Đề thi học sinh giỏi huyện Môn: Toán Thời gian làm bài: 120 phút (không kể giao đề) Đề 1.1 A/ Phần đề chung Câu (1,5điểm): a (0,75đ) TÝnh tæng B = 1+5+52+53+… +52008+52009  1   1  + + 1 :  − − 1 25   625   25 b (0,75đ) Thực phép tính Câu (2điểm): 2x + y − 2x + 3y − = = 6x x +1 x +1 x +1 x +1 x +1 + + = + b (1đ) Tìm x biết 10 11 12 13 14 a (1đ) Tìm x, y biết : Câu (1,5điểm): Vẽ đồ thị hàm số: y = - x Câu (3điểm): a (1,5đ) Hiện anh em tuổi Tuổi anh cách năm tuổi em sau năm tỉ lƯ víi vµ Hái hiƯn anh tuổi? Em tuổi? b (1,5đ) Cho ABC (gãc A=900) KỴ AH ⊥ BC, kỴ HP ⊥ AB kéo dài để có PE = PH Kẻ HQ AC kéo dài để có QF = QH a./ Chøng minh ∆ APE = ∆ APH vµ ∆ AQH = ∆ AQF b./ Chøng minh ®iĨm E, A, F thẳng hàng B/ Phần đề riêng Câu A (2điểm): (Dành cho học sinh chuyên toán) a (1,5đ) TÝnh tæng S = + + + 14 + …+ 3n−1 + (víi n ∈ Z+) b (0,5®) Cho ®a thøc f(x) = x4 + 2x3 – 2x2 – 6x + Trong c¸c sè sau: 1, -1, 5, -5 sè nµo lµ nghiƯm cđa đa thức f(x) Câu B (2điểm): (Dành cho học sinh không chuyên toán) a (1,5đ) Tìm x Z để A có giá trị nguyên A= 5x x−2 b (0,5®) Chøng minh r»ng: 76 + 75 – 74 chia hÕt cho 55 §Ị thi häc sinh giỏi huyện Môn: Toán Thời gian làm bài: 120 phút (không kể giao đề) Đề 1.2 A/ Phần đề chung Câu (1,5điểm) a (1đ) Tính tổng: M = - 4 4 − − −− 1.5 5.9 9.13 ( n + 4) n b (0,5đ) Tìm x biÕt: -4x(x – 5) – 2x(8 – 2x) = -3 Câu (1,5điểm) a (1đ) Tìm x, y, z biết: x3 y z3 vµ x2 + y2 + z2 = 14 = = 64 216 b (0,5®) Cho x1 + x2 + x3 + …+ x50 + x51 = vµ x1 + x2 = x3 + x4 = x5 + x6 = … = x49 + x50 = tính x50 Câu (2điểm) a (1đ) Trên mặt phẳng toạ độ, cho điểm M(-3;2) N(3;-2) HÃy giải thích gốc toạ độ O hai điểm M, N điểm thẳng hàng? x2   2 b (1®) Cho ®a thøc: Q(x) = x  − x + x  −  − x + x   2      a./ Tìm bậc đa thức Q(x) 2 b./ TÝnh Q  −  c./ Chøng minh Q(x) nhận giá trị nguyên với số nguyên x Câu (3điểm) a (1đ) Ba tổ công nhân A, B, C ph¶i s¶n xuÊt cïng mét sè s¶n phÈm nh Thêi gian tỉ hoµn thµnh kÕ hoạch theo thứ tự 14 ngày, 15 ngày 21 ngày Tổ A nhiều tổ C 10 ngời Hỏi tổ có công nhân? (Năng suất lao động công nhân nh nhau) b (2đ) Cho hình vuông ABCD Trên nửa mặt phẳng chứa điểm B bờ đờng thẳng AD vẽ tia AM (M ∈ CD) cho gãc MAD = 20 Cũng nửa mặt phẳng vẽ tia AN (N ∈ BC) cho gãc NAD = 650 Tõ B kẻ BH AN (H AN) tia ®èi cđa tia HB lÊy ®iĨm P cho HB = HP chøng minh: a./ Ba ®iĨm N, P, M thẳng hàng b./ Tính góc AMN B/ Phần đề riêng Câu A (2điểm) Dành cho học sinh chuyên a (1đ) Chứng minh rằng: 222333 + 333222 chia hết cho 13 b (1đ) Tìm số d phép chia 109345 cho Câu B (2điểm) Dành cho học sinh không chuyên a (1đ) Tìm số nguyên dơng n biết 45 + 45 + 45 + 45 65 + 65 + 65 + 65 + 65 + 65 = 2n ⋅ 35 + 35 + 35 25 + 25 b (1®) Chøng minh r»ng víi mäi số nguyên dơng n thì: 3n+3 + 2n+3 3n+2 + 2n+2 