1 TRƯỜNG ĐẠI HỌC CẦN THƠ KHOA KHOA HỌC TỰ NHIÊN BỘ MÔN TOÁN ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ THI VI TÍCH PHÂ N A1 HỌC KỲ I NĂM HỌC 2014 - 2015 Ngày thi: 23/11/2014 Thời gian làm bài: 120 phút NỘI DUNG ĐỀ THI (Đề thi gồm 09 câu 1 được in trên 02 trang 2 ) Câu 1. Tính các gới hạn sau (a) lim x→1 1 x − 1  1 x + 3 − 2 3x + 5  . (b) lim x→+∞ (e 3x − 5x) 1 x . Câu 2. Định lý sau đây được gọi là định lý Giá trị trung gian đối với hàm số liên tục: Nếu f(x) là hàm số liên tục trên đoạn [a, b] và nếu y 0 là g iá trị tùy ý giữa f (a) và f (b) thì y 0 = f(c) với c thu ộc đoạn [a, b]. Áp dụng định lý này, chứng minh rằng hàm số f(x) = (x − a) 2 .(x − b) 2 + x nhận giá trị a + b 2 với x nào đó. Câu 3. Nước đang chảy vào một bể chứa hình nón với tốc độ 9f t 3 mỗi phút (Hình 1). Bể chứa có đỉnh hướng xuống với chiều cao 10 ft và bán kính mặt là 5ft. Mực nước trong bể đang tăng ở tốc độ nào khi nó đang là 6ft? Câu 4. Hãy tìm diện tích lớn nhất của hình chữ nhật nội tiếp trong tam giác vuông cân với cạnh huyền 2 đơn vị (Hình 2). Hình 1. Hình 2. 1 Thông báo. Đáp án sẽ được công bố trên website Bộ môn Toán - Khoa Khoa học tự nhiên trong buổi chiều ng ày 24 .11.2014. 2 Thầy sẽ công bố điểm lúc 12 giờ ng ày 01.12.201 4. Phúc khảo (Chỉ phúc khảo trực tiếp) từ 7 giờ 30 phút đến 11 giờ ngày 02.12. 2014 tại văn phòng bộ môn Toán - Khoa Khoa học tự nhiên. Sa u thời gian này, mọi thắc mắc về điểm số đều không được giải quyết. 2 Câu 5. Cho hàm số g(x) = x  0 t 2 + 2t + 3 1 + t 2014 dt và f(x) = e g(x) . Tính giá trị của f  (0). Câu 6. Tính tích phân suy rộng I = +∞  3 dx (x − 2) 3 . Câu 7. Một cái nêm được cắt ra từ hình trụ đứng bán kính 3 mét bởi hai mặt phẳng. Mặt phẳng thứ nhất vuông gó c với trục của hình tr ụ. Mặt phẳng thứ ha i tạo với mặ t phẳng thứ nhất một góc 45 0 tại trục của hình trụ (Hình 3). Dùng tích phân xác định tính thể tích của cái nêm đó. Hình 3. Câu 8. Tính tổng của chuỗi số ∞  n=1  arccos  1 n + 1  − arccos  1 n + 2  bằng cách tính giới hạn của dãy các tổng riêng. Câu 9. Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa ∞  n=0 (−1) n x n 2n + 1 . Cán bộ ra đề LÊ HOÀI NHÂN 3 ĐÁP ÁN Môn: Vi tích phân A1 Học kỳ I - năm học 2014 - 2015 CBGD: LÊ HOÀI NHÂN Câu 1. (a) lim x→1 1 x − 1  1 x + 3 − 2 3x + 5  = lim x→1 x − 1 (x − 1)(x + 3)(3x + 5) = lim x→1 1 (x + 3)(3x + 5) = 1 32 . (b) lim x→+∞ (e 3x − 5x) 1 x có dạng vô định ∞ 0 = e lim x→+∞ ln(e 3x −5x) x Ta có, lim x→+∞ ln(e 3x − 5x) x dạng ∞ ∞ , Qui tắc L’Hospital = lim x→+∞ 3e 3x − 5 e 3x − 5x dạng ∞ ∞ , Qui tắc L’Hospital = lim x→+∞ 9e 3x 3e 3x − 5 dạng ∞ ∞ , Qui tắc L’Hospital = lim x→+∞ 27e 3x 9e 3x = 3 Vậy lim x→+∞ (e 3x − 5x) 1 x = e 3 Câu 2. • Nhận xét rằng hà m số f(x) = (x −a) 2 .