PHÒNG GD&ĐT TAM ĐẢO ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2014-2015 MÔN: TOÁN 8 Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian giao đề) Câu 1( 2,0 điểm): Cho biểu thức: M= 3 6 2 6 5 2 9 6 3 6 2 4 6 24 3 3 1 . : : 2 9 3 6 9 x x x x x x x x x x       − − − +    ÷  ÷ − + + +       a) Rút gọn M. b) Tìm các giá trị nguyên của x để M đạt giá trị lớn nhất. Tìm giá trị lớn nhất đó. Câu 2( 2,0 điểm): Giải các phương trình và bất phương trình sau: a) 1 2 3 1 2015 2014 1006 2013 2012 1007 x x x x− − + + = + + b) 2 2 3 4 1 2 5 1 1 1 y y y y y − + ≤ − + + − Câu 3( 2,5 điểm): a) Cho ba số , ,x y z khác không thỏa mãn: 2015 1 1 1 1 2015 x y z x y z + + =    + + =   Chứng minh rằng trong ba số , ,x y z tồn tại hai số đối nhau. b) Cho ba số dương , ,a b c . Chứng minh rằng: 2 2 2 2 a b c a b c b c c a a b + + + + ≥ + + + Câu 4( 2,5 điểm): Cho hình vuông ABCD có AC cắt BD tại O. M là điểm bất kỳ thuộc cạnh BC (M khác B, C). Tia AM cắt đường thẳng CD tại N. Trên cạnh AB lấy điểm E sao cho BE = CM. a) Chứng minh: ∆OEM vuông cân. b) Chứng minh: ME // BN. c) Từ C kẻ CH ⊥ BN ( H ∈ BN). Chứng minh ba điểm O, M, H thẳng hàng. Câu 5( 1 điểm): Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 2 2 5 2 4 2 4 2015x y xy x y + + − + + . Hết HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2014 - 2015 Môn: Toán - Lớp 8 Câu Ý Nội dung Điểm 1 (2,0 điểm) a ĐKXĐ: 3 3 0; 3; 2.x x x≠ ≠ ± ≠ 3 6 2 6 5 2 9 6 3 3 2 3 3 3 2 2 2 3 3 6 3 3 2 3 2 3 3 3 2 3 6 2 4 6 24 3 3 1 . : : 2 9 3 6 9 6 ( ) 4 2( 3) 4 3( 2) 1 . : : 2 ( ) 3 ( 3) ( 6 9) 6 ( ) 4 2 4 2 1 . : . 3 ( 3) ( 3) 3( x x x M x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x       − − = − +    ÷  ÷ − + + +           −     − +     = +  ÷  ÷ − + + +           −     = +  ÷ + + +   3 2 3 2 3 3 2 3 3 3 2) 5 4 .( 3) 5 . . 3 ( 3) 4( 2) 2 x x x x x x x x x     +     + + + = = + + − − 0,25 0,25 0,25 0,25 b Ta có: 3 3 3 5 7 1 2 2 x M x x + = = + − − M có giá trị lớn nhất khi 3 2x − có giá trị nhỏ nhất mà x Z∈ nên 3 2x − phải có giá trị nguyên dương nhỏ nhất ⇒ 3 2x − =6 2 x⇒ = Vậy 2x = thì M có giá trị lớn nhất và bằng 13 6 0,25 0, 5 0,25 2 (2,0 điểm) a 1 2 3 1 2015 2014 1006 2013 2012 1007 1 2 2 2 3 4 4 1 2015 2014 2014 1006 2013 2012 2012 1007 1 2 1 4 3 4 4 1 2015 2014 1007 2012 2013 2012 2012 1007 1 2 3 4 1 1 1 1 2015 2014 2013 2012 2016 20 x x x x x x x x x x x x x x x x x − − + + = + + − − − − ⇔ + + + = + + + − − − − ⇔ + + + = + + + − − − − ⇔ − + − = − + − − ⇔ 2016 2016 2016 15 2014 2013 2012 1 1 1 1 ( 2016)( ) 0 2016 2015 2014 2013 2012 x x x x x − − − + = + ⇔ − + − − = ⇔ = 0,25 0,25 0,25 0,25 b ĐK: y 1≠ 2 2 2 2 3 2 3 2 3 3 2 2 4 1 2 5 4(1 ) 1 2 5 0 1 1 1 (1 )(1 ) 1 3 3 3 ( 1) 3 ( 1) 0 0 0 1 1 (1 )(1 ) 3 0 3 0 0 1 y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y − − + + + − + ≤ ⇔ + ≤ − + + − + + − − − − − ⇔ ≤ ⇔ ≤ ⇔ ≤ − − − + + − ⇔ ≤ ⇔ − ≤ ⇔ ≥ + + Vậy nghiệm của bất phương trình