chia hÕt cho §Ị thi häc sinh giỏi huyện Môn: Toán Thời gian làm bài: 120 phút (không kể giao đề) Đề 1.3 A/ Phần ®Ị chung C©u (2,5®iĨm): a (1,75®) TÝnh tỉng: M = 1 761 × − ×4 − + 417 762 139 762 417.762 139 b (0,75đ) Tính giá trị đa thức sau x = -1 x2 + x4 + x6 + x8 + + x100 Câu (1điểm): 3x y x = tính giá trị x+ y y a c 2a + 3b 2c + 3d = b (0,5®) Cho tØ lƯ thøc = chøng minh r»ng b d 2a − 3b 2c − 3d a (0,5®) Cho tỉ lệ thức Câu (2,5điểm): a (1,5đ) Cho hµm sè y = - x vµ hµm sè y = x -4 * Vẽ đồ thị hµm sè y = - x * Chøng tá M(3;-1) giao hai đồ thị hàm số * Tính độ dài OM (O gốc toạ độ) b (1đ) Một ôtô tải ôtô khởi hành từ A B, vận tốc ôtô 40km/h, vận tốc ôtô tải 30km/h Khi ôtô tải đến B ôtô đà đến B trớc 45 phút Tính độ dài quÃng đờng AB Câu (2điểm): Cho ∆ ABC cã gãc A = 900, vÏ ph©n giác BD CE (D AC ; E AB) chúng cắt O a (0,5đ) Tính số đo góc BOC b (1đ) Trên BC lấy điểm M N cho BM = BA; CN = CA chøng minh EN// DM c (0,5đ) Gọi I giao BD AN chứng minh AIM cân B/ Phần đề riêng Câu A (2điểm): Dành cho học sinh chuyên a (1đ) Chứng minh đa thức sau không cã nghiÖm: P(x) = 2x2 + 2x + b (1®) Chøng minh r»ng: 2454.5424.210 chia hÕt cho 7263 Câu B (2điểm): Dành cho học sinh không chuyên a (1đ) Tìm nghiệm đa thức 5x2 + 10x b (1đ) Tìm x biết: 5(x-2)(x+3) = Đề thi học sinh giỏi huyện Môn: Toán Thời gian làm bài: 120 phút (không kể giao đề) Đề 1.4 A/ Phần đề chung Câu (1,5điểm): a (0,75đ) Tính tæng M = 3 ⋅ 27 + ⋅ ( −5 ) 23 47 47 23 b (0,75đ) Cho số a1, a2, a3 an số nhận giá trị -1 Biết a1a2 + a2a3 + … + ana1 = Hái n 2002 đợc hay không? Câu (2 điểm) a (1đ) Tìm x biết 1+ 2y 1+ 4y 1+ 6y = = 18 24 6x b (1®) T×m x, y, z biÕt 3x = 2y; 7y = 5z x y + z = 32 Câu (1,5điểm) Cho hình vẽ, đờng thẳng OA đồ thị hàm số y = f(x) = ax (a 0) a TÝnh tØ sè yo − xo − y B y0 b Gi¶ sư x0 = tÝnh diÖn tÝch ∆OBC o A C X0 x Câu (3điểm) a (1đ) Một ôtô tải ôtô khởi hành từ A B, vận tốc ôtô 40km/h, vận tốc ôtô tải 30km/h Khi ôtô tải đến B ôtô đà đến B trớc 45 phút Tính độ dài quÃng đờng AB b (2đ) Cho ∆ ABC, gäi M vµ N theo thø tù lµ trung điểm AC AB Trên tia đối tia MB lÊy ®iĨm D cho MD = MB, tia đối tia NC lấy điểm E cho NE = NC Chứng minh rằng: ã Ba điểm E, A, D thẳng hàng ã A trung điểm ED B/ Phần đề riêng Câu A (2điểm) Dành cho học sinh chuyên a (1đ) So sánh + b (1đ) Cho hai đa thức P(x) = x2 + 2mx + m2 vµ Q(x) = x2 + (2m+1)x + m2 T×m m biÕt P(1) = Q(-1) Câu B (2điểm) Dành cho học sinh không chuyên a (1đ) So sánh 2300 3200 b (1đ) TÝnh tæng A = + + 22 + … + 22010 §Ị thi häc sinh giái hun Môn: Toán Thời gian làm bài: 120 phút (không kể giao đề) Đề 1.5 A/ Phần đề chung 1 3 − − 0,6 − − 25 125 625 Câu (1,5 điểm): (1đ) Tính tæng: A = 11 + 4 4 4 − − − 0,16 − − 11 125 625 a (0,5đ) Tìm số a1, a2, a3, … a9 biÕt a −9 a1 − a2 − a3 − = = = = vµ a1 + a2 + a3 + … + a9 = 90 C©u (2 ®iĨm) + 3y + 5y + y = = a (1đ) Tìm x, y biÕt 12 5x 4x 2 b (1®) ChØ cặp (x;y) thoả mÃn x + x + y = Câu (1,5điểm) a (1đ) Cho hµm sè y = f(x) = x + víi x ≥ -1 -x – víi x < -1 * Viết biểu thức xác định f * Tìm x f(x) = 2 b (0,5đ) Cho hàm số y = x * Vẽ đồ thị hàm số * Tìm đồ thị điểm M có tung độ (-2), xác định hoành độ M (giải tính toán) Câu (3điểm) a (1đ) Một ôtô dự ®Þnh ®i tõ A ®Õn B mét thêi gian dự định với vận tốc 40km/h Sau đợc 1/2 quÃng đờng AB ôtô tăng vận tốc lên 50km/h quÃng đờng lại Do ôtô đến B sớm dự định 18 phút Tính quÃng đờng AB b (2đ) Cho ABC vuông cân A, M trung điểm BC, điểm E nằm M C Kẻ BH, CK vuông góc với AE (H K thuộc đờng thẳng AE) Chứng minh rằng: * BH = AK * ∆ MBH = ∆ MAK * MHK tam giác vuông cân B/ Phần đề riêng Câu A (2điểm) Dành cho học sinh chuyên a (1đ) Tìm số x, y, z thoả mÃn đẳng thức ( x ) + ( y + 2) + x + y + z = b (1đ) Tìm x, y, z biết: x + y = x : y = 3(x – y) Câu B (2điểm) Dành cho học sinh không chuyên a (1đ) Tìm x biết: 2x + 2x+1 + 2x+2 + 2x+3 = 120 1− b (1®) Rót gän biểu thức sau cách hợp lí: A = 1 + − 49 49 (7 7) 2 64   − +  − 343 đáp án 1.1 I Phần đề chung Câu (1,5đ) a (0,75đ) - Nh©n vÕ tỉng B víi - LÊy 5B - B rút gọn tính đợc B = b (0,75đ) 2010 - Khai quy động ngoặc - Thực phép chia đợc kết -1 29 Câu (2đ) a (1đ) - áp dụng tính chất dÃy TSBN cho tỉ số (1) (2) đợc tỉ số (4) - Từ tØ sè (3) vµ tØ sè (4) ta cã 6x + 12 x = tù tính đợc y = b (1đ) - Chuyển số hạng vế phải sang vế trái - Đặt thừa số chung đa tích - Tính đợc x = -1 Câu (1,5đ) (Mỗi đồ thị cho 0,75®) 3 x víi x < y = - x = - x víi x Câu (3đ) a (1,5đ) - Gọi ti anh hiƯn lµ x (x > 0), ti em y (y>0) tuổi anh cách năm x Tuổi em sau năm y + Theo cã TLT: x −5 y +8 = vµ x - y = Từ tính đợc: x = 20; y = 12 - VËy ti anh hiƯn 20 tuổi em 12 b (1,5đ) - APE = APH (CH - CG ⊥ ) - AQH = AQF (CH - CG ⊥ ) - gãc EAF = 1800 E, A, F thẳng hàng II Phần đề riêng Câu 5A (2đ) a (1,5đ) - Biến đổi S = 30 3 3n−1 ⋅ n + ( + + + + ) 2 2 - Đa dạng 3S S = 2S - Biến đổi ta đợc S = 2n + n − (n ∈ Z + ) b (0,5đ) - Nghiệm lại giá trị 1, -1, 5, -5 vào đa thức - Giá trị làm cho đa thức giá trị nghiệm Câu B (2đ) a (1,5đ) A=5+ x2 A nguyên Lập bảng x -2 x nguyªn ⇔ x – ∈ (8) x−2 -8 -6 -4 -2 -2 -1 1 4 10 V× x ∈ Z ⇒ x = {-6; -2; 0; 1; 3; 4; 6; 10} A Z b (0,5đ) 76 + 75 74 = 74 (72 + – 1) = 74 55 55 đáp án 1.2 I Phần đề chung Câu (1,5đ) a (1đ)- Đa dấu dấu ngoặc - Tách phân số thành hiệu phân số rút gọn đợc A = b (0,5đ) Biến đổi rút gọn ta đợc x = - 1 n Câu (1,5đ) a (1đ)- Biến đổi mẫu dới dạng lập phơng ®a vỊ d¹ng a c e = = b d f - áp dụng tính chất dÃy TSBN tìm x, y, z b (0,5đ) Kết x50 = 26 Câu (2đ) a (1đ) Gọi đờng thẳng (d) qua O M(-3;2) đồ thị hàm số