Trng em http://truongem.com Đề số 1: đề thi học sinh giỏi huyện Môn Toán Lớp (Thời gian làm 120 phút) Bài Tìm giá trị n nguyên dơng: a) n 16 = 2n ; b) 27 < 3n < 243 Bµi Thùc hiƯn phÐp tÝnh: ( 1 1 − − − − − 49 + + + + ) 4.9 9.14 14.19 44.49 89 Bµi a) T×m x biÕt: 2x + = x + b) Tìm giá trị nhỏ A = x − 2006 + 2007 − x Khi x thay ®ỉi Bài Hiện hai kim đồng hồ 10 Sau kim đồng hồ nằm đối diện đờng thẳng Bài Cho tam giác vuông ABC ( A = 1v), ®−êng cao AH, trung tuyÕn AM Trªn tia ®èi tia MA lấy điểm D cho DM = MA Trên tia ®èi tia CD lÊy ®iĨm I cho CI = CA, qua I vẽ đờng thẳng song song với AC cắt đờng thẳng AH E Chứng minh: AE = BC Đáp án đề toán Bài Tìm giá trị n nguyên dơng: (4 điểm câu ®iĨm) a) n 16 = 2n ; => 24n-3 = 2n => 4n – = n => n = b) 27 < 3n < 243 => 33 < 3n < 35 => n = Bài Thực phép tính: (4 điểm) ( 1 1 − − − − − 49 + + + + ) 4.9 9.14 14.19 44.49 89 = 1 1 1 1 − (1 + + + + + 49) ( − + − + − + + − ) 9 14 14 19 44 49 12 = 1 − (12.50 + 25) 5.9.7.89 ( − ) =− =− 49 89 5.4.7.7.89 28 Trng em http://truongem.com Bài (4 điểm câu điểm) a) Tìm x biết: 2x + = x + Ta cã: x + ≥ => x ≥ - + NÕu x ≥ - th× 2x + = x + => 2x + = x + => x = - (Tho¶ m·n) + NÕu - ≤ x < - Th× 2x + = x + => - 2x - = x + => x = - (Tho¶ m·n) + Nếu - > x Không có giá trị x thoả mÃn b) Tìm giá trị nhỏ nhÊt cña A = x − 2006 + 2007 − x Khi x thay ®ỉi + NÕu x < 2006 th×: A = - x + 2006 + 2007 – x = - 2x + 4013 Khi ®ã: - x > -2006 => - 2x + 4013 > – 4012 + 4013 = => A > + NÕu 2006 ≤ x ≤ 2007 th×: A = x – 2006 + 2007 – x = + NÕu x > 2007 th× A = x - 2006 - 2007 + x = 2x – 4013 Do x > 2007 => 2x – 4013 > 4014 – 4013 = => A > Vậy A đạt giá trị nhỏ nhÊt lµ 2006 ≤ x ≤ 2007 Bµi HiƯn hai kim ®ång hå chØ 10 giê Sau kim đồng hồ nằm đối diện đờng thẳng (4 điểm mỗi) Gọi x, y số vòng quay kim phút kim 10giờ đến lúc kim đối đờng thẳng, ta có: xy= (ứng với từ số 12 đến số đông hå) vµ x : y = 12 (Do kim phút quay nhanh gấp 12 lần kim giờ) Do đó: x= x 12 x y x−y 1 = => = = = : 11 = y 12 11 33 12 ( vòng) => x = (giê) 33 11 VËy thêi gian Ýt nhÊt ®Ĩ kim ®ång hå tõ 10 giê ®Õn lóc n»m đối diện đờng thẳng 11 Trng em http://truongem.com Bài Cho tam giác vuông ABC ( A = 1v), đờng cao AH, trung tuyến AM Trên tia đối tia MA lấy điểm D cho DM = MA Trên tia đối tia CD lÊy ®iĨm I cho CI = CA, qua I vẽ đờng thẳng song song với AC cắt đờng thẳng AH E Chứng minh: AE = BC (4 điểm mỗi) Đờng thẳng AB cắt EI F ABM = ∆ DCM v×: E AM = DM (gt), MB = MC (gt), F AMB = DMC (®®) => BAM = CDM I =>FB // ID => ID ⊥ AC Vµ FAI = CIA (so le trong) A (1) IE // AC (gt) => FIA = CAI (so le trong) (2) B H C M D Tõ (1) vµ (2) => ∆ CAI = ∆ FIA (AI chung) => IC = AC = AF vµ E FA = 1v (3) (4) Mặt khác EAF = BAH (đđ), BAH = ACB ( cïng phô ABC) => EAF = ACB (5) Tõ (3), (4) vµ (5) => ∆ AFE = ∆ CAB =>AE = BC Trường em http://truongem.com §Ị sè 2: đề thi học sinh giỏi huyện Môn Toán Lớp (Thêi gian lµm bµi 120 phót) Bài 1:(4 điểm) a) Thực phép tính: A= 212.35 − 46.92 ( 22.3) + 84.35 − 510.73 − 255.492 (125.7 ) + 59.143 b) Chứng minh : Với số nguyên dương n : 3n + − 2n+ + 3n − 2n chia hết cho 10 Bài 2:(4 điểm) Tìm x biết: a x − + = ( −3, ) + 5 b ( x − ) Bài 3: (4 điểm) x +1 − ( x − 7) x +11 =0 a) Số A chia thành số tỉ lệ theo : : Biết tổng bình phương ba số 24309 Tìm số A b) Cho a c a2 + c2 a = Chứng minh rằng: 2 = c b b +c b Bài 4: (4 điểm) Cho tam giác ABC, M trung điểm BC Trên tia đối của tia MA lấy điểm E cho ME = MA Chứng minh rằng: a) AC = EB AC // BE b) Gọi I điểm AC ; K điểm EB cho AI = EK Chứng minh ba điểm I , M , K thẳng hàng c) Từ E kẻ EH ⊥ BC ( H ∈ BC ) Biết HBE = 50o ; MEB =25o Tính HEM BME Bài 5: (4 điểm) Cho tam giác ABC cân A có A = 200 , vẽ tam giác DBC (D nằm tam giác ABC) Tia phân giác góc ABD cắt AC M Chứng minh: a) Tia AD phân giác góc BAC b) AM = BC Trường em http://truongem.com Ht Đáp án đề toán Bi 1:(4 điểm): a) (2 điểm) 212.35 − 46.92 510.73 − 255.492 10 212.35 − 212.34 510.73 − 74 A= − = 12 12 − 9 3 ( 3) + (125.7) + 14 + + 212.34 ( − 1) 510.73 (1 − ) = 12 − ( + 1) 59.73 (1 + 23 ) 10 212.34.2 ( −6) = 12 − 3 −10 = − = b) (2 điểm) 3n + − 2n+ + 3n − 2n = 3n + + 3n − 2n+ − 2n = 3n (32 + 1) − 2n (22 + 1) = 3n ⋅10 − 2n ⋅ = 3n ⋅10 − 2n−1 ⋅10 = 10( 3n -2n) Vậy 3n + − 2n+ + 3n − 2n M 10 với n số nguyên dương Bài 2:(4 điểm) a) (2 điểm) Trường em x− http://truongem.com 4 −16 + = ( −3, ) + ⇔ x − + = + 5 5 ⇔ x− 14 + = 5  x −1 = ⇔ x− =2⇔   x−1=−2    x=2+1= 3 ⇔  x=−2+1= −5 3   b) (2 điểm) ( x − 7) x +1 − ( x − 7) x +11 =0 1 − ( x − )10  =   ( x +1) 1 − ( x − )10  = ⇔ ( x − 7)     x −7  x +1=0    ⇔   1−( x −7)10 =0    ⇔  x −7=0⇒ x =7 10  ( x −7) =1⇒ x =8 ⇔ ( x − 7) x +1 Bài 3: (4 điểm) a) (2,5 điểm) Gọi a, b, c ba số chia từ số A Theo đề ta có: a : b : c = a2 +b2 +c2 = 24309 (2) Từ (1) ⇒ : : (1) k a b c = = = k ⇒ a = k;b = k; c = 6 Trường em http://truongem.com + + ) = 24309 25 16 36 ⇒ k = 180 k = −180 Do (2) ⇔ k ( + Với k =180, ta được: a = 72; b = 135; c = 30 Khi ta có số A = a + b + c = 237 + Với k = −180 , ta được: a = −72 ; b = −135 ; c = −30 Khi ta có só A = −72 +( −135 ) + ( −30 ) = −237 b) (1,5 điểm) Từ a c = suy c = a.b c b a + c a + a.b 2 = b +c b + a.b a ( a + b) a = = b ( a + b) b Bài 4: (4 điểm) A a/ (1điểm) Xét ∆AMC ∆EMB có : AM = EM (gt ) AMC = EMB (đối đỉnh ) BM = MC (gt ) B Nên : ∆AMC = ∆EMB (c.g.c ) ⇒ AC = EB K Vì ∆AMC = ∆EMB ⇒ MAC = MEB (2 góc có vị trí so le tạo thẳng AC EB cắt đường thẳng AE ) Suy AC // BE b/ (1 điểm ) Xét ∆AMI ∆EMK có : AM = EM (gt ) MAI = MEK ( ∆AMC = ∆EMB ) AI = EK (gt ) Nên ∆AMI = ∆EMK ( c.g.c ) Suy AMI = EMK Mà AMI + IME = 180o ( tính chất hai góc kề bù ) o ⇒ EMK + IME = 180 ⇒ Ba điểm I;M;K thẳng hàng c/ (1,5 điểm ) I M C H 0,5 điểm đường E 0,5 điểm Trường em http://truongem.com Trong tam giác vng BHE ( H = 90o ) có HBE = 50o o o o o ⇒ HBE = 90 - HBE = 90 - 50 =40 o o o ⇒ HEM = HEB - MEB = 40 - 25 = 15 BME góc ngồi đỉnh M ∆HEM Nên BME = HEM + MHE = 15o + 90o = 105o ( định lý góc ngồi tam giác ) A 20 Bài 5: (4 điểm) M a) Chứng minh ∆ ADB = ∆ ADC (c.c.c) suy DAB = DAC Do DAB = 200 : = 100 b) ∆ ABC cân A, mà A = 200 (gt) nên D ABC = (1800 − 200 ) : = 800 ∆ ABC nên DBC = 600 B Tia BD nằm hai tia BA BC suy ABD = 800 − 600 = 200 Tia BM phân giác góc ABD nên ABM = 100 C Xét tam giác ABM BAD có: AB cạnh chung ; BAM = ABD = 200 ; ABM = DAB = 100 Vậy: ∆ ABM = ∆ BAD (g.c.g) suy AM = BD, mà BD = BC (gt) nên AM = BC §Ị số 3: đề thi học sinh giỏi Môn Toán Lớp (Thời gian làm 120 phút) Câu 1: Tìm tất số nguyên a biết a Câu 2: Tìm phân số có tử biết lớn Câu Cho đa thức 9 nhỏ 10 11 P (x ) = x + 2mx + m vµ Q (x ) = x + (2m+1)x + m Trường em http://truongem.com T×m m biÕt P (1) = Q (-1) Câu 4: Tìm cặp số (x; y) biÕt: x y a/ = ; xy=84 1+3y 1+5y 1+7y b/ = = 12 5x 4x C©u 5: Tìm giá trị nhỏ lớn c¸c biĨu thøc sau : A = x + +5 B= x + 15 x2 + C©u 6: Cho tam giác ABC có  < 900 Vẽ phía tam giác hai đoạn thẳng AD vuông góc AB; AE vuông góc AC a Chøng minh: DC = BE vµ DC ⊥ BE b Gọi N trung điểm DE Trên tia ®èi cđa tia NA lÊy M cho NA = NM Chøng minh: AB = ME vµ ABC = EMA c Chứng minh: MA BC Đáp án đề toán Câu 1: Tìm tất số nguyªn a biÕt a ≤ 0≤ a ≤ => a = 0; 1; 2; ; * a = => a = * a = => a = hc a = - * a = => a = hc a = - * a = => a = hc a = - * a = => a = a = - Câu 2: Tìm phân số có tử biết lớn Gọi mẫu phân số cần tìm x Ta có: 9 nhỏ 10 11 −9 −9 63 63 63 < < => < < => -77 < 9x < -70 V× 9x M => 9x = -72 10 x 11 −70 x −77 => x = Trường em Vậy phân số cần tìm http://truongem.com Câu Cho đa thức P (x ) = x + 2mx + m vµ Q (x ) = x + (2m+1)x + m T×m m biÕt P (1) = Q (-1) P(1) = 12 + 2m.1 + m2 = m2 + 2m + Q(-1) = – 2m – +m2 = m2 2m Để P(1) = Q(-1) m2 + 2m + = m2 – 2m ⇔ 4m = -1 m = -1/4 Câu 4: Tìm cặp số (x; y) biÕt: x y x y xy 84 a/ = ; xy=84 => = = = =4 49 3.7 21 => x2 = 4.49 = 196 => x = ± 14 => y2 = 4.4 = 16 => x = ± Do x,y dấu nên: ã x = 6; y = 14 • x = -6; y = -14 b/ 1+3y 1+5y 1+7y = = 12 5x 4x ¸p dơng tÝnh chÊt d·y tØ sè b»ng ta cã: 1+3y 1+5y 1+7y + 7y − − 5y 2y + 5y − − 3y 2y = = = = = = 12 5x 4x 4x − 5x −x 5x − 12 5x − 12 => 2y 2y = − x x − 12 => -x = 5x -12 => x = Thay x = vào ta đợc: 1+ 3y y = = y 12 −2 =>1+ 3y = -12y => = -15y => y = −1 15 10 Trường em http://truongem.com C©u (1,5 ®) Trong mét kú thi häc sinh giái cÊp Huyện, bốn bạn Nam, Bắc, Tây, Đông đoạt giải 1,2,3,4 Biết câu câu dới nửa sai nửa: a, tây đạt giải 1, Bắc đạt giải b, Tây đạt giải 2, Đông đạt giải c, Nam đạt giải 2, Đông đạt giải Em hÃy xác định thứ tự giải cho bạn Đề số 51: ®Ị thi häc sinh giái (Thêi gian lµm bµi 120 phót) Bài 1: (3 điểm): Tính 2 3    18 − (0, 06 : + 0,38)  :  19 − 4      Bài 2: (4 điểm): Cho a) a2 + c2 a = b2 + c2 b a c = chứng minh rằng: c b b2 − a b − a b) 2 = a +c a Bài 3:(4 điểm) Tìm x biết: a) x + − = −2 b) − 15 x+ = x− 12 Bài 4: (3 điểm) Một vật chuyển động cạnh hình vng Trên hai cạnh đầu vật chuyển động với vận tốc 5m/s, cạnh thứ ba với vận tốc 4m/s, cạnh thứ tư với vận tốc 3m/s Hỏi độ dài cạnh hình vuông biết tổng thời gian vật chuyển động bốn cạnh 59 giây Bài 5: (4 điểm) Cho tam giác ABC cân A có A = 200 , vẽ tam giác DBC (D nằm tam giác ABC) Tia phân giác góc ABD cắt AC M Chứng minh: e) Tia AD phân giác góc BAC f) AM = BC Bài 6: (2 điểm): Tìm x, y ∈ biết: 25 − y = 8( x − 2009) 68 Trường em http://truongem.com - ĐÁP ÁN ĐỀ THI Bài 1: điểm 2 3    18 − (0, 06 : + 0,38)  :  19 − 4  =     109 15 17 38   19  =  − ( : + )  : 19 −  0.5đ  100 100   4  109 109 17 19  38    =  −  +   :  19 −      50 15 50    323  19 1đ   =  − +  :   250 250   0.5 109 13  −  =  10  19 506 253 = = 30 19 95 0.5đ =  0.5đ Bài 2: a) Từ a c = suy c = a.b c b a + c a + a.b 2 = b +c b + a.b a ( a + b) a = = b ( a + b) b 0.5đ 0.5đ 0.5đ a2 + c2 a b2 + c2 b b) Theo câu a) ta có: 2 = ⇒ 2 = b +c b a +c a 2 2 b +c b b +c b từ 2 = ⇒ 2 − = − a +c a a +c a 2 2 b +c −a −c b−a hay = 2 a +c a 2 b −a b−a 2 = a +c a 0.5đ 1đ 0.5đ 0.5đ Bài 3: a) x+ − = −2 69 Trường em http://truongem.com 0.5đ = −2 + 1 x + = ⇒ x + = x + = −2 5 1 Với x + = ⇒ x = − hay x = 5 1 11 Với x + = −2 ⇒ x = −2 − hay x = − 5 x+ 1đ 0.25đ 0.25đ b) 15 x+ = x− 12 x+ x = + 13 ( + )x = 14 49 13 x= 20 14 130 x= 343 − 0.5đ 0.5đ 0.5đ 0.5đ Bài 4: Cùng đoạn đường, cận tốc thời gian hai đại lượng tỉ lệ nghịch 0.5đ Gọi x, y, z thời gian chuyển động với vận tốc 5m/s ; 