PHÒNG GD & ĐT DUY XUYÊN ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2007 - 2008 ĐỀ CHÍNH THỨC MÔN: TOÁN 7 Thời gian làm bài: 120 phút Bài 1: (1,5đ) a/ Rút gọn: 2 9 5 3 3 2 8 8 3 5 .6 .10 6 .2 .15 5 .6 .10 2.6 .10 + − b/ Biết 1 4 + 2 4 + 3 4 + + 9 4 + 10 4 = 25333 Tính tổng S = 2 4 + 4 4 + 6 4 + + 18 4 + 20 4 Bài 2: (2,0đ) Cho tỉ lệ thức 2 2 22 14 x y x y + − = a/ Tính tỉ số x y b/ Tìm x, y biết x 2 + y 2 = 82 Bài 3: (3,0đ) a/ Cho M = 2 2 2 3 1 x y x x − + + N = (x + 1) 2 + (y - 2 ) 2 + 2008 Tính giá trị của M tại x, y thỏa mãn N đạt giá trị nhỏ nhất b/ Cho A = 2x 4 y 2 – 7x 3 y 5 ; B = 1 2 − x 4 y 2 + 2x 3 y 5 ; C = 5x 3 y 5 Chứng tỏ rằng trong ba biểu thức A, B, C có ít nhất một biểu thức luôn có giá trị không âm với mọi x, y. c/ Tìm x ∈ N biết 2 x+1 + 2 x+4 + 2 x+5 = 2 6 .5 2 Bài 4: (2,5đ) Cho ∆ABC cân tại A (AB > AC). M là trung điểm AC. Đường thẳng vuông góc với AC tại M cắt BC tại P. Trên tia đối tia AP lấy điểm Q sao cho AQ = BP. a/ Chứng minh rằng: +/ · · APC BAC= +/ PC = QC b/ ∆ABC cần thêm điều kiện gì để CQ ⊥ CP Bài 5: (1,0đ) Cho ∆ABC có µ A = 30 0 . Dựng bên ngoài tam giác đều BCD. Chứng minh: AD 2 = AB 2 + AC 2 *=*=*=*=*= Hết =*=*=*=*=* PHÒNG GD & ĐT DUY XUYÊN ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2008 - 2009 ĐỀ CHÍNH THỨC MÔN: TOÁN 7 Thời gian làm bài: 120 phút Bài 1: (1,5đ) Thực hiện phép tính sau một cách hợp lí: a/ 5 5 9 11 4 12 4 .9 6 .30 6 8 .3 + − b/ 3 3 3 0,375 0,3 1,5 1 11 12 4 5 5 5 5 0,625 0,5 2,5 11 12 3 4 − + + + − + − + − − + − Bài 2: (3,0đ) a/ Cho hai đa thức P(x) = x 2 + 2mx + m 2 và Q(x) = x 2 – (2m + 1)x + m 2 . Tìm m biết P(3) = Q(-2) b/ Tìm giá trị lớn nhất của M = 2009 - 7x − - (2m + 4) 2008 c/ Tìm x biết 2 4 5x x− + − = Bài 3: (2,5đ) a/ Cho a + b + c = 2009 và 1 1 1 1 7a b b c c a + + = + + + Tính S = a b c b c a c a b + + + + + b/ Tổng các lũy thừa bậc ba của 3 số là -1009. Biết tỉ số của số thứ nhất với số thứ hai là 2 3 , giữa số thứ nhất với số thứ ba là 4 9 . Tìm 3 số đó. Bài 4: (2,0đ) Cho ∆ABC có µ A < 90 0 . Trên nữa mặt phẳng bờ AC không chứa B vẽ tia