dạng y = ax (a ≠ 0) tõ ®ã tÝnh a để xác định hàm số OM đồ thị hàm số - Kiểm tra điểm N(3;-2) có thuộc đồ thị hàm số không? kết luận: O, M, N thẳng hàng b (1đ) x3 x bậc Q(x) lµ −1 1 1 − (− ) − (− ) - Q(- ) = 2 = = −3 2 16 x ( x − 1) - Q(x) = số chẵn Q(x) Z - Thu gọn Q(x) = (0,25đ) (0,25đ) (0,5đ) Câu 4(3đ) a (1®) Gäi sè ngêi tỉ A, tỉ B, tỉ C lần lợt x, y,z tỉ lệ nghịch với 14, 15, 21 ⇒ x, y, z TLT víi 1 ; ; Từ tính đợc x = 30; y = 28; z = 20 14 15 21 b (2®) * - BNA = PNA (c.c.c) ⇒ gãc NPA = 900 (1) - ∆ DAM = ∆ PAM (c.g.c) ⇒ gãc APM = 900 (2) Tõ (1) vµ (2) ⇒ gãc NPM = 1800 ⇒ KÕt luËn * Gãc NAM = 450 ; gãc ANP = 650; góc AMN = 700 II phần đề riêng Câu A (2®) a (1®) 222333 + 333222 = 111333.2333 + 111222.3222 = 111222[(111.23)111 + (32)111] = 111222 (888111 + 9111) V× 888111 + 9111 = (888 + 9)(888110 – 888109.9 + … - 888.9109 + 9110) = 13.69 (888110 – 888109.9 + …- 888109 + 9110) 13 ⇒ KL b (1®) Ta cã 109345 = (109345 – 4345) + (4345 – 1) + v× 109345 – 4345 7 4345 – 7 ⇒ 109345 chia hÕt cho d Câu B (2đ) Đáp án a (1đ) VT: - Đa tổng luỹ thừa dới dạng tích biến đổi đợc 212 n = 12 b (1đ) - Nhóm số hạng thứ với số hạng thứ đặt TSC Số hạng thứ với số hàng thứ đặt TSC - Đa tổng có số hạng cho vµ mµ UCLN(2;3) = ⇒ tỉng 6 I Phần đề chung Câu (2,5đ) đáp án 1.3 1 ;b= ;c= 762 139 417 - Rót gọn thay giá trị a, b, c vào ta tính đợc M = 762 a (2đ) - Biến đổi M dới dạng tổng đặt a = b (0,5®) (-1)2 + (-1)4 + (-1)6 + … + (-1)100 = + +1 + … + = 50 Câu (1đ) a (0,5đ) áp dụng tính chất cđa tØ lƯ thøc x a c = ⇒ ad = bc ⇒ = y b d a c a b 2a 3b 2a + 3b 2a − 3b 2a + 3b 2c + 3d = ⇒ = b (0,5®) Tõ = ⇒ = ⇒ = = b d c d 2c 3d 2c + 3d 2c − 3d 2a 3b 2c 3d Câu (2,5đ) a (1,5đ) * Vẽ đồ thị hàm sè y = - x * Tõ hàm số ta đợc phơng trình hoành độ - x = x -4 - Thay ®iĨm M(3; -1) vào phơng trình hoành độ ta đợc - = – = -1 ⇒ M(3; -1) giao đồ thị hàm số * Trên mặt phẳng toạ độ ta thấy OMP vuông P ⇒ OM = OP + PM = 12 + 32 ⇒ OM = + = 10 (đvđd) b (1đ) - Đổi 45 phút = 45 h= h 60 - Gäi vËn tèc ôtô tải ôtô v1 v2 (km/h) tơng ứng với thời gian t1 t2 (h) Ta cã v1.t1 = v2.t2 v1 t - Vì vận tốc thời gian hai đại lỵng TLN ⇒ v = t ; t2 – t1 = = (h) T1 = ⋅ = ( h ) 4 - Tính đợc t2 = S = v2 t2 = 30 = 90km Câu (2đ) a (0,5đ) Có góc B + góc C = 900 ⇒ gãc OBC + gãc BCO = 90 = 45 (BD, CE phân giác) ⇒ gãc BOC = 1800 – 450 = 1350 b (1®) ∆ ABD = ∆ MBD (c.g.c) ⇒ gãc A = gãc M = 900 ⇒ DM ⊥ BC (1) ∆ ECN = ∆ ECA (c.g.c) ⇒ gãc A = gãc N = 900 ⇒ EN ⊥ BC (2) Tõ (1) vµ (2) ⇒ EN // DM B N I E A M O D C c (0,5®) ∆ IBA = ∆ IBM (c.g.c) ⇒ IA = IM thay IAM cân I II Phần đề riêng Câu A (2đ) a (1đ) P(x) = (x+1)2 + x2 + 1 ≥ víi ∀ x 4 P(x) nghiệm b (1đ) 2454 5424 210 = (23.3)54 (2.33)24 210 = 2196 3126 7263 = (23 32)63 = 2189 3126 Tõ ®ã suy 2454 5424 