SỞ GD&ĐT NGHỆ AN ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN THỨ HAI NĂM 2013 TRƯỜNG THPT PHAN ĐĂNG LƯU Môn: TOÁN ; Khối D . Thời gian làm bài 180 phút (không kể thời gian phát đề). I. Phần chung cho tất cả thí sinh: Câu I (2,0 điểm). Cho hàm số x 1 y x 1    (H) 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (H) của hàm số. 2. Lập phương trình đường thẳng (d) đi qua M ( , 1 1 2 2   ) và cắt (H) tại hai điểm A, B sao cho M là trung điểm AB. Câu II (2.0 điểm) 1. Giải hệ phương trình: x x y y x y - x 3 3 8 2 2 2 1            . 2. Giải phương trình sin2x 3cos2x 6 2sin x 1 0 4             . Câu III (1,0 điểm) Tính: 3 2 0 x 1 x x 1     I d Câu IV (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi ABCD cạnh a,  BAD 0 120 và SA  (ABCD), SA= a 3 . Tính thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa AD và SB. Câu V (1.0 điểm) Cho a,b,c > 0 và a + b + c = 3. Chứng minh rằng :       a b c b c a 2 2 2 3 1 1 1 2 II. Phần riêng: A. Theo chương trình chuẩn: Câu VIa(1,0 điểm) Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC có phương trình cạnh AB: x – 3y + 7 = 0, đường cao AH : x – 5y +11 = 0 và M (1,0) là trung điểm AC. Lập phương trình cạnh BC . Câu VIIa (1,0 điểm) Trong không gian Oxyz cho đường thẳng (d) x y z+1    1 2 1 2 và hai mặt phẳng (P 1 ): x + y - 2z + 5 = 0 , (P 2 ): 2x – y + z + 2 = 0. Viết phương trình mặt cầu tâm I thuộc (d) và tiếp xúc với cả hai mặt phẳng (P 1 ), (P 2 ). Câu VIIIa (1,0 điểm) Tìm số phức z thỏa mãn: z = 2 và z = 2 – z B. Theo chương trình nâng cao: Câu VIb (1,0 điểm) Trong mặt phẳng Oxy cho Elip (E) có phương trình : x y   2 2 1 9 5 . Gọi F 1 , F 2 là hai tiêu điểm của (E). Tìm điểm M  (E) sao cho MF 1 = 2MF 2 Câu VIIb(1,0 điểm) Trong không gian Oxyz cho mặt cầu (S): x 2 + y 2 + z 2 – 10x + 2y + 26x–113= 0 và hai đường thẳng (d 1 ) x+5 y z +13 1 2 3 2     và (d 2 ): x t y t z             7 3 1 2 8 . Hãy viết phương trình mặt phẳng (P) tiếp xúc mặt cầu (S) và song song với cả (d 1 ), (d 2 ). Câu VIIIb ( 1,0 điểm).Tìm số phức z thỏa mãn: z  5 và (z+i) 2 là số thuần ảo. ****************************** Hết ********************************* Họ và tên: ……………………………………. SBD: ………………………… www.MATHVN.com www.DeThiThuDaiHoc.com ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC MÔN TOÁN NĂM 2013 ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM CHẤM – MÔN TOÁN, KHỐI D - 2013 Câu Đáp án Điểm Câu 1 (2 điểm) 1. (1 điểm) +) Tập xác định: D = ¡ \{1} +) Sự biến thiên: -) Chiều biến thiên: 2 2 y' 0, x 1 (x 1)       => h/s nghịch biến trên (-  ; 1) và (1;+  ), -) Cực trị: Không có. -) Giới hạn: x 1 x 1 x limy 1,lim y ,lim y           Vậy tiệm cận ngang là y = 1, tiệm cận đứng là x = 1 -) Bảng biến thiên: x –  1 +  y’ – – y 1 +  –  1 +) Đồ thị: 2.(1 điểm): Gọi A( 0 x , 0 y )  (H), khi đó B (– 1– 0 x ,– 1– 0 y )  (H) nên ta có hệ phương trình 0 0 0 0 0 0 x 1 y x 1 1 x 1 1 y 1 x 1                    0 0 x 0 x 1        0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.5 www.MATHVN.com www.DeThiThuDaiHoc.com Với 0 x = 0 thì 0 y = – 1 nên A(– 1, 0) và B(0, – 1) Với 0 x = – 1 thì 0 y = 0 nên A(0, – 1) và B(– 1, 0) 0.25 Câu 2 (2 điểm) 1. (1 điểm). Đk : y x 0   Từ phương trình thứ nhất suy ra ( ) 3 3 2x 2x y y    (*) Xét h/s đặc trưng f(t) = 3 t t  . Do 2 f' 3t 1 0, t.     