Ax vuông góc với AC và lấy trên tia đó điểm E sao cho AE = AC. Trên nửa mặt phẳng bờ AB không chứa C vẽ tia Ay vuông góc với AB và lấy trên đó điểm D sao cho AD = AB. a/ Chứng minh DC = BE và DC ⊥ BE. b/ Gọi N là trung điểm của DE. Trên tia đối của tia NA lấy điểm M sao cho NA = NM. Chứng minh AB = ME và ∆ABC = ∆EMA Bài 5: (1,0đ) Cho ∆ABC vuông tại A, một đường thẳng d cắt hai cạnh AB và AC lần lượt tại D và E. Chứng minh rằng CD 2 – CB 2 = ED 2 – EB 2 . *=*=*=*=*= Hết =*=*=*=*=* ĐÁP ÁN & BIỂU ĐIỂM 1/ 1,0đ 12 5 6 2 10 3 5 2 12 5 12 4 10 3 10 4 2 6 4 5 3 9 3 12 6 12 5 9 3 9 3 3 2 .3 4 .9 5 .7 25 .49 2 .3 2 .3 5 .7 5 .7 (2 .3) 8 .3 (125.7) 5 .14 2 .3 2 .3 5 .7 5 .2 .7 − − − − − = − + + + + 12 4 10 3 12 4 10 3 12 5 9 3 3 12 5 9 3 2 .3 .(3 1) 5 .7 .(1 7) 2 .3 .2 5 .7 .( 6) 1 10 7 2 .3 .(3 1) 5 .7 .(1 2 ) 2 .3 .4 5 .7 .9 6 3 2 − − − − = − = − = − = + + 0,25đ 0,75đ 2a/ (x – 1) 3 = -8 ⇒ x – 1 = -2 0,25đ 0,5đ ⇒ x = -1. Vậy x = -1 0,25đ 2b/ 0,5đ 9 7 5 3x x− = − . ĐK 3 5 x ≥ ⇒ 9 7 5 3 9 7 3 5 x x x x − = −   − = −  12 12 1 2 6 3 x x x x  = =  ⇒ ⇒   = =   (TMĐK) vậy x = 1 hoặc x = 3 0,25đ 0,25đ 2c/ 0,5đ x - 3 x = 0. ĐK x ≥ 0 ⇒ 0 ( 3) 0 9 x x x x =  − = ⇒  =  (TMĐK) 0,5đ 2d/ 0,5đ 12x = 15y = 20z ⇒ 48 4 20; 16; 12 5 4 3 12 12 x y z x y z x y z + + = = = = = ⇒ = = = 0,5đ 3a/ 0,75đ Vì a ∈ Z + ⇒ 4 a ≡ 1 (mod 3) ⇒ 4 a + 2 ≡ 0 (mod 3) Mà 4 a + 2 ≡ 0 (mod 2) ⇒ 4 a + 2 M 6 Khi đó ta có 4 a + a + b = 4 a + 2 + a + 1 + b + 2007 – 2010 M 6 Vậy với a, b ∈ Z + sao cho a + 1 và b + 2007 M 6 thì 4 a + a + b M 6 0,25đ 0,25đ 0,25đ 3b/ 0,75đ Từ 6x 2 + 5y 2 = 74 ⇒ 6x 2 ≤ 74 ⇒ x 2 ≤ 74/6 mà x ∈ Z ⇒ x∈{0; 1; 4; 9} Mặt khác ta có x 2 + 1 = 75 – 5x 2 – 5y 2 M 5 ⇒ x 2 = 4 hoặc x 2 = 9 Nếu x 2 = 4 ⇒ y 2 = 10 (loại vì y ∈ Z) Nếu x 2 = 9 ⇒ y 2 = 4 ⇒ (x, y) ∈ {(3, 2); (3; -2); (-3; 2); (-3; -2)} 0,25đ 0,25đ 0,25đ 4a/ 1,0đ a c a c c a b d b d d b + − = = = + − ⇒ . . a c a c a c b d b d b d + − = + − ⇒ 2 2 2 2 ( ). ( ). ( ). ( ). a c a c a c a ac c ac b d b d b d b bd d bd + − + − = ⇒ = + − + − ⇒ đpcm 0,5đ 0,5đ 4b/ 1,0đ Ta có ; x x x y y y x y z t x y z x y