4m/s ; 3m/s 5.x = y = 3.z x + x + y + z = 59 1đ Ta có: hay: x y z x + x + y + z 59 = = = = = 60 1 1 1 59 + + + 5 60 0.5đ Do đó: x = 60 = 12 ; x = 60 = 15 ; x = 60 = 20 0.5đ Vậy cạnh hình vng là: 5.12 = 60 (m) 0.5đ Bài 5: -Vẽ hình, ghi GT, KL 0.5đ a) Chứng minh ∆ ADB = ∆ ADC (c.c.c) 1đ suy DAB = DAC Do DAB = 200 : = 100 b) ∆ ABC cân A, mà A = 200 (gt) nên A 20 M D ABC = (1800 − 200 ) : = 800 ∆ ABC nên DBC = 600 B C 70 Trường em http://truongem.com Tia BD nằm hai tia BA BC suy ABD = 800 − 600 = 200 Tia BM phân giác góc ABD nên ABM = 100 Xét tam giác ABM BAD có: AB cạnh chung ; BAM = ABD = 200 ; ABM = DAB = 100 Vậy: ∆ ABM = ∆ BAD (g.c.g) suy AM = BD, mà BD = BC (gt) nên AM = BC Bài 6: 25 − y = 8(x − 2009) Ta có 8(x-2009)2 = 25- y2 8(x-2009)2 + y2 =25 (*) Vì y2 ≥ nên (x-2009)2 ≤ 0.5đ 25 , suy (x-2009)2 = (x-2009)2 =1 0.5đ Với (x -2009)2 =1 thay vào (*) ta có y2 = 17 (loại) Với (x- 2009)2 = thay vào (*) ta có y2 =25 suy y = (do y ∈ ) 0.5đ Từ ú tỡm c (x=2009; y=5) 0.5 Đề số 52: đề thi häc sinh giái (Thêi gian lµm bµi 120 phót) 1 1 Bµi TÝnh + + + + 1.6 6.11 11.16 96.101 1 Bµi Tìm giá trị nguyên dơng x y, cho: + = x y Bài Tìm hai số dơng biết: tổng, hiệu tích chúng tỷ lệ nghịch với số 20, 140 Bài Tìm x, y thoả mÃn: x + x − + y − + x = Bài Cho tam giác ABC cã gãc ABC = 500 ; gãc BAC = 700 Phân giác góc ACB cắt AB M Trên MC lấy điểm N cho góc MBN = 400 Chøng minh: BN = MC §Ị sè 52: 71 Trường em http://truongem.com ®Ị thi häc sinh giái (Thêi gian lµm bµi 120 phót) Bài 1:(4 điểm) a) Thực phép tính: A= 212.35 − 46.92 ( 3) + − 510.73 − 255.492 (125.7 ) + 59.143 b) Chứng minh : Với số nguyên dương n : 3n + − 2n+ + 3n − 2n chia hết cho 10 Bài 2:(4 điểm) Tìm x biết: a x − + = ( −3, ) + 5 b ( x − ) Bài 3: (4 điểm) x +1 − ( x − 7) x +11 =0 c) Số A chia thành số tỉ lệ theo : : Biết tổng bình phương ba số 24309 Tìm số A d) Cho a c a2 + c2 a = Chứng minh rằng: 2 = c b b +c b Bài 4: (4 điểm) Cho tam giác ABC, M trung điểm BC Trên tia đối của tia MA lấy điểm E cho ME = MA Chứng minh rằng: a) AC = EB AC // BE b) Gọi I điểm AC ; K điểm EB cho AI = EK Chứng minh ba điểm I , M , K thẳng hàng c) Từ E kẻ EH ⊥ BC ( H ∈ BC ) Biết HBE = 50o ; MEB =25o Tính HEM BME Bài 5: (4 điểm) Cho tam giác ABC cân A có A = 200 , vẽ tam giác DBC (D nằm tam giác ABC) Tia phân giác góc ABD cắt AC M Chứng minh: g) Tia AD phân giác góc BAC h) AM = BC ……………………………… Hết ……………………………… 72 Trường em http://truongem.com ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM MƠN TỐN Bài 1:(4 điểm): Đáp án Thang điểm a) (2 điểm) 212.35 − 46.92 510.73 − 255.492 10 212.35 − 212.34 510.73 − 74 A= − = 12 12 − 9 3 ( 3) + (125.7) + 14 + + 0,5 điểm 212.34 ( − 1) 510.73 (1 − ) = 12 − ( + 1) 59.73 (1 + 23 ) 0,5 điểm 10 212.34.2 ( −6) = 12 − 3 −10 = − = 0,5 điểm 0,5 điểm b) (2 điểm) n + - Với số nguyên dương n ta có: 3n + − 2n+ + 3n − 2n = 3n + + 3n − 2n+ − 2n = 3n (32 + 1) − 2n (22 + 1) = 3n ⋅10 − 2n ⋅ = 3n ⋅10 − 2n−1 ⋅10 = 10( 3n -2n) Vậy 3n + − 2n+ + 3n − 2n M 10 với n số nguyên dương 0,5 điểm điểm 0,5 điểm Bài 2:(4 điểm) Đáp án Thang điểm a) (2 điểm) 0,5 điểm 0,5 điểm 0,5 điểm 0,5 điểm 73 Trường em x− http://truongem.com 4 −16 + = ( −3, ) + ⇔ x − + = + 5 5 ⇔ x− 14 + = 5 0,5 điểm 0,5 điểm  x −1 = ⇔ x− =2⇔   x−1=−2    x=2+1= 3 ⇔  x=−2+1= −5 3   0,5 điểm 0,5 điểm b) (2 điểm) ( x − 7) x +1 − ( x − 7) x +11 =0 1 − ( x − )10  =   ( x +1) 1 − ( x − )10  = ⇔ ( x − 7)     x −7  x +1=0    ⇔   1−( x −7)10 =0    ⇔  x −7=0⇒ x =7 10  ( x −7) =1⇒ x =8 ⇔ ( x − 7) x +1 Bài 3: (4 điểm) Đáp án Thang điểm a) (2,5 điểm) Gọi a, b, c ba số chia từ số A Theo đề ta có: a : b : c = a2 +b2 +c2 = 24309 (2) Từ (1) ⇒ : : (1) 0,5 điểm 0,5 điểm k a b c = = = k ⇒ a = k;b = k; c = 6 0,5 điểm 74 Trường em http://truongem.com + + ) = 24309 25 16 36 ⇒ k = 180 k = −180 Do (2) ⇔ k ( 0,5 điểm + Với k =180, ta được: a = 72; b = 135; c = 30 Khi ta có số A = a + b + c = 237 + Với k = −180 , ta được: a = −72 ; b = −135 ; c = −30 Khi ta có só A = −72 +( −135 ) + ( −30 ) = −237 b) (1,5 điểm) Từ 0,5 điểm 0,5 điểm a c = suy c = a.b c b a + c a + a.b 2 = b +c b + a.b a ( a + b) a = = b ( a + b) b 0,5 điểm 0,5 điểm Bài 4: (4 điểm) Đáp án Thang điểm 0,5 điểm Vẽ hình A I M B C H K E a/ (1điểm) Xét ∆AMC ∆EMB có : AM = EM (gt ) AMC = EMB (đối đỉnh ) BM = MC (gt ) Nên : ∆AMC = ∆EMB (c.g.c ) ⇒ AC = EB Vì ∆AMC = ∆EMB ⇒ MAC = MEB 0,5 điểm 75 Trường em http://truongem.com (2 góc có vị trí so le tạo đường thẳng AC EB cắt đường thẳng AE ) Suy AC // BE 0,5 điểm b/ (1 điểm ) Xét ∆AMI ∆EMK có : AM = EM (gt ) MAI = MEK ( ∆AMC = ∆EMB ) AI = EK (gt ) Nên ∆AMI = ∆EMK ( c.g.c ) 0,5 điểm Suy AMI = EMK Mà AMI + IME = 180o ( tính chất hai góc kề bù ) o ⇒ EMK + IME = 180 ⇒ Ba điểm I;M;K thẳng hàng 0,5 điểm c/ (1,5 điểm ) Trong tam giác vng BHE ( H = 90o ) có HBE = 50o o o o o ⇒ HBE = 90 - HBE = 90 - 50 =40 0,5 điểm o o o ⇒ HEM = HEB - MEB = 40 - 25 = 15 0,5 điểm BME góc ngồi đỉnh M ∆HEM Nên BME = HEM + MHE = 15o + 90o = 105o ( định lý góc tam giác ) 0,5 điểm Bài 5: (4 điểm) A 20 M D B C 76 Trường em http://truongem.com -Vẽ hình a) Chứng minh ∆ ADB = ∆ ADC (c.c.c) suy DAB = DAC Do