Nên h/s đồng biến trên [ 0, )  . Từ (*) suy ra y = 2x, thế vào phương trình thứ hai ta được : 2x y x 2 1 2x x 2 1 x 1           và y = 2 Vậy hệ phương trình có một nghiệm là (1, 2) 2. (1 điểm). Pt  Sin2x + Cos2x = 3Sinx + Cosx + 2  os os 2 2SinxCosx 6C x 6Sinx 6C x 2 0       (Sĩn – Cosx )( Sinx + 2Cosx – 3) = 0  osx - 3 = 0(**) Sinx Cosx(*) Sinx 2C      Ta có (**) vô nghiệm. Giải (*) ta được nghiệm x k ,k 4       0.25 0.25 0.5 0.25 0.25 0.5 Câu 3 (1 điểm) Đặt t = x + 1 => dt = dx, khi x = 0 => t = 1, x = 3 => t = 4 => 3 4 4 2 2 2 0 1 1 x 1 (t 1) t 2t 2 I d(x) dt dt x 1 t t            = 5 3 1 2 2 2 4 2 4 106 ( t t 4t ) 5 3 15 1    0.25 0.5 0.25 Câu 4 (1 điểm) +) Do · BAD 0 120 nên ABC V đều cạnh a S suy ra dt(ABCD) = 2. ABC S = 2 a 3 2  S.ABCD V = 1 3 .SA.dt(ABCD) A H D = 1 3 a 3 . 2 3 a 3 a 2 2  (đvtt). B I C 0.25 0.25 www.MATHVN.com www.DeThiThuDaiHoc.com +) Ta có d(AD,SB) = d(AD, (SBC))=d(A,(SBC)) Gọi I là trung điểm BC suy ra AI  BC Do BC  SA, BC  AI  BC  (SAI) Từ A hạ AH  SI  AH  (SBC)  d(A, (SBC)) = AH Do  SAI vuông tại A nên AH = 2 2 SA.AI 15 a 5 SA AI   Vậy k/c(AD,SB) = a 15 5 0.25 0.25 Câu 5 (1 điểm) Do a, b, c > 0, a + b + c = 3 nên 2 2 2 a b c 1 b 1 c 1 a       = 2 2 2 a b 1 b c 1 c a 1 3 1 b 4 1 c 4 1 a 4 2             3 3 (a b c) 2 2      . Vậy P 3 2  . Dấu bằng xảy ra khi a = b = c = 1 0.5 0.5 CT Chuẩn (3 điểm) VIa. (1 điểm). Tọa độ A là nghiệm hệ pt x 3y 7 0 x 5y 11 0           A(-1;2). Do M(1;0) là trung điểm AC suy ra C(3;-2) Do AH AH n (1; 5) u (5;1)     r r .Vì BC  AH nên BC có BC n (5;1)  r Vậy pt đường BC là: 5(x - 3) + ( y + 2 ) = 0  5x + y – 13 = 0 VIIa. (1 điểm) Gọi I(a, b, c) là tâm mặt cầu cần tìm, do I  d nên a 2b 2 0 a b 1 c 1 2 1 2 a c 1 0               (1) Vì mặt cầu (S) tiếp xúc với ( 1 P ), ( 2 P ) nên k/c(I ,( 1 P )) = k/c (I,( 2 P ))=R a b 2c 5 2a b c 2 a 2b 3c 3 3a c 7 6 6                   (2) Kết hợp (1) và (2) ta được 8 7 5 20 a ,b ,c R 3 3 3 3 6 10 a 4,b 1,c 5 R 6                    Vậy có 2 mặt cầu thỏa mãn điều kiện bài toán là: 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 www.MATHVN.com www.DeThiThuDaiHoc.com 2 2 2 8 7 5 200 (x ) (y ) (z ) 3 3 3 27       và 2 2 2 50 (x 4) (y 1) (z 5) 3       VIIIa. (1 điểm). Gọi z = a +bi  2 2 a b 2 a 1,b 1 2a 2             Vậy z = 1 + i hoặc z = 1 – i 0.25 0.5 0.5 CT Nâng cao (3 điểm) VIb (1 điểm). Cho pt (E) : 2 2 x y 1 9 5    2 c 4   1 2 F ( 2;0),F (2;0)  Khi đó 1 2 2 2 MF 3 x,MF 3 x 3 3      1 2 2 2 3 15 MF 2MF (3 x) 2(3 x) x ,y 3 3 2 2           Vậy 3 15 M( , ) 2 2  hoặc 3 15 M( , ) 2 2   VIIb(1 điểm). Véc tơ chỉ phương của ( 1 d ) là u (2; 3;2)   r , của ( 2 d ) là v (3; 2;0)   r . Mặt cầu (S) có tâm I (5; –1; –13) và R = 308 . Mặt phẳng (P) cần tìm có véc tơ pháp tuyến là n u,v (4;6;5)       r ur r Vậy (P) có phương trình : 4x + 6y + 5z + D = 0 Để (P) tiếp xúc với (S) thì điều kiện là : d(I,(P)) = 20 6 65 D 308 308 16 36 25        D 103 D 205        Vậy có 2 mặt phẳng (P) cần tìm là : 4x + 6y + 5z – 103 = 0 và 4x + 6y + 5z + 205 = 0 VIIIb (1 điểm). Gọi z = a + bi  2 2 2 2 a b 5 a (b 1) 0            2 2 2 b b 2 0 a (b 1)           Với b = 1  a =  2  z = 2 + i hoặc z = –2 + i Với b = –2  a =   z = 1 – 2i hoặc z = –1 –2i 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.5 0.5 Lưu ý : Đáp án chỉ trình bày một cách giải. nếu thí sinh giải cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa. www.MATHVN.com www.DeThiThuDaiHoc.com . SỞ GD&ĐT NGHỆ AN ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN THỨ HAI NĂM 2013 TRƯỜNG THPT PHAN ĐĂNG LƯU Môn: TOÁN ; Khối D . Thời gian làm bài 180 phút (không kể thời gian phát đề) . I. Phần. Họ và tên: ……………………………………. SBD: ………………………… www.MATHVN.com www.DeThiThuDaiHoc.com ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC MÔN TOÁN NĂM 2013 ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM CHẤM – MÔN TOÁN, KHỐI D - 2013 Câu Đáp án Điểm Câu 1. www.MATHVN.com www.DeThiThuDaiHoc.com +) Ta có d( AD,SB) = d( AD, (SBC)) =d( A,(SBC)) Gọi I là trung điểm BC suy ra AI  BC Do BC  SA, BC  AI  BC  (SAI) Từ A hạ AH  SI  AH  (SBC)  d( A, (SBC))