x y z t x y t x y < < < < + + + + + + + + + + + + ; z z z t t t x y z t y z t z t x y z t x z t z t < < < < + + + + + + + + + + + + ⇒ x y z t x y z t M x y z t x y x y z t z t   + + +   < < + + +  ÷  ÷ + + + + + + +     Hay 1 < M < 2. Vậy M có giá trị không phải là số tự nhiên 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 4c/ 1,0đ Ta có AB + BM = AM = AN = AC – NC ⇒ AB + BM = AC – BM ⇒ 2BM = AC – AB ⇒ BM = (b – c):2 AM = AB + BM ⇒ AM = (b + c):2 0,5đ 0,5đ 5/ 1,0đ Qua M kẻ HK // BC (H ∈ AB; K ∈ CD) MA 2 = MH 2 + HA 2 MC 2 = MK 2 + KC 2 ⇒ MA 2 + MC 2 = MH 2 + HA 2 + MK 2 + KC 2 MB 2 = MH 2 + HB 2 MD 2 = MK 2 + DK 2 ⇒ MB 2 + MD 2 = MH 2 + HB 2 + MK 2 + DK 2 Ta có AH = DK; HB = KC ⇒ MA 2 + MC 2 = MB 2 + MD 2 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ PHÒNG GD & ĐT DUY XUYÊN ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2009 - 2010 ĐỀ CHÍNH THỨC MÔN: TOÁN 7 Thời gian làm bài: 120 phút Bài 1: (1,0đ) Thực hiện phép tính sau: K H M D C B A ( ) ( ) 12 5 6 2 10 3 5 2 6 3 9 3 2 4 5 2 .3 4 .9 5 .7 25 .49 125.7 5 .14 2 .3 8 .3 − − − + + Bài 2: (2,0đ) Tìm các số x, y, z biết. a/ (x – 1) 3 = -8 b/ 9 7 5 3x x − = − c/ x - 3 x = 0 d/ 12x = 15y = 20z và x + y + z = 48 Bài 3: (1,5đ) a/ Với a, b là các số nguyên dương sao cho a + 1 và b + 2007 chia hết cho 6. Chứng minh rằng: 4 a + a + b chia hết cho 6. b/ Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn: 6x 2 + 5y 2 = 74 Bài 4: (2,0đ) a/ Cho a c b d = . Chứng minh rằng: 2 2 2 2 a ac b bd c ac d bd + + = − − b/ Cho x, y, z, t ∈ N. Chứng minh rằng: M = x y z t x y z x y t y z t z t x + + + + + + + + + + + có giá trị không phải là số tự nhiên. Bài 5: (3,0đ) Cho ∆ABC có góc A nhọn. Về phía ngoài ∆ABC vẽ ∆BAD vuông cân tại A, ∆CAE vuông cân tại A. Chứng minh: a/ DC = BE; DC ⊥ BE b/ BD 2 + CE 2 = BC 2 + DE 2 c/ Đường thẳng qua A vuông góc với DE cắt BC tại K. Chứng minh K là trung điểm của BC. Bài 6: (0,5đ) Cho ∆ABC nhọn với · BAC = 60 0 . Chứng minh rằng: BC 2 = AB 2 + AC 2 – AB.AC *=*=*=*=*= Hết =*=*=*=*=* ĐÁP ÁN & BIỂU ĐIỂM 1/ 1,0đ 12 5 6 2 10 3 5 2 12 5 12 4 10 3 10 4 2 6 4 5 3 9 3 12 6 12 5 9 3 9 3 3 2 .3 4 .9 5 .7 25 .49 2 .3 2 .3 5 .7 5 .7 (2 .3) 8 .3 (125.7) 5 .14 2 .3 2 .3 5 .7 5 .2 .7 − − − − − = − + + + + 12 4 10 3 12 4 10 3 12 5 9 3 3 12 5 9 3 2 .3 .