại!tiếp!của!tam!giác!ABC.!Do!IA=IB!và!IA!vuông!góc!với!tiếp!tuyến!tại!A!nên! toạ!độ!I!là!nghiệm!của!hệ! 2(x −1)−( y −3) = 0 (x −1) 2 + ( y −3) 2 = x − 21 5 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ 2 + y − 3 5 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ 2 ⎧ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⇔ 2x − y +1= 0 4x −3y −5 = 0 ⎧ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⇔ x = −4 y = −7 ⎧ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ .! Vậy!I(w4;w7).!Gọi! C (2c + 3;c ) ∈ BC,c ≠ 3 5 .! Ta!có! IC 2 = IA 2 = 125 ⇔ (2c + 7) 2 + (c + 7) 2 = 125 ⇔ c = −9(t / m) c = 3 5 (l ) ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⇒ C (−15;−9) .! Vậy!toạ!độ!hai!đỉnh!cần!tìm!là! A(1;3),C (−15;−9) .!!!! BH=)N)IJK*)>%L6MF)Giải!bất!phương!trình! (x −3+ 2− x ) 3 + 2− x + 2x −1 3 + 3x ≥ 4 .! Điều!kiện:! x ≤ 2 .!! Bất!phương!trình!tương!đương!với:! ! (x −3+ 2− x ) 3 + (x −3+ 2− x ) ≥ (1−2x ) + 1− 2x 3 (1) .!! Xét!hàm!số! f (a) = a 3 + a trên!R!ta!có! f '(a) = 3a 2 +1> 0,∀a ∈ ! .! Vì!vậy!f(a)!đồng!biến,!do!đó! (1) ⇔ f (x −3+ 2− x ) ≥ f ( 1− 2x 3 ) ⇔ x −3+ 2− x ≥ 1− 2x 3 .! ! ⇔ x + 2− x + 2x −1 3 ≥ 3 .!!!!! Đặt! t = 2− x ≥ 0 ⇒ x = 2−t 2 .!Bất!phương!trình!trở!thành:! ! 2−t 2 + t + 2(2−t 2 )−1 3 ≥ 3 ⇔ 3− 2t 2 3 ≥ t 2 −t +1 ⇔ 3−2t 2 ≥ (t 2 −t +1) 3 ⇔ (t −1)(t 5 − 2t 4 + 4t 3 −3t 2 + 5t + 2) ≤ 0 ⇔ t ≤1 ⇔ 2− x ≤1 ⇔ x ≥1 .! Bởi!vì! t 5 − 2t 4 + 4t 3 −3t 2 + 5t + 2 = t 3 (t −1) 2 + t(3t 2 −3t + 5) + 2 > 0,∀t ≥ 0 .! Kết!hợp!với!điều!kiện!bài!toán!ta!có! 1 ≤ x ≤ 2 .!! Vậy!tập!nghiệm!của!bất!phương!trình!là! S = 1;2 ⎡ ⎣ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ .!!!!! B4O)3F!Ta!có!thể!giải!bằng!cách!khác!sau!đây:! Đặt! a = x −3 + 2 − x b = 2x −1 3 ⎧ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ .!Bất!phương!trình!trở!thành:! a 3 + a + b + b 3 ≥ 0 ⇔ (a + b)(a 2 −ab + b 2 +1) ≥ 0 ⇔ a + b ≥ 0 . Khoá giải đề THPT Quốc Gia Môn Toán – Thầy Đặng Thành Nam – Mathlinks.vn! !"#$%&'()*+,-) ).*.)) /0&1)23)&456)7)489):%&4)&4;&)<=)>?%)489)@4A))) B4%)#%C#()DE#4$%&2:FG&)! ⇔ x + 2− x −3+ 2x −1 3 ≥ 0 ⇔ (x −2+ 2− x ) +( 2x −1 3 −1) ≥ 0 ⇔ 2− x 1− 2− x ( ) + ( 2x −1 3 −1) ≥ 0 ⇔ (x −1) 2− x 1+ 2− x + 2(x −1) (2x −1) 2 3 + 2x −1 3 +1 ≥ 0 ⇔ (x −1) 2− x 1+ 2− x + 2 (2x −1) 2 3 + 2x −1 3 +1 ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ≥ 0 ⇔ x ≥1 .! Vậy!tập!nghiệm!của!bất!phương!trình!là! S = 1;2 ⎡ ⎣ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ .!!!!! BH=)+)IJK*)>%L6MF!Cho!x,y,z!là!các!số!thực!thoả!mãn! x + y + z = 0 .!Tìm!giá!trị!nhỏ!nhất!của!biểu! thức! P = 3 cos x + 3 cos y + 3 cos z − 3.max cos x , cos y , cos z { } .! Do!vai!trò!của!x,y,z!như!nhau!nên!không!mất!tính!tổng!quát!giả!sử! cos z = max cos x , cos y , cos z { } .!! Ta!có!! cos x + cos y = cos 2 x + cos 2 y + 2 cosx.cos y ≥ cos 2 x + cos 2 y = 1+ cos2x + cos2y 2 = 1+ cos(x + y)cos(x − y) ≥ 1− cos(x + y).cos(x − y) ≥ 1− cos z ≥1− cosz .! Mặt!khác:! 3 cos x + 3 cos y ≥ 2 + cos x + cos y .! Từ!đó!suy!ra:! P ≥ 3+ 3 cos z − 4 cos z .! Xét hàm số f (t) = 3 t − 4t , ta có f '(t) = 3 t ln3− 4 < 0,∀t ∈ 0;1 ⎡ ⎣ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ . Vì!vậy! P ≥ f (t) ≥ f (1) = 2 .!! Dấu!bằng!đạt!tại! cos x = cos y = 0; cos z =1;x + y + z = 0 .!Chẳng!hạn! x = y = π 2 ;z = −π .! Vậy!giá!trị!nhỏ!nhất!của!P!bằng!2.!!! ! !! ! . −1 3 ⎧ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ .!Bất!phương!trình!trở !thành: ! a 3 + a + b + b 3 ≥ 0 ⇔ (a + b)(a 2 −ab + b 2 +1) ≥ 0 ⇔ a + b ≥ 0 . Khoá giải đề THPT Quốc Gia Môn Toán – Thầy Đặng Thành Nam – Mathlinks.vn! !"#$%&'()*+,-). 3 cos y + 3 cos z − 3.max cos x , cos y , cos z { } .! lll!mLlll) ! ! Khoá giải đề THPT Quốc Gia Môn Toán – Thầy Đặng Thành Nam – Mathlinks.vn! !"#$%&'()*+,-) ).*.)) /0&1)23)&456)7)489):%&4)&4;&)<=)>?%)489)@4A))) B4%)#%C#()DE#4$%&2:FG&)! PHÂN. duy nhất (x; y) = 5−2 6 2 ;−2+ 6 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ . Khoá giải đề THPT Quốc Gia Môn Toán – Thầy Đặng Thành Nam – Mathlinks.vn! !"#$%&'()*+,-) ).*.)) /0&1)23)&456)7)489):%&4)&4;&)<=)>?%)489)@4A))) B4%)#%C#()DE#4$%&2:FG&)! b)