(x −b) 2 + x là hàm đa thức bậc 4 nên nó liên tục trên đoạn [a, b]. Dễ thấy f(a) = a và f(b) = b. • Ta có y 0 = a + b 2 nằm giữa a và b. Theo định lý gi á trị trung gian thì y 0 = f (c) với c ∈ [a, b] (đpcm). Câu 3. • Theo hình 1 ta có, x(t), y(t) lần lượt là bán kính mặt nước và chiều cao của khối nước trong bể. Theo tính chất đồng dạng của tam giác ta có y(t) x(t) = 10 5 = 2 =⇒ x(t) = y(t) 2 4 • Thể tích của khối nước trong bể là V (t) = 1 3 π[x(t)] 2 .y(t) = 1 12 π[y(t)] 3 (1) • Tại t = t 0 ta có V  (t 0 ) = 9 và h(t 0 ) = 6. Ta cần tính y  (t 0 ). • Đạo hàm hai vế đẳng thức (1) theo t và cho t = t 0 ta được V  (t 0 ) = 1 4 π[y(t 0 )] 2 .y  (t 0 ) =⇒ y  (t 0 ) = 1 π • Vậy mực nước trong hồ tăng với tốc độ 1 π feet mỗi phút. Câu 4. • Từ hình 2, ta có đường phẳng A B có phương trình là y = 1 − x. Do đó, điểm P có tọa độ (x, 1 −x), x ∈ (0, 1). • Ta có, các kích thước của hình chữ nhật là 2x và 1 − x. Suy ra diện tích của hình chữ nhật S(x) = 2x(1 − x). • Ta tìm GTLN của S(x ) với x ∈ (0, 1). S  (x) = 2 − 4x = 0 ⇐⇒ x = 1 2 . S  (x) = −4 < 0, ∀x. Do đó, S(x) đạt GTLN tại x = 1 2 và max x∈(0,1) S(x) = S  1 2  = 1 2 • Vậy diện tích lớn nhất của hình chữ nhật nội tiếp trong tam giác vuông cân với cạnh huyền 2 đơn vị là 1 2 . Câu 5. • Theo công thức của đạo hàm hàm hợp ta có f  (x) = e g(x) .g  (x) =⇒ f  (0) = e g(0) .g  (0) • g(0) = 0  0 t 2 + 2t + 3 1 + t 2014 dt = 0. • Theo định lý cơ bản của phép tính tích phân ta có g  (x) = d dx x  0 t 2 + 2t + 3 1 + t 2014 dt = x 2 + 2x + 3 1 + x 2014 =⇒ g  (0) = 3 • Vậy f  (0) = 3. 5 Câu 6. • Với b ≥ 3, đặt F (b ) = b  3 dx (x − 2) 3 . Suy ra, F (b) = − 1 2(x − 2) 2     b 3 = − 1 2  1 (b − 2) 2 − 1  . • Ta có, I = lim b→+∞ F (b) = 1 2 . Câu 7. • Theo hình 3, khi cắt vật thể bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x ta được thiết diện là hình chữ nhật có kích thước là x và 2 √ 9 − x 2 . Thiết diện này có diện tích là S(x) = 2x  9 − x 2 , x ∈ [0, 3]. • Thể tích của cái nêm là V = 3  0 S(x)dx = 3  0 2x  9 − x 2 dx. • Đặt t = √ 9 − x 2 . Suy ra, V = 3  0 2t 2 dt = 18. Câu 8. • Tổng riêng thứ n của chuỗi đã cho là S n = n  k=1  arccos  1 k + 1  − arccos  1 k + 2  =  arccos  1 2  − arccos  1 3  +  arccos  1 3  − arccos  1 4  + + . . . +  arccos  1 n + 1  − arccos  1 n + 2  = arccos  1 2  − arccos  1 n + 2  = π 3 − arccos  1 n + 2  • Suy ra ∞  n=1  arccos  1 n + 1  − arccos  1 n + 2  = lim n→∞ S n = π 3 − π 2 = − π 6 6 Câu 9. • Chuỗi đã cho có số hạng tổng quát a n = (−1) n 2n + 1 . Suy ra l = lim n→∞     a n+1 a n     = 1. Do đó, bán kính hội tụ của chuỗi là r = 1 và khoảng hội tụ của nó là (−1, 1). • Với x = 1 ta có chuỗi ∞  n=0 (−1) n 2n + 1 hội tụ theo tiêu chuẩn Leibniz. • Với x = −1 ta có chuỗi ∞  n=0 1 2n + 1 phân kỳ theo tiêu chuẩn so sánh (so sánh với chuỗi điều hòa). • Vậy miền hội tụ của chuỗi lũy thừa đã cho là (−1, 1]. . KHOA HỌC TỰ NHIÊN BỘ MÔN TOÁN ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ THI VI TÍCH PHÂ N A1 HỌC KỲ I NĂM HỌC 2014 - 2015 Ngày thi: 23/11/2014 Thời gian làm bài: 120 phút NỘI DUNG ĐỀ THI (Đề thi gồm 09 câu 1 được in. giờ 30 phút đến 11 giờ ngày 02.12. 2014 tại văn phòng bộ môn Toán - Khoa Khoa học tự nhiên. Sa u thời gian này, mọi thắc mắc về điểm số đều không được giải quyết. 2 Câu 5. Cho hàm số g(x) = x  0 t 2 +. 9. Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa ∞  n=0 (−1) n x n 2n + 1 . Cán bộ ra đề LÊ HOÀI NHÂN 3 ĐÁP ÁN Môn: Vi tích phân A1 Học kỳ I - năm học 2014 - 2015 CBGD: LÊ HOÀI NHÂN Câu 1. (a) lim x→1 1 x