ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÀN 8 NĂM HỌC 2014-2015 Bài 1: (6điểm) a. Giải phương trình 10 19 199 21 186 23 169 25 148 = − + − + − + − xxxx b. Tìm các số nguyên a và b sao cho đa thức A(x) = x 4 + ax 2 + b Chia hết cho đa thức B(x) = x 2 + x +1 Bài 2 (4 điểm) Cho a, b, c >0 thỏa mãn điều kiện a + b + c =1 CMR: 4 1 111 ≤ + + + + + b ac a bc c ab Bài 3 (4 điểm) a. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P biết P = (x-1)(x+2)(x+3)(x+6) b. Giải bất phương trình 1 1 23 ≥ + − x x Bài 4: (6 điểm) Cho hình bình hành ABCD (AC > BD) gọi E, F lần lượt là hình chiếu của điểm B, D lên AC. A, K lần lượt là hình chiếu của C trên AB và AD. a. Tứ giác DFBE là hình gì? Vì sao? b. Chứng minh ∆ CHK đồng dạng ∆ BCA c. Chứng minh AC 2 = AB.AH + AD.AK ĐÁP ÁN Bài 1 a(3đ) b.(3đ) Giải phương trình: 10 19 199 21 186 23 169 25 148 = − + − + − + − xxxx  04 19 199 3 21 186 2 23 169 1 25 148 =       − − +       − − +       − − +       − − xxxx  0 19 123 21 123 23 123 25 123 = − + − + − + − xxxx  0 19 1 21 1 23 1 25 1 )123( =       +++− x Vì 0 19 1 21 1 23 1 25 1 ≠       +++  123-x=0  x=123 Vậy tập hợp nghiệm của phương trình là S = {123} Thực hiện được phép chia 2 đa thức đúng kết quả A(x) : B(x) = (1-a)x + b –a - Lý luận (1-a)x + b –a = 0     =− =− 0 01 ab a - Tìm được a = b = 1 1đ 0.5đ 0.5đ 0.5đ 0.5đ 1.5đ 1đ 1đ Bài 2 (4đ) Áp dụng bài toán phụ ),( 411 > + ≥+ yx yxyx ->         +≤ + yxyx 11 4 11 Nên ta có       + + + ≤ +++ = + cbca ab cbca ab c ab 11 4)()(1 (vì a+b+c=1 (gt) (1)       + + + ≤ +++ = + caba bc caba bc a bc 11 4)()(1 (2)       + + + ≤ +++ = + cbba ac cbba ac b ac 11 4)()(1 (3) Kết hợp (1)(2) và (3)       + + + + + + + + ≤ + + + + + cb acab ba acbc ca bcab b ac a bc c ab 4 1 111 => )( 4 1 111 cba b ac a bc c ab ++≤ + + + + + Hay 4 1 111 ≤ + + + + + b ac a bc c ab (đpcm) 0.5đ 0.5đ 0.5đ 0.5đ 0.5đ 0.5đ Bài 3 a Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P biết b P = (x-1)(x+2)(x+3)(x+6) P=[(x-1)(x+6)][(x+2)(x+3)] P=(x 2 + 6x – x – 6)(x 2 +3x+2x+6) P=(x 2 + 5x – 6)(x 2 + 5x + 6)  P = (x 2 + 5x) 2 – 6 2 = (x 2 + 5x) 2 – 36 Vì (x 2 + 5x) 2 0 ≥ với x ∀ => (x 2 + 5x) 2 - 36 36 −≥ với x ∀ Hay P 36 −≥ với x ∀  Min P = -36  (x 2 + 5x) 2 =0  x 2 + 5x = 0  x(x+5) = 0     =+ = 05 0 x x     −= = 5 0 x x Giải bpt 1 1 23 ≥ + − x x đk: x ≠ -1  01 1 23 ≥+ + − x x  0 1 123 ≥ + ++− x xx  0 1 4 ≥ + − x x            <+ ≤−    >+ ≥− 01 04 01 04 x x x x         =<=>    −< ≥ ≤<−<=>    −> ≥ 0 1 4 41 1 4 x x x x x x Vậy nghiệm của bất phương trình là }{ 41/ ≤<− xx 0.25đ 0.25đ 0.25đ 0.25đ 0.5đ 0.5đ 0.5đ 0.25đ 0.25đ 0.5đ 0.5đ Bài 4: A H C B K D F E a b c DF//BE (vì cùng ⊥ với AC ∆ AFD = ∆ CEB (ch.gn) -> DF = BE  DFBE là hbh BC//AK -> BCK = 90 0 ABC = 90 0 + BCH (góc ngoài ∆ CHB) HCK = 90 0 + BCH  ABC = HCK Mà CDK = ACD + DAC (góc ngoài ∆ DKC) HBC = BAC + BCA (góc ngoài ∆ HBC Mặt ≠ BCA = DAC; BAC = DCA -> ∆ CKD đồng dạng ∆ CHB -> CH CK BC CD = Hay AB CK BC CH CH CK BC AB =>−= -> ∆ CHK đồng dạng ∆ BCA (c.g.c) ∆ AEB đồng dạng ∆ AHC -> ∆ AHC -> AHABACAE AH AE AC AB =>−= Vì ∆ AFD đồng dạng ∆ AKC -> AKADACAF AC AD AK AF =>−= Từ (1) và (2) => AE.AC + AF.AC = AB.AH + AD.AK  AC(AE+AF) = AB.AH + AD.AK  AC.AC = AB.AH + AD.AK (do AF = CE)  AB.AH + AD.AK = AC 2 vì ∆ AFD = ∆ CEB (cmt) . ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÀN 8 NĂM HỌC 2014-2015 Bài 1: (6điểm) a. Giải phương trình 10 19 199 21 186 23 169 25 1 48 = − + − + − + − xxxx b. Tìm các số nguyên. AD.AK ĐÁP ÁN Bài 1 a(3đ) b.(3đ) Giải phương trình: 10 19 199 21 186 23 169 25 1 48 = − + − + − + − xxxx  04 19 199 3 21 186 2 23 169 1 25 1 48 =       − − +       − − +       − − +       − −.    =− =− 0 01 ab a - Tìm được a = b = 1 1đ 0.5đ 0.5đ 0.5đ 0.5đ 1.5đ 1đ 1đ Bài 2 (4đ) Áp dụng bài toán phụ ),( 411 > + ≥+ yx yxyx ->         +≤ + yxyx 11 4 11 Nên ta có       + + + ≤ +++ = + cbca ab cbca ab c ab