210 7263 Câu B (2đ) a (1đ) Cho 5x2 + 10x = 5 x = x = ⇒ 5x(x + 10) = ⇔  ⇔  x + 10 =  x = −10 NghiÖm đa thức x = x = -10 b (1®) x − = x = ⇒ 5(x-2)(x+3) = = 50 ⇒ (x-2)(x+3) = ⇔   x + =  x = −3 VËy x = hc x = -3 đáp án đề 1.4 I Phần đề chung Câu (1,5đ) a (0,75đ) - Biến đổi M dới dạng tổng - Đặt b (0,75đ) =a ; 23 =b 47 - Rút gọn thay giá trị a, b vào đợc A = 119 Xét giá trị tích a1a2, a2a3, ana1 số tích có giá trị bằng số tích có giá trị -1 2002 n = 2002 Câu (2đ) a (1đ) Tìm x biết n + y (1) + y ( ) + y (3) = = 18 24 6x - ¸p dơng tÝnh chÊt d·y TSBN cho tỉ số (1) (3) đợc tỉ số (4) - XÐt mèi quan hƯ gi÷a tØ sè (4) vµ (2) ⇒ 6x = 24 = 48 x = b (1đ) - Đa dạng a c e = = b d f 10 - ¸p dông tÝnh chÊt d·y TSBN ⇒ tÝnh x, y, z Câu (1,5đ) a (0,75đ) - Trên mặt phẳng toạ độ ta thấy điểm B(x0;y0) đồ thị hàm sè y = f(x) = ax y0 =a x0 y ⇒ a= = x0 y y0 − = = x0 x − y0 = ax0 Mà A(2;1) b (0,75đ) - OBC vuông C 1 OC.BC = OC y 2 Víi x0 = ⇒ S ∆OBC = ⋅ ⋅ = 6,25 (đvdt) 2 S OBC = Câu (3đ) a (1đ) - Đổi 45 phút = 45 h= h 60 - Gọi vận tốc ôtô tải ôtô v1 v2 (km/h) tơng ứng víi thêi gian lµ t1 vµ t2 (h) Ta cã v1.t1 = v2.t2 v1 t - V× vËn tốc thời gian hai đại lợng TLN v = t ; t2 – t1 = - Tính đợc t2 = = (h) ⇒ S = v2 t2 = 30 = 90km t1 = ⋅ = ( h) 4 b (2®) - ∆ MAD = ∆ MCB (c.g.c) ⇒ gãc D = gãc B ⇒ AD // BC (1) - ∆ NAE = ∆ NBC (c.g.c) ⇒ gãc E = gãc C ⇒ AE // BC (2) Tõ (1) vµ (2) ⇒ E, A, D thẳng hàng - Từ chứng minh A trung điểm ED E A D N M B C II Phần đề riêng Câu A (2đ) a (1đ) So sánh + ta cã < ⇒ + < + = + + ⇒ < ( + 1) ⇒ < + b (1đ) - Thay giá trị x vào đa thức - Cho đa thức ta tính đợc m = - 11 Câu B (2đ) a (1đ) Ta có 300 = (23 )100 200 = (32 )100 ⇒ 3200 > 2300 b (1đ) - Nhân hai vế tỉng víi A víi - LÊy 2A – A rút gọn đợc A = 2010 Đáp án 1.5 I phần đề chung Câu (1,5đ: ý 0,75đ) a A = b áp dụng tính chất dÃy TSBN ta tính đợc a1 = a2 = … = a9 = 10 C©u (2điểm: ý 1đ) a - áp dụng tính chất dÃy TSBN cho tỉ số (1) (3) đợc tØ sè (4) - Tõ tØ sè (4) vµ tØ sè (2)  12 + 4x = 2.5x  x = 15 2 - V× x + x ≥ vµ y − ≥ ⇒ x2 + 2x = vµ y2 – = từ tìm cặp (x;y) - Từ tính đợc y = b Câu (1,5đ) a (1đ) - Biểu thức xác định f(x) = x + - Khi f(x) = ⇒ x + = từ tìm x b (0,5đ) - Vẽ đồ thị hàm số y = x y 0 x 5 O (0;0) A (5;2) - Biểu diễn O(0;0); A(5;2) mặt phẳng toạ độ OA đồ thị hàm số y = x - M đồ thị y = 2 x ⇒ -2 = x ⇒ x = -5 5 Câu (3điểm) a (1đ) 18 phút = 18 = ( h) 60 10 - Gäi vËn tèc thời gian dự định nửa quÃng đờng trớc v1; t1, vận tốc thời gian đà nửa quÃng đờng sau v2; t2 - Cùng quÃng đờng vận tốc thời gian đại lợng TLN đó: 12 v v v v 100 2 V1t1 = v2t2 ⇔ t = t = t − t = 2 ⇒ t1 = B (giê) ⇒ thêi gian dự định quÃng đờng AB - QuÃng đờng AB dài 40 = 120 (km) b (2®) - HAB = KCA (CH – GN) ⇒ BH = AK - ∆ MHB = ∆ MKA (c.g.c) MHK cân MH = MK (1) Cã ∆ MHA = ∆ MKC (c.c.c) ⇒ gãc AMH = gãc CMK tõ ®ã ⇒ gãc HMK = 900 (2) Từ (1) (2) MHK vuông cân M II Phần đề riêng Câu A (2đ) a (1đ) Vì (x 2) víi ∀ x M K E H A C ( y + 2) ≥ víi ∀ y x+ y+z ≥ víi ∀ x, y, z  ( x 2) = Đẳng thøc x¶y ⇔  ( y + 2) =  x+ y+x =0  x =   ⇔ y = − z =   b (1®)Tõ x + y = 3(x-y) = x : y ⇒ 2y(2y – x) = mµ y ≠ nªn 2y – x = ⇒ x = 2y Tõ ®ã ⇒ x = ; y = 3 Câu B (2đ) a (1đ) - Đặt 2x làm TSC rút gọn - Biến đổi 120 dới dạng luỹ thừa số tìm x b (1đ) Biến đổi tử vào mẫu rút gọn đợc A = THI THễNG TIN PHÁT HIỆN HỌC SINH GIỎI 13 BẬC THCS CẤP THỊ Xà NĂM HỌC 2008 -2009 Mơn: Tốn Bài 1: (3 điểm): Tính 2 3     ÷ 18 − (0, 06 : + 0,38)  : 19 − 4    Bài 2: (4 điểm): Cho a) a2 + c2 a = b2 + c b a c = chứng minh rằng: c b b2 − a b − a b) 2 = a +c a Bài 3:(4 điểm) Tìm x biết: a) x + − = −2 b) − 15 x+ = x− 12 Bài 4: (3 điểm) Một vật chuyển động cạnh hình vng Trên hai cạnh đầu vật chuyển động với vận tốc 5m/s, cạnh thứ ba với vận tốc 4m/s, cạnh thứ tư với vận tốc 3m/s Hỏi độ dài cạnh hình vng biết tổng thời gian vật chuyển động bốn cạnh 59 giây µ Bài 5: (4 điểm) Cho tam giác ABC cân A có A = 200 , vẽ tam giác DBC (D nằm tam giác ABC) Tia phân giác góc ABD cắt AC M Chứng minh: a) Tia AD phân giác góc BAC b) AM = BC Bài 6: (2 điểm): Tìm x, y ∈ ¥ biết: 25 − y = 8( x − 2009)2 ĐÁP ÁN ĐỀ THI Bài 1: điểm 2 3     ÷ 18 − (0, 06 : + 0,38)  : 19 − 4  =   15 17 38   19  109 =  − ( : + )  : 19 − ÷ 0.5đ 100 100   4  109  17 19    38  =  −  + ÷ : 19 − ÷ 1đ    50 15 50    109 323  19   + =  − ÷ :   250 250    109 13  − ÷ =  10  19 = 0.5 0.5đ 14 = 506 253 = 30 19 95 0.5đ Bài 2: a) Từ a c = suy c = a.b c b a + c a + a.b 2 = b +c b + a.b a ( a + b) a = b( a + b ) = b 0.5đ 0.5đ 0.5đ a2 + c2 a b2 + c2 b = ⇒ 2 = b2 + c b a +c a 2 2 b +c b b +c b từ 2 = ⇒ 2 − = − a +c a a +c a 2 2 b +c −a −c b−a = hay 2 a +c a 2 b −a b−a 2 = a +c a b) Theo câu a) ta có: 0.5đ 1đ 0.5đ 0.5đ Bài 3: a) x+ − = −2 = −2 + 0.5đ 1 x + = ⇒ x + = x + = −2 5 1 Với x + = ⇒ x = − hay x = 5 1 11 Với x + = −2 ⇒ x = −2 − hay x = − 5 x+ 1đ 0.25đ 0.25đ b) 15 x+ = x− 12 x+ x = + 13 ( + )x = 14 49 13 x= 20 14 130 x= 343 − 0.5đ 0.5đ 0.5đ 0.5đ 15 Bài 4: Cùng đoạn đường, cận tốc thời gian hai đại lượng tỉ lệ nghịch 0.5đ Gọi x, y, z thời gian chuyển động với vận tốc 5m/s ; 4m/s ; 3m/s 5.x = y = 3.z x + x + y + z = 59 Ta có: 1đ x y z x + x + y + z 59 = = = = = 60 hay: 1 1 + + + 59 5 60 0.5đ Do đó: x = 60 = 12 ; x = 60 = 15 ; x = 60 = 20 0.5đ Vậy cạnh hình vng là: 5.12 = 60 (m) Bài 5: -Vẽ hình, ghi GT, KL 0.5đ a) Chứng minh ∆ ADB = ∆ ADC (c.c.c) 1đ · · suy DAB = DAC · Do DAB = 200 : = 100 µ = 200 (gt) b) ∆ ABC cân A, mà A 0.5đ A 200 nên D · ABC = (180 − 20 ) : = 80 · ∆ ABC nên DBC = 600 0 Tia BD nằm hai tia BA BC suy · ABD = 800 − 600 = 200 Tia BM phân giác góc ABD nên · ABM = 100 M C B Xét tam giác ABM BAD có: · · ABD = 200 ; · ABM = DAB = 100 AB cạnh chung ; BAM = · Vậy: ∆ ABM = ∆ BAD (g.c.g) suy AM = BD, mà BD = BC (gt) nên AM = BC Bài 6: 25 − y = 8(x − 2009) Ta có 8(x-2009)2 = 25- y2 8(x-2009)2 + y2 =25 (*) Vì y2 ≥ nên (x-2009)2 ≤ 0.5đ 25 , suy (x-2009)2 = (x-2009)2 =1 0.5đ Với (x -2009)2 =1 thay vào (*) ta có y2 = 17 (loại) Với (x- 2009)2 = thay vào (*) ta có y2 =25 suy y = (do y ∈ ¥ ) Từ tìm (x=2009; y=5) 0.5đ 0.5đ 16 ®Ị thi Ô-lim -pic huyện Môn Toán Lớp (Thời gian làm bµi 120 phót) 1 1 + + + + 1.6 6.11 11.16 96.101 Bµi TÝnh Bµi Tìm giá trị nguyên dơng x y, cho: 1 + = x y Tìm hai số dơng biết: tổng, hiệu tích chúng tỷ lệ nghịch với số 20, Bài 140 Bài Tìm x, y thoả mÃn: x − + x − + y − + x − = Bµi Cho tam gi¸c ABC cã gãc ABC = 50 ; góc BAC = 700 Phân giác góc ACB cắt AB M Trên MC lấy điểm N cho gãc MBN = 40 Chøng minh: BN = MC đề thi Ô-lim -pic huyện Môn Toán Lớp (Thêi gian lµm bµi 120 phót) Bài 1:(4 điểm) a) Thực phép tính: A= 212.35 − 46.92 ( 3) + − 510.73 − 255.492 ( 125.7 ) + 59.143 b) Chứng minh : Với số nguyên dương n : 3n + − 2n+ + 3n − 2n chia hết cho 10 Bài 2:(4 điểm) Tìm x biết: a x − + = ( −3, ) + 5 b ( x − ) x +1 − ( x − 7) x +11 =0 Bài 3: (4 điểm) a) Số A chia thành số tỉ lệ theo : : Biết tổng bình phương ba số 24309 Tìm số A a c a2 + c2 a = Chứng minh rằng: 2 = b) Cho c b b +c b 17 Bài 4: (4 điểm) Cho tam giác ABC, M trung điểm BC Trên tia đối của tia MA lấy điểm E cho ME = MA Chứng minh rằng: a) AC = EB AC // BE b) Gọi I điểm AC ; K điểm EB cho AI = EK Chứng minh ba điểm I , M , K thẳng hàng · · c) Từ E kẻ EH ⊥ BC ( H ∈ BC ) Biết HBE = 50o ; MEB =25o · · Tính HEM BME Bài 5: (4 điểm) µ Cho tam giác ABC cân A có A = 200 , vẽ tam giác DBC (D nằm tam giác ABC) Tia phân giác góc ABD cắt AC M Chứng minh: c) Tia AD phân giác góc BAC d) AM = BC ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM MƠN TỐN Bài 1:(4 điểm): Thang điểm Đáp án a) (2 điểm) 212.35 − 46.92 510.73 − 255.49 10 212.35 − 212.34 510.7 − A= − = − ( 125.7 ) + 59.143 212.36 + 212.35 59.73 + 59.23.73 ( 3) + 0,5 điểm 212.34 ( − 1) 510.73 ( − ) = 12 − ( + 1) 59.73 ( + 23 ) 0,5 điểm 10 212.34.2 ( −6 ) = 12 − 59.73.9 −10 = − = b) (2 điểm) n + - Với số nguyên dương n ta có: 3n + − 2n+ + 3n − 2n = 3n + + 3n − 2n + − 2n = 3n (32 + 1) − 2n (2 + 1) = 3n × − 2n ×5 = 3n × − 2n−1 × 10 10 10 n n = 10( -2 ) n+2 n+ n n Vậy − + −  10 với n số nguyên dương 0,5 điểm 0,5 điểm 0,5 điểm điểm 0,5 điểm Bài 2:(4 điểm) Đáp án Thang điểm a) (2 điểm) 18 x− 4 −16 + = ( −3, ) + ⇔ x − + = + 5 5 ⇔ x− 14 + = 5 0,5 điểm 0,5 điểm  x −1 =2 ⇔ x− = 2⇔   x− =−2   0,5 điểm  x=2+ = 3 ⇔  x=−2+1 = −5 3   0,5 điểm b) (2 điểm) ( x − 7) x +1 ⇔ ( x − 7) − ( x − 7) x +11 =0 1 − ( x − ) 10  =   10 ( x +1) 1 − ( x − )  = ⇔ ( x − 7)   x +1   x −7  x +1=0  ÷  ⇔  1−( x −7)10 =0   0,5 điểm 0,5 điểm  ⇔  x −7=0⇒ x =7 10  ( x −7) =1⇒ x=8 0,5 điểm Bài 3: (4 điểm) Đáp án a) (2,5 điểm) Gọi a, b, c ba số chia từ số A Theo đề ta có: a : b : c = 0,5 điểm : : (1) a2 +b2 +c2 = 24309 (2) a b c k = = Từ (1) ⇒ = k ⇒ a = k ; b = k ; c = 6 Do (2) ⇔ k ( + + ) = 24309 25 16 36 ⇒ k = 180 k = −180 Thang điểm 0,5 điểm 0,5 điểm 0,5 điểm + Với k =180, ta được: a = 72; b = 135; c = 30 19 Khi ta có số A = a + b + c = 237 + Với k = −180 , ta được: a = −72 ; b = −135 ; c = −30 Khi ta có só A = −72 +( −135 ) + ( −30 ) = −237 b) (1,5 điểm) Từ 0,5 điểm 0,5 điểm a c = suy c = a.b c b 0,5 điểm a + c a + a.b = b + c b + a.b 0,5 điểm 0,5 điểm a ( a + b) a = b( a + b ) = b Bài 4: (4 điểm) Thang điểm 0,5 điểm Đáp án Vẽ hình A I M B C H K E a/ (1điểm) Xét ∆AMC ∆EMB có : AM = EM (gt ) · · AMC = EMB (đối đỉnh ) BM = MC (gt ) ∆AMC = ∆EMB (c.g.c ) Nên : 0,5 điểm ⇒ AC = EB · · Vì ∆AMC = ∆EMB ⇒ MAC = MEB (2 góc có vị trí so le tạo đường thẳng AC EB cắt đường thẳng AE ) Suy AC // BE 0,5 điểm b/ (1 điểm ) Xét ∆AMI ∆EMK có : AM = EM (gt ) · · MAI = MEK ( ∆AMC = ∆EMB ) AI = EK (gt ) 20 Nên ∆AMI = ∆EMK ( c.g.c ) · · AMI = EMK o · Mà · AMI + IME = 180 ( tính chất hai góc kề bù ) · · ⇒ EMK + IME = 180o ⇒ Ba điểm I;M;K thẳng hàng c/ (1,5 điểm ) µ · Trong tam giác vng BHE ( H = 90o ) có HBE = 50o o o o o · · ⇒ HBE = 90 - HBE = 90 - 50 =40 điểm o o o · · · ⇒ HEM = HEB - MEB = 40 - 25 = 15 điểm · BME góc ngồi đỉnh M ∆HEM · · · Nên BME = HEM + MHE = 15o + 90o = 105o ( định lý góc ngồi tam giác ) 0,5 điểm Suy 0,5 điểm 0,5 0,5 0,5 điểm Bài 5: (4 điểm) A 20 M D B C -Vẽ hình a) Chứng minh ∆ ADB = ∆ ADC (c.c.c) · · suy DAB = DAC · Do DAB = 200 : = 100 b) ∆ ABC cân A, mà µ = 200 (gt) nên · ABC = (1800 − 200 ) : = 800 A · ∆ ABC nên DBC = 600 Tia BD nằm hai tia BA BC suy ·ABD = 800 − 600 = 200 Tia BM phân giác góc ABD nên · ABM = 100 1điểm 0,5 điểm 0,5 điểm 0,5 điểm 0,5 điểm Xét tam giác ABM BAD có: · · AB cạnh chung ; BAM = · ABD = 200 ; · ABM = DAB = 100 Vậy: ∆ ABM = ∆ BAD (g.c.g) suy AM = BD, mà BD = BC (gt) nên AM = BC 21 22 ... cho Đề thi học sinh giỏi huyện Môn: Toán Thời gian làm bài: 120 phút (không kể giao đề) Đề 1.3 A/ Phần đề chung Câu (2,5điểm): a (1 ,75 ®) TÝnh tỉng: M = 1 76 1 × − ×4 − + 4 17 762 139 76 2 4 17. 762... học sinh không chuyên a (1đ) Tìm nghiệm đa thức 5x2 + 10x b (1đ) Tìm x biết: 5(x-2)(x+3) = Đề thi học sinh giỏi huyện Môn: Toán Thời gian làm bài: 120 phút (không kể giao đề) Đề 1.4 A/ Phần đề. . .Đề thi học sinh giỏi huyện Môn: Toán Thời gian làm bài: 120 phút (không kể giao đề) Đề 1.2 A/ Phần đề chung Câu (1,5điểm) a (1đ) TÝnh tæng: M = -