(3 1) 5 .7 .(1 7) 2 .3 .2 5 .7 .( 6) 1 10 7 2 .3 .(3 1) 5 .7 .(1 2 ) 2 .3 .4 5 .7 .9 6 3 2 − − − − = − = − = − = + + 0,25đ 0,75đ 2a/ 0,5đ (x – 1) 3 = -8 ⇒ x – 1 = -2 ⇒ x = -1. Vậy x = -1 0,25đ 0,25đ 2b/ 0,5đ 9 7 5 3x x− = − . ĐK 3 5 x ≥ ⇒ 9 7 5 3 9 7 3 5 x x x x − = −   − = −  12 12 1 2 6 3 x x x x  = =  ⇒ ⇒   = =   (TMĐK) vậy x = 1 hoặc x = 3 0,25đ 0,25đ 2c/ 0,5đ x - 3 x = 0. ĐK x ≥ 0 ⇒ 0 ( 3) 0 9 x x x x =  − = ⇒  =  (TMĐK) 0,5đ 2d/ 0,5đ 12x = 15y = 20z ⇒ 48 4 20; 16; 12 5 4 3 12 12 x y z x y z x y z + + = = = = = ⇒ = = = 0,5đ 3a/ 0,75đ Vì a ∈ Z + ⇒ 4 a ≡ 1 (mod 3) ⇒ 4 a + 2 ≡ 0 (mod 3) Mà 4 a + 2 ≡ 0 (mod 2) ⇒ 4 a + 2 M 6 Khi đó ta có 4 a + a + b = 4 a + 2 + a + 1 + b + 2007 – 2010 M 6 Vậy với a, b ∈ Z + sao cho a + 1 và b + 2007 M 6 thì 4 a + a + b M 6 0,25đ 0,25đ 0,25đ 3b/ 0,75đ Từ 6x 2 + 5y 2 = 74 ⇒ 6x 2 ≤ 74 ⇒ x 2 ≤ 74/6 mà x ∈ Z ⇒ x∈{0; 1; 4; 9} Mặt khác ta có x 2 + 1 = 75 – 5x 2 – 5y 2 M 5 ⇒ x 2 = 4 hoặc x 2 = 9 Nếu x 2 = 4 ⇒ y 2 = 10 (loại vì y ∈ Z) Nếu x 2 = 9 ⇒ y 2 = 4 ⇒ (x, y) ∈ {(3, 2); (3; -2); (-3; 2); (-3; -2)} 0,25đ 0,25đ 0,25đ 4a/ 1,0đ a c a c c a b d b d d b + − = = = + − ⇒ . . a c a c a c b d b d b d + − = + − ⇒ 2 2 2 2 ( ). ( ). ( ). ( ). a c a c a c a ac c ac b d b d b d b bd d bd + − + − = ⇒ = + − + − ⇒ đpcm 0,5đ 0,5đ 4b/ 1,0đ Ta có ; x x x y y y x y z t x y z x y x y z t x y t x y < < < < + + + + + + + + + + + + ; z z z t t t x y z t y z t z t x y z t x z t z t < < < < + + + + + + + + + + + + ⇒ x y z t x y z t M x y z t x y x y z t z t   + + +   < < + + +  ÷  ÷ + + + + + + +     Hay 1 < M < 2. Vậy M có giá trị không phải là số tự nhiên 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 5a/ 1,0đ CM được ∆ABE = ∆ADC (c.g.c) ⇒ DC = BE CM được DC ⊥ BE 0,5đ 0,5đ 5b/ 1,0đ Viết được CE 2 = ME 2 + MC 2 ; DB 2 = MD 2 + MB 2 ; DE 2 = MD 2 + ME 2 ; BC 2 = MB 2 + MC 2 ⇒ BD 2 + CE 2 = MD 2 + MB 2 + ME 