TRƯỜNG THPT CHUYÊN THÁI NGUYÊN ĐỀ THI HỌC KÌ I NĂM HỌC 2012 - 2013 TỔ TOÁN TOÁN CHUYÊN 10 Thời gian làm bài: 90 phút Câu 1 (3 điểm). Tìm hàm số :f →¡ ¡ thỏa mãn: ( ) ( ) ( ) 1 1f x xf x x x+ − = + ∀ ∈¡ . Câu 2 (2 điểm). Cho ba số dương a, b, c thoả mãn 1a b c+ + = . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 1 1 1 a b c T a b c = + + − − − . Câu 3 (1 điểm). Cho tam giác ABC với AB c= , BC a= , CA b= và I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác. Chứng minh rằng 0aIA bIB cIC+ + = uur uur uur r . Câu 4 (3 điểm). Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC với ( ) 2;4A , ( ) 2;1B và ( ) 6;1C . a) Chứng minh rằng tam giác AB C là tam giác vuông. b) Tính độ dài phân giác trong của góc A. c) Tìm tọa độ tâm I của đường tròn nội tiếp tam giác ABC. Học sinh chỉ được làm một trong hai câu sau: Câu 5a (1 điểm). Có 10 đội bóng thi đấu với nhau, mỗi đội phải đấu một trận với các đội khác. Chứng minh rằng vào bất cứ lúc nào cũng có hai đội đã đấu số trận như nhau. Câu 5b (1 điểm). Giả sử rằng n là một số lẻ. Đầu tiên ta viết các số từ 1 tới 2n trên một bảng đen. Sau đó ta chọn ra hai số a, b bất kì xoá chúng và thay thế chúng bởi a b− . Ta cứ làm liên tục như thế đến khi trên bảng còn lại một số. Chứng minh rằng số còn lại cuối cùng là một số lẻ. Hết TRƯỜNG THPT CHUYÊN THÁI NGUYÊN ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC KÌ I NĂM HỌC 2012 - 2013 TỔ TOÁN TOÁN CHUYÊN 10 Thời gian làm bài: 90 phút Câu 1. Đặt t x= − , ta được: ( ) ( ) 1f t tf t t t− − = − + ∀ ∈¡ . Ta có hệ: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 f x xf x x f x xf x f x x + − = + ⇒ =  − + − = − +  . Thử lại hàm số cần tìm là: ( ) 1f x = . Câu 2. 1 (1 ) 1 (1 ) 1 (1 ) 1 1 1 a b c T a b c − − − − − − = + + − − − = ( ) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 a b c a b c   + + − − + − + −  ÷ − − −   . Ta có 1 1 1 9 1 1 1 1 1 1a b c a b c + + ≥ − − − − + − + − ; 0 1 1 1 6a b c< − + − + − ≤ . ⇒ 9 6 6 2 6 T ≥ − = . Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi 1 3 a b c= = = . Vậy 6 min 2 T = . Câu 3. Sử dụng tính chất đường phân giác trong tam giác. Câu 4. a) Tam giác vuông tại B. b) Phân giác 3 5 2 AD = . c) ( ) 3;2I . Câu 5a. Rõ ràng nếu trong 10 đội bóng có 1 đội chưa đấu một trận nào thì trong các đội còn lại không có đội nào đã thi đấu 9 trận như vậy 10 đội chỉ có số trận đấu hoặc từ 0 đến 8 hoặc từ 1 đến 9. Vậy theo nguyên lý Đirichlê phải có ít nhất 2 đội có số trận đấu như nhau. Câu 5b. Gọi S là tổng của tất cả các số trên bảng. Lúc đầu ta có S=1+2+3+…+2n=n(2n+1) là một số lẻ vì n là một số lẻ. Ta cần tìm đại lượng bất biến. Nhận thấy rằng sau mỗi lần thực hiện thuật toán như trong đầu bài đã nói thì S sẽ bị mất đi một đại lượng có giá trị bằng 2min{ , }a b . Vì thế tính chẵn lẻ của S được giữ nguyên sau mỗi lần thực hiện thuật toán. Trong trường hợp của chúng ta thì S luôn là một số lẻ và vì thế khi trên bảng còn lại một số thì số đó là số lẻ. . một số. Chứng minh rằng số còn l i cu i cùng là một số lẻ. Hết TRƯỜNG THPT CHUYÊN TH I NGUYÊN ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC KÌ I NĂM HỌC 2012 - 2013 TỔ TOÁN TOÁN CHUYÊN 10 Th i gian làm b i: 90 phút Câu. TRƯỜNG THPT CHUYÊN TH I NGUYÊN ĐỀ THI HỌC KÌ I NĂM HỌC 2012 - 2013 TỔ TOÁN TOÁN CHUYÊN 10 Th i gian làm b i: 90 phút Câu 1 (3 i m). Tìm hàm số :f →¡ ¡ thỏa mãn: (. (1 i m). Có 10 đ i bóng thi đấu v i nhau, m i đ i ph i đấu một trận v i các đ i khác. Chứng minh rằng vào bất cứ lúc nào cũng có hai đ i đã đấu số trận như nhau. Câu 5b (1 i m). Giả sử rằng n