đã cho là 0 1 y y ≥   ≠  0,25 0,25 0,25 0,25 3 (2,5 điểm) a 2 2 2 1 1 1 ( )( ) 1 ( )( ) 0 ( ) ( )( ) ( ) 0 ( ) ( ) ( ) 0 ( )( ) 0 0 ( ( )( ) 0 0 0 x y z x y z x y z xy yz zx xyz x xy xz xyz y z xy xz yz y z xyz x y z x y z yz y z y z x xy xz yz x y x y x y y z z x y z y z z x z x + + + + = ⇔ + + + + − = ⇔ + + + + + + + − = ⇔ + + + + + = ⇔ + + + + = + = = −     ⇔ + + + = ⇔ + = ⇔ = −     + = = −   Vậy trong ba số , ,x y z tồn tại hai số đối nhau 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 b Ta có: 2 2 2 2 ( ) , , a b c a b c x y z x y z x y z + + + + ≥ ∀ + + >0 (1) Thật vậy, áp dụng BĐT Bunhiacopxki ta có: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) . . . ( ) a b c x y z x y z a b c x y z x y z a b c x y z a b c x y z + + + +     = + + + +           ≥ + + = + +       2 2 2 2 ( ) , , a b c a b c x y z x y z x y z + + ⇒ + + ≥ ∀ + + >0. Áp dụng BĐT (1) ta có: 2 2 2 2 ( ) , , 0 2( ) 2 a b c a b c a b c a b c b c c a a b a b c + + + + + + ≥ = ∀ > + + + + + ⇒ ĐPCM. Dấu “=” xảy ra ⇔ a=b=c 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 4 (2,5 điểm) a M N C H D O E B A Xét ∆OEB và ∆OMC Vì ABCD là hình vuông nên ta có OB = OC 0,25 Và · · 0 45EBO MCO = = BE = CM ( gt ) Suy ra ∆OEB = ∆OMC ( c .g.c) ⇒ OE = OM và · · EOB MOC= Lại có ¶ ¶ 2 3 O O + = · 0 90BOC = vì tứ giác ABCD là hình vuông · · · · · · 0 90EOM EOB MOB MOC MOB COB= + = + = = kết hợp với OE = OM ⇒ ∆OEM vuông cân tại O 0,25 0,25 b Từ (gt) tứ giác ABCD là hình vuông ⇒ AB = CD và AB // CD + AB // CD ⇒ AB // CN ⇒ AM BM MN MC = ( Theo ĐL Ta- lét) (*) Mà BE = CM (gt) và AB = CD ⇒ AE = BM thay vào (*) Ta có : AM AE MN EB = ⇒ ME // BN ( theo ĐL đảo của ĐL Ta-lét) 0,25 0,25 0,25 c Gọi H’ là giao điểm của OM và BN Từ ME // BN · · 'OME MH B⇒ = ( cặp góc đồng vị) Mà · 0 45OME = vì ∆OEM vuông cân tại O · · 0 ' 45MH B MCO⇒ = = ⇒ ∆OMC : ∆BMH’ (g.g) ' OM MC MB MH ⇒ = ,kết hợp · · 'OMB CMH= ( hai góc đối đỉnh) ⇒ ∆OMB : ∆CMH’ (c.g.c) · · 0 ' 45OBM MH C⇒ = = Vậy · · · 0 ' ' ' 90BH C BH M MH C= + = 'CH BN ⇒ ⊥ Mà CH ⊥ BN ( H ∈ BN) ⇒ H ≡ H’ hay 3 điểm O, M, H thẳng hàng 0,5 0,5 5 (1,0 điểm) Ta có: 2 2 5 2 4 2 4 2015x y xy x y+ + − + + 2 2 2 2 2 2 2 4 4 4 4 2 1 2010 (2 ) ( 2) ( 1) 2010 2010 , , x xy y y y x x x y y x x y z + + + + + + − + + = + + + + − + ≥ ∀ Vậy Min(A)=2010 ⇔ 1 2 x y =   =−  0,25 0,5 0,25 Tổng điểm 10,0 HÕt . PHÒNG GD&ĐT TAM ĐẢO ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2014-2015 MÔN: TOÁN 8 Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian giao đề) Câu 1( 2,0 điểm): Cho biểu. thức: 2 2 5 2 4 2 4 2015x y xy x y + + − + + . Hết HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2014 - 2015 Môn: Toán - Lớp 8 Câu Ý Nội dung Điểm 1 (2,0 điểm) a ĐKXĐ: 3 3 0; 3;. (*) Mà BE = CM (gt) và AB = CD ⇒ AE = BM thay vào (*) Ta có : AM AE MN EB = ⇒ ME // BN ( theo ĐL đảo của ĐL Ta-lét) 0,25 0,25 0,25 c Gọi H’ là giao điểm của OM và BN Từ ME // BN · · 'OME