DAB = 200 : = 100 b) ∆ ABC cân A, mà A = 200 (gt) nên ABC = (1800 − 200 ) : = 800 ∆ ABC nên DBC = 600 Tia BD nằm hai tia BA BC suy ABD = 800 − 600 = 200 Tia BM phân giác góc ABD nên ABM = 100 Xét tam giác ABM BAD có: AB cạnh chung ; BAM = ABD = 200 ; ABM = DAB = 100 Vậy: ∆ ABM = ∆ BAD (g.c.g) suy AM = BD, mà BD = BC (gt) nên AM = BC điểm 0,5 điểm 0,5 điểm 0,5 điểm 0,5 điểm 0,5 điểm Lưu ý: Nếu học sinh làm theo cách khác đạt điểm tối đa §Ị sè 53: ®Ị thi häc sinh giái (Thêi gian lµm bµi 120 phút) Câu ( điểm) Thực phép tính :   2  1 a 6. −  − 3. −  + 1 : (− −    3    3   ) 2  3 2003    −  (− 1) 3  4 b  2      −     12  C©u ( điểm) a Tìm số nguyên a để a2 + a + số nguyên a +1 b Tìm số nguyên x, y cho x- 2xy + y = Câu ( điểm) a Chøng minh r»ng nÕu a + c = 2b vµ 2bd = c(b + d) th× a c = víi b, d khác b d b Cần sè h¹ng cđa tỉng S = + + + để đợc số có ba chữ số giống Câu ( điểm) 77 Trng em http://truongem.com Cho tam gi¸c ABC cã gãc B b»ng 450 , góc C 1200 Trên tia đối tia CB lÊy ®iĨm D cho CD = 2CB Tính góc ADE Câu ( 1điểm) Tìm số nguyên tố thoả mÃn : x2- 2y2 = Đáp án chấm Toán Hớng dẫn chấm Câ u 1.a Thực theo bớc kết -2 cho ®iĨm tèi ®a 1.b Thùc hiƯn theo tõng b−íc ®óng kÕt qu¶ 14,4 cho ®iĨm tèi ®a 2.a a + a + a (a + 1) + 3 Ta cã : = =a+ §iĨm 1§iĨm 1§iĨm 0,25 a +1 a +1 a +1 a +a+3 a số nguyên nên số nguyên số nguyên a +1 a +1 hay a+1 ớc ta có bảng sau : a+1 -3 -1 a -4 -2 VËy víi a∈ {− 4,−2,0,2} th× 2.b a2 + a + số nguyên a +1 0,25 0,25 0,25 Tõ : x- 2xy + y = Hay (1- 2y)(2x - 1) = -1 0,25 Vì x,y số nguyên nên (1 - 2y)và (2x - 1) số nguyên ta có trờng hỵp sau : 1 − y = x = ⇒  2 x − = −1  y = 0,25 78 Trường em http://truongem.com 0,25 1 − y = −1  x = ⇒ 2 x − = y = Hoặc 0,25 0,5 a c = ( ĐPCM) b d Giả sử số có chữ số aaa =111.a ( a chữ số khác 0) 0,5 n(n + 1) = 111a = 3.37.a Hay n(n + 1) =2.3.37.a 0,25 VËy n(n+1) chia hÕt cho 37 , mà 37 số nguyên tố n + < 74 ( Nếu n = 74 không thoả mÃn ) Do n=37 n + = 37 3.a Vậy có cặp số x, y nh thoả mÃn điều kiện đầu Vì a + c = 2b nªn tõ 2bd = c(b + d) Ta cã: (a + c)d =c(b + d) 0,25 Hay ad = bc Suy 3.b Gäi sè sè h¹ng cđa tỉng lµ n , ta cã : n(n + 1) = 703 không thoả mÃn n(n + 1) Nếu n + 1=37 n = 36 lúc = 666 thoả mÃn Nếu n =37 n + = 38 lúc Vậy số số hạng tỉng lµ 36 0,5 A H B C D Kẻ DH Vuông góc với AC ACD =600 ®ã CDH = 300 CD ⇒ CH = BC Tam giác BCH cân C CBH = 300 ABH = 150 0,5 Nên CH = Mà BAH = 150 nên tam giác AHB cân H Do tam giác AHD vuông cân H Vậy ADB = 450 + 300 =750 0,5 1,0 1,0 Tõ : x - 2y =1suy x - = 2y 0,25 NÕu x chia hÕt cho v× x nguyên tố nên x = lúc y = nguyên tố 0,25 thoả mÃn 2 2 79 Trường em http://truongem.com NÕu x kh«ng chia hÕt cho x2-1 chia hết cho 2y2 chia hết cho Mà(2;3) =1 nên y chia hết cho x2 =19 không thoả mÃn 0,25 Vậy cặp số (x,y) tìm đợc thoả mÃn điều kiện đầu (2;3) 0,25 Đề số 54: ®Ị thi häc sinh giái (Thêi gian lµm bµi 120 phút) Bài (4đ) Rút gọn biểu thức a- A = a - + - 2a - + a b- + + + + (n − 1) + n + (n − 1) + + + + víi n N Bài (4 đ) Chứng minh : a,b,c số không âm thoả mÃn điều kiện sau : a + c = a + b = N = a + b - c - 17 lµ sè không dơng Tìm a,b,c để N = Bài (4 đ) x2 Cho biểu thøc A = 2+ x BiĨu thøc A cã gi¸ trị lớn hay nhỏ nhát ? Tìm giá trị Câu (4 đ) Cho tam giác cân ABC có ACB = 100 Phân giác CAB cắt CB D Chứng minh AD + DC = AB Bài ( đ) Cho tam giác ABC có AB = AC Trên đờng thẳng vuông góc với AC C lấy điểm D cho hai điểm B , D nằm khác phía đờng thẳng AC Gọi K giao điểm đờng thẳng qua B vuông góc với AB đờng thẳng qua trung điểm M CD vu«ng gãc víi AD Chøng minh KB = KD -***** 80 Trường em http://truongem.com §Ị sè 55: đề thi học sinh giỏi (Thời gian làm 120 phót) Bài 1: Thực phép tính (2 điểm)  69  −1 b/   167 −  + + +   5 a/ :  −  + :  −       11 22   15  ( ( ) −1 −1 )    −1     −1 Bài 2: So sánh (2 điểm) a/ + với 48 + b/ (1 − 50 ) với Bài 3: Tìm x, y, z biết (4,5 điểm) a/ 3(x-2) – 4(2x+1) – 5(2x+3) = 50  b/ :  − x +  =   c/  21 22 3x − y y − 3z z − x = = 37 15 10x - 3y - 2z = -4 Bài 4: (6 điểm) Cho hàm số y = (m + 2009)x + x Biết đồ thị hàm số qua điểm A(-1; -1) a/ Tìm m b/ Vẽ đồ thị hàm số với m tìm c/ Điểm sau không thuộc đồ thị hàm số B(-2; -2) C(5; 1) D(2; 10) d/ Tính diện tích tam giác OBC Bài 5: (5,5 điểm) Cho ∆ABC, góc B = 600, AB = 7cm, BC = 14cm Trên BC lấy điểm D cho góc BAD = 600 Gọi H trung điểm BD a/ Tính độ dài HD b/ Chứng minh ∆DAC cân c/ ∆ABC tam giác gì? 81 Trường em http://truongem.com d/ Chứng minh AB2 + CH2 = AC2 + BH2 ======= ======= (Cán coi thi không giải thích thêm) 82 ... Đề số 26: đề thi học sinh giỏi (Thời gian làm 120 phút) Câu 1: (2đ) Rút gọn A= x x−2 x + x − 20 Câu (2đ) Ba lớp 7A,7B,7C có 94 học sinh tham gia trồng Mỗi học sinh lớp 7A trồng đợc cây, Mỗi học. .. Các toán cụ thể : Hảy chứng minh a) 129219 97 + 333319 97 M Theo toán ta có 129219 97 = M 333319 97 = D3 nh− vËy tæng hai số sẻ có tận ⇒ 129219 97 + 333319 97 M b) Chøng minh 162819 97 + 129219 97 M... cïng ứng dụng vào toán chứng minh chia hết lớp 6 ,7 I phần mở đầu : Tìm chử số tận luỷ thừa toán tơng đối phức tạp học sinh lớp 6 ,7 nhng lại toán hÕt søc lÝ thó , nã t¹o cho häc sinh lòng say mê