2 + MC 2 ; BC 2 + DE 2 = MD 2 + MB 2 + ME 2 + MC 2 ⇒ BD 2 + CE 2 = BC 2 + DE 2 0,5đ 0,25đ 0,25đ 5c/ 1,0đ Trên tia AK lấy điểm P sao cho AP = DE CM được ∆ADE = ∆CPA ⇒ CP = AD ⇒ CP = AB CM được µ · P BAK< ; · · ABK PCK= ⇒ ∆CPK = ∆BAK (g.c.g) ⇒ BK = KC ⇒ đpcm 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 5/ Hình vẽ: 6/ Hình vẽ M P K E D C B A A 60 0 C H B 6/ 0,5đ Kẻ BH ⊥ AC Vì · 0 60BAC = ⇒ · 0 30 2 AB ABH AH= ⇒ = (1) Áp dụng định lý Pitago ta có: AB 2 =AH 2 +BH 2 và BC 2 = BH 2 + HC 2 ⇒ BC 2 = AB 2 – AH 2 + HC 2 ⇒ BC 2 = AB 2 – AH 2 + (AC – AH) 2 ⇒ BC 2 = AB 2 – AH 2 + AC 2 – 2AC.AH + AH 2 ⇒ BC 2 = AB 2 + AC 2 – 2AC.AH (2) Từ (1) & (2) ⇒ đpcm 0,25đ 0,25đ PHÒNG GD & ĐT DUY XUYÊN ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2010 - 2011 ĐỀ CHÍNH THỨC MÔN: TOÁN 7 Thời gian làm bài: 120 phút Câu 1: (2đ) Thực hiện phép tính sau một cách hợp lí: 1/ A = 1 1 1 3 3 3 3 5 3 7 13 4 16 64 256 . 2 2 2 1 1 1 8 1 3 7 13 4 16 64 − − − − − + − − − − − 2/ B = 22 21 15 14 10 16 15 2.5 9.5 5.(3.7 19.7 ) : 25 7 3.7 − − + Câu 2: (3đ) a/ Tính giá trị của biểu thức M = (2x – 1)(2y – 1) biết x + y = 10 và xy = 16 b/ Tìm x, y để biểu thức N = (x + 2) 2010 + 1 5 y − - 10 đạt giá trị nhỏ nhất. c/ Cho đa thức f(x) = ax 2 + bx + c, xác định a, b, c biết f(-2) = 0; f(2) = 0 và a là số lớn hơn c ba đơn vị Câu 3: (1,5đ) Cho 4 số nguyên dương a, b, c, d trong đó b là trung bình cộng của a và c đồng thời 1 1 1 1 2c b d   = +  ÷   . Chứng minh a c b d = Câu 4: (2,5đ) Cho ∆ABC (AB < AC), qua trung điểm D của cạnh BC vẽ đường thẳng vuông góc với đường phân giác trong của góc A, nó cắt các đường thẳng AB, AC lần lượt tại M và N. Qua B vẽ đường thẳng Bx song song với AC, Bx cắt MN tại E. a/ Chứng minh ∆AMN và ∆BME là những tam giác cân. b/ Chứng minh BM = CN c/ Tính AM và BM theo b và c biết AC = b và AB = c. Câu 5: (1,0đ) Cho một điểm M bất kì trong hình chữ nhật ABCD. Chứng minh: MA 2 + MC 2 = MB 2 + MD 2 *=*=*=*=*= Hết =*=*=*=*=* ĐÁP ÁN & BIỂU ĐIỂM 1a/ 1,5đ A = 3 1 1 1 1 1 1 1 5 4 4 16 64 3 7 13 . 1 1 1 1 1 1 8 1 2 4 16 64 3 7 13   − − − − −  ÷   +   − − − − −  ÷   1 3 5 . 1 2 4 8 = + = 0,5đ 0,5đ 1b/ 1,5đ B = ( ) ( ) ( ) ( ) 21 14 10 15 2 5 2.5 9 5.7 3.7 19 : 7 7 3 5 − − + = 1 5: 35 7 = 0,5đ 0,5đ 2a/ 1,0đ M = (2x – 1)(2y – 1) = 4xy – 2x – 2y + 1 = 4xy – 2(x + y) + 1 M = 45 0,25đ 0,25đ 0,5đ 2b/ 1,0đ Lí luận (x + 2) 2010 ≥ 0; 1 0 5 y − ≥ ⇒ N ≥ -10. GTNN của N là -10 Tìm được x = -2; y = 1/5 0,25đ 0,25đ 0,5đ 2c/ 1,0đ Ta có f(-2) = 0 ⇒ 4a – 2b + c = 0 f(2) = 0 ⇒ 4a + 2b + c = 0 và a – c = 3 4b = 0 ⇒ b = 0 Từ 8a + 2c = 0 và a – c = 3 ⇒ a = 3/5 ; c = -12/5 0,25đ 0,25đ 0,5đ 3/ 1,5đ Vì b là trung bình cộng của a và c ⇒ b = (a + c)/2 ⇒ 2b = a + c Từ 1 1 1 1 1 1 . 2 ( ) 2 2 b d bd c b d c b d c bd +   = + ⇒ = ⇒ = +  ÷   Thay 2b = a + c, ta có (a + c)d = c(b + d) 0,25đ 0,5đ 0,25đ 0,5đ ⇒ ad = bc ⇒ a c b d = 4/ 2,5đ ∆AMN cân (đ/c vừa là p/g) BE // AC ⇒ · · BEM ANM= · · BME ANM= (∆AMN cân tại A) ⇒ · · BEM BME= ⇒ ∆BME cân tại B 0,25đ 0,5đ 4b/ 0,75đ ∆BED = ∆CND (g.c.g) ⇒ BE = NC ⇒ BM = NC (= BE) 0,5đ 0,25đ 4c/ 1,0đ Ta có AB + BM = AM = AN = AC – NC ⇒ AB + BM = AC – BM ⇒ 2BM = AC – AB ⇒ BM = (b – c):2 AM = AB + BM ⇒ AM = (b + c):2 0,5đ 0,5đ 5/ 1,0đ Qua M kẻ HK // BC (H ∈ AB; K ∈ CD) MA 2 = MH 2 + HA 2 MC 2 = MK 2 + KC 2 ⇒ MA 2 + MC 2 = MH 2 + HA 2 + MK 2 + KC 2 MB 2 = MH 2 + HB 2 MD 2 = MK 2 + DK 2 ⇒ MB 2 + MD 2 = MH 2 + HB 2 + MK 2 + DK 2 Ta có AH = DK; HB = KC ⇒ MA 2 + MC 2 = MB 2 + MD 2 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ N M D E C B A K H M D C B A . XUYÊN ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2010 - 2011 ĐỀ CHÍNH THỨC MÔN: TOÁN 7 Thời gian làm bài: 120 phút Câu 1: (2đ) Thực hiện phép tính sau một cách hợp lí: 1/ A = 1 1 1 3 3 3 3 5 3 7 13. ngoài tam giác đều BCD. Chứng minh: AD 2 = AB 2 + AC 2 *=*=*=*=*= Hết =*=*=*=*=* PHÒNG GD & ĐT DUY XUYÊN ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2008 - 2009 ĐỀ CHÍNH THỨC MÔN: TOÁN 7 Thời gian. .7 25 .49 2 .3 2 .3 5 .7 5 .7 (2 .3) 8 .3 (125 .7) 5 .14 2 .3 2 .3 5 .7 5 .2 .7 − − − − − = − + + + + 12 4 10 3 12 4 10 3 12 5 9 3 3 12 5 9 3 2 .3 .(3 1) 5 .7 .(1 7) 2 .3 .2 5 .7 .( 6) 1 10 7 2