Khóa luận tốt nghiệp Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 Phạm Thị Kiều Trang-K34A Giáo dục tiểu học LỜI CẢM ƠN Trong quá trình tìm hiểu, nghiên cứu khóa luận này tôi gặp rất nhiều khó khăn và bỡ ngỡ. Nhưng dưới sự chỉ bảo tận tình của Giảng viên Bùi Văn Bình, tôi đã từng bước tiến hành và hoàn thành khóa luận với đề tài “Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng và bài tập hình học”. Tôi xin chân thành cảm ơn sự giúp đỡ nhiệt tình của thầy. Qua đây, tôi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến các thầy cô giáo trong khoa Giáo dục Tiểu học, các thầy cô trong trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã tạo điều kiện giúp đỡ tôi hoàn thành khóa luận tốt nghiệp này. Tôi xin chân thành cảm ơn. Hà Nội, tháng 05 năm 2012 Sinh viên Phạm Thị Kiều Trang Khóa luận tốt nghiệp Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 Phạm Thị Kiều Trang-K34A Giáo dục tiểu học LỜI CAM ĐOAN Khóa luận của tôi được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của thầy giáo Giảng viên Bùi Văn Bình cùng với sự cố gắng của bản thân. Trong quá trình nghiên cứu tôi có tham khảo một số tài liệu của một số tác giả (đã nêu trong mục tài liệu tham khảo) Tôi xin cam đoan những kết quả trong khóa luận này là kết quả nghiên cứu của bản thân không trùng lập với bất kì kết quả nào khác. Sinh viên Phạm Thị Kiều Trang Khóa luận tốt nghiệp Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 Phạm Thị Kiều Trang-K34A Giáo dục tiểu học MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN LỜI CAM ĐOAN MỞ ĐẦU 1 1.Lý do chọn đề tài. 1 2.Mục đích nghiên cứu: 2 3. Đối tượng, phạm vi nghiên cứu đề tài: 2 4. Nhiệm vụ nghiên cứu: 2 5.Các phương pháp chính: 2 NỘI DUNG 3 CHƯƠNG I: NHỮNG KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ TỌA ĐỘ 3 A. TRỤC VÀ TỌA ĐỘ TRÊN TRỤC. 3 1. VECTƠ 3 2.TRỤC TỌA ĐỘ 3 2.1 Tọa độ của vectơ trên trục. 3 2.2 Tọa độ của điểm trên trục. 4 B.HỆ TRỤC TỌA ĐỘ. 4 1. HỆ TRỤC TỌA ĐỘ. 4 2. TỌA ĐỘ CỦA VECTƠ ĐỐI VỚI HỆ TRỤC TỌA ĐỘ. 4 3.TỌA ĐỘ CỦA MỘT ĐIỂM ĐỐI VỚI HỆ TRỤC TỌA ĐỘ. 5 4. ĐIỂM CHIA ĐOẠN THẲNG THEO TỶ SỐ CHO TRƯỚC. 5 5. BIỂU THỨC TỌA ĐỘ CỦA TÍCH VÔ HƯỚNG. 6 C. PHƯƠNG TRÌNH CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRÒN. 6 1. PHƯƠNG TRÌNH TỔNG QUÁT CỦA ĐƯỜNG THẲNG 6 Khóa luận tốt nghiệp Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 Phạm Thị Kiều Trang-K34A Giáo dục tiểu học 2. HỆ SỐ GÓC CỦA ĐƯỜNG THẲNG. 7 3.PHƯƠNG TRÌNH THAM SỐ CỦA ĐƯỜNG THẲNG. 7 4. KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM TỚI MỘT ĐƯỜNG THẲNG. 7 5.VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG. 8 6.GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG. 9 7.PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN. 10 CHƯƠNG II: GIẢI CÁC BÀI TOÁN HÌNH HỌC PHẲNG BẰNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ. 11 A. HƯỚNG DẪN HỌC SINH SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ HƯỚNG KHI GIẢI TOÁN. 11 B. CÁC DẠNG TOÁN CƠ BẢN 12 I. DẠNG TOÁN TÍNH TOÁN 12 KẾT LUẬN 43 TÀI LIỆU THAM KHẢO 44 Khóa luận tốt nghiệp Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 Phạm Thị Kiều Trang-K34A Giáo dục tiểu học 1 MỞ ĐẦU 1.Lý do chọn đề tài. Môn toán là một trong những môn học quan trọng hàng đầu trong chương trình giáo dục phổ thông. Nó không chỉ là cơ sở, tiền đề để học tốt các môn học khác mà còn có ứng dụng rất quan trọng trong thực tế. Trong đó phương pháp tọa độ là phương pháp toán học cơ bản kết hợp với phương pháp tổng hợp để nghiên cứu những đối tượng và quan hệ hình học trên mặt phẳng và trong không gian. Nó là công cụ để giải các bài toán quỹ tích khó hoặc các bài chứng minh mà không giải được bằng suy luận. Sự ra đời của phương pháp tọa độ đã thiết lập mối quan hệ mật thiết giữa hình học và đại số là hai ngành toán học phát triển theo hai hướng khác nhau của toán học. Phương pháp tọa độ là phương pháp chuyển các yếu tố hình học về các yếu tố đại số. Nhằm tạo cho học sinh cách nhìn nhận vấn đề có nhiều góc cạnh khác nhau và cung cấp cho học sinh một công cụ mới để giải các bài toán hình học phẳng. Vì thế, việc đưa ra phương pháp tọa độ vào phương trình hình học là nhằm hiện đại hóa môn học. Đồng thời sẽ giúp học sinh có thêm một công cụ mới để diễn đạt, suy luận, để suy nghĩ về toán học theo một phương pháp khác với các phương pháp quen thuộc từ trước tới nay. Xuất phát từ những lý do trên, tôi đi đến quyết định chọn đề tài nghiên cứu: “phương pháp tọa độ trong mặt phẳng và bài tập hình học” để làm đề tài nghiên cứu khoa học của mình. Khóa luận tốt nghiệp Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 Phạm Thị Kiều Trang-K34A Giáo dục tiểu học 2 2. Mục đích nghiên cứu: Giúp học sinh giải quyết một bài toán hình học phẳng bằng nhiều cách giải khác nhau. Giới thiệu cho học sinh làm quen với phương pháp tọa độ để cho học sinh thấy được những ứng dụng rộng rãi và tính ưu việt của phương pháp này. 3. Đối tượng, phạm vi nghiên cứu đề tài: 1. Đối tượng nghiên cứu: Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng và bài tập hình học. 2. Phạm vi nghiên cứu: Vì lý do thời gian và trình độ của mình nên trong phạm vi của đề tài nghiên cứu này tôi chỉ đề cập đến một số dạng toán điển hình trong hình học phẳng với kiến thức không vượt quá chương trình toán học lớp 10 trung học phổ thông. 4. Nhiệm vụ nghiên cứu: Tóm tắt một số kiến thức cơ bản có liên quan đến phương pháp tọa độ mà học sinh đã học. Thông qua các bài tập ở một số dạng toán cơ bản để thấy được tầm quan trọng của phương pháp tọa độ trong việc giải các bài toán hình học phẳng ở phổ thông. 5. Các phương pháp chính: - Phương pháp nghiên cứu tài liệu lý luận. - Phương pháp quan sát. - Phương pháp điều tra. - Phương pháp tổng kết kinh nghiệm. Khóa luận tốt nghiệp Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 Phạm Thị Kiều Trang-K34A Giáo dục tiểu học 3 NỘI DUNG CHƯƠNG I: NHỮNG KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ TỌA ĐỘ A. TRỤC VÀ TỌA ĐỘ TRÊN TRỤC. 1. VECTƠ Vectơ AB  : A là điểm đầu, B là điểm cuối. Khi A trùng với B gọi là vectơ không: 0  AB  : độ dài của vectơ AB  2.TRỤC TỌA ĐỘ Trục tọa độ(còn gọi là trục hay trục số)là 1 đường thẳng trên đó đã xác định 1 điểm O và một vectơ i  có độ dài bằng 1. Điểm O gọi là gốc tọa độ , vectơ i  gọi là vectơ đơn vị của trục tọa độ. 2.1 Tọa độ của vectơ trên trục. AB =m i  ( số thực m là số duy nhất được gọi là tọa độ của vectơ AB  ) Nếu A,B có tọa độ lần lượt là a,b. Khi đó: AB  có tọa độ là (b-a) x x’ O i  Khóa luận tốt nghiệp Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 Phạm Thị Kiều Trang-K34A Giáo dục tiểu học 4 2.2 Tọa độ của điểm trên trục. Cho điểm A trên trục x’Ox. Khi đó OA ai   thì A được gọi là tọa độ của điểm A trên trục. Cho điểm   1 2 ;A a a , điểm B   1 2 ;b b . Khi dó điểm   ;M x y là trung điểm của AB thì: 1 1 2 2 2 2 M M a b x a b y            B.HỆ TRỤC TỌA ĐỘ. 1. HỆ TRỤC TỌA ĐỘ. Trên mặt phẳng cho 2 trục 'xOx (vectơ đơn vị i  ), 'y Oy (vectơ đơn vị j  ) vuông góc với nhau tại O. Hệ gồm 2 trục nói trên gọi là hệ trục tọa độ, kí hiệu   0; ;Oxy hay i j   Điểm O gọi là gốc tọa độ Trục Ox gọi là trục hoành Trục Oy gọi là trục tung 2. TỌA ĐỘ CỦA VECTƠ ĐỐI VỚI HỆ TRỤC TỌA ĐỘ. -Đối với hệ trục tọa độ   ; ;o i j   , nếu a xi y j      thì cặp số   ;x y được gọi là tọa độ của vectơ a  , ký hiệu là     ; ;a x y hay a x y    -Tính chất: y 0 x’ y’ i  x j  Khóa luận tốt nghiệp Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 Phạm Thị Kiều Trang-K34A Giáo dục tiểu học 5 Nếu     ' ' ; à ;u x y v v x y     thì:   ' ' ; u v x x y y         ;ku kx ky   2 2 u x y   3.TỌA ĐỘ CỦA MỘT ĐIỂM ĐỐI VỚI HỆ TRỤC TỌA ĐỘ. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho điểm M. Khi đó tọa độ OM gọi là tọa độ điểm M đối với hệ Oxy .   ;OM xi y j M x y       *Định lý:     ' ' ; , ;A x y B x y   thì:       ' ' 2 2 ' ' ;AB x x y y AB AB x x y y           4. ĐIỂM CHIA ĐOẠN THẲNG THEO TỶ SỐ CHO TRƯỚC. Điểm M gọi là chia đoạn thẳng AB theo tỷ số k nếu: MA k MB   Nếu     ' ' ; à ;A x y v B x y     và M chia AB theo tỷ số 1k  thì điểm M có tọa độ là: ' ' , 1 1 M M x kx y ky x y k k       Đặc biệt nếu M là trung điểm đoạn AB thì: Khóa luận tốt nghiệp Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 Phạm Thị Kiều Trang-K34A Giáo dục tiểu học 6 ' ' 2 2 M M x x x y y y            5. BIỂU THỨC TỌA ĐỘ CỦA TÍCH VÔ HƯỚNG. Nếu :   1 2 ;a a a     1 2 ;b b b   thì 1 1 2 2 . a b a b a b     C. PHƯƠNG TRÌNH CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRÒN. 1. PHƯƠNG TRÌNH TỔNG QUÁT CỦA ĐƯỜNG THẲNG Trong mặt phẳng tọa độ cho điểm   0 0 ;I x y và vectơ   ; 0 n a b   Gọi  là đường thẳng đi qua I, có vectơ pháp tuyến là n  thì phương trình đường thẳng có dạng:     0 0 0 a x x b y y     Hay:   2 2 0 0 (1) ax by c a b     Khi đó phương trình (1) được gọi là phương trình tổng quát của . x y I 0 M n   [...]... giải bài toán hình học phẳng bằng phương pháp tọa độ đòi hỏi học sinh phải được luyện tập, vận dụng tổng hợp những kiến thức có liên quan Học sinh cần nắm được các bước giải một bài toán bằng phương pháp tọa độ: + B1: Chọn hệ tọa độ thích hợp + B2: Phiên dịch bài toán sang ngôn ngữ tọa độ + B3: Dùng các kiến thức tọa độ để giải + B4: Phiên dịch kết quả từ ngôn ngữ tọa độ sang ngôn ngữ hình học Trong. .. CÁC BÀI TOÁN HÌNH HỌC PHẲNG BẰNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ A HƯỚNG DẪN HỌC SINH SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ HƯỚNG KHI GIẢI TOÁN Với nhiều bài toán hình học phẳng có chứa các quan hệ hình học như: thẳng hàng, song song, vuông góc … hay chứa yếu tố khoảng cách, nếu ta chọn hệ tọa độ thích hợp thì có thể chuyển thành bài toán đại số với các quan hệ giữa những số , những chữ, những vectơ và những phép toán các bài. .. vi bài viết này, tôi xin đưa ra ba dạng bài toán có thể sử dụng phương pháp tọa độ để giải (có so sánh với phương pháp tổng hợp) đó là: - Bài toán tính toán - Bài toán chứng minh - Bài toán tìm quỹ tích Phạm Thị Kiều Trang-K34A Giáo dục tiểu học 11 Khóa luận tốt nghiệp Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 B CÁC DẠNG TOÁN CƠ BẢN I DẠNG TOÁN TÍNH TOÁN Đối với những bài toán tính toán thì việc giải bằng phương. .. toán tính toán thì việc giải bằng phương pháp sơ cấp đôi khi rất khó khăn, phức tạp Do vậy phương pháp tọa độ sẽ là công cụ giải toán tói ưu cho loại bài toán này (vì nó thường liên quan đến khoảng cách mà phương pháp tọa độ thường cho ta biểu diễn khoảng cách các điểm một cách dễ dàng) Bài toán 1: Trên trục x’Ox cho 3 điểm A,B,C có tọa độ lần lượt là a,b,c Tìm tọa độ điểm M sao cho :    ... Giáo dục tiểu học 2  y  y     2 0 0 14 Khóa luận tốt nghiệp Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 = 8R 2  4  x02  y02  = 8R 2  40 P 2 Vậy AB 2  CD 2  8R 2  40 P 2 và AB 2  CD2 lớn nhất  O  P AB 2  CD2 nhỏ nhất  P  đường tròn tâm O Bài toán 5 Trên mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho 2 điểm M(1;3); N(4;2) a Tìm tọa độ điểm P thuộc trục Ox và cách đều 2 điểm M và N b Tính chu vi và diện tích... Trang-K34A Giáo dục tiểu học 22 Khóa luận tốt nghiệp Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 2 2 2 Từ (1) và (2)=>AC + BC = 4R ( R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC) II DẠNG TOÁN CHỨNG MINH Với nhiều bài toán cách chứng minh bằng phương pháp tổng hợp có thể ngắn gọn hơn phương pháp tọa độ nhưng để tìm được hướng chứng minh thật không đơn giản Khi vẽ hình với các dữ kiện đã cho của bài toán xuất phát... Theo giả thiết ta có MA có tọa độ a – x (x la tọa độ điểm M)  MB có tọa độ b – x  MC có tọa độ c – x Vậy (1)  a – x + b – x + c – x = 0 x= abc 3 Bài toán 2: Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC với A(2;3), B(-1;1), C(6;0) Hỏi tam giác ABC la tam giác gì? Lời giải Phạm Thị Kiều Trang-K34A Giáo dục tiểu học 12 Khóa luận tốt nghiệp Ta có: AB  x B Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 2 2 x AC...  M  x, y   và có vectơ chỉ phương u  a; b  thì phương trình đường thẳng có dạng: I  x0, y0  0 x  x  x0  at  a 2  b 2  0  (1)    y  y0  bt  Hệ (1) được gọi là phương trình tham số của đường thẳng  với tham số t 4 KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM TỚI MỘT ĐƯỜNG THẲNG Trong mặt phẳng tọa độ cho đường thẳng  có phương trình tổng quát: Phạm Thị Kiều Trang-K34A Giáo dục tiểu học 7 Khóa luận... TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN Trên mặt phẳng tọa độ, cho đường tròn (C), có tâm I  x0 , y0  và bán kính R y Điểm M  x, y  thuộc đường tròn (C) và chỉ y0 Khi IM  R , hay là phương trình của đường 0 tròn : x  x  0 2 2   y  y0   R M y I x0 x x (1) Ta gọi phương trình (1) là phương trình của đường tròn (C) Phạm Thị Kiều Trang-K34A Giáo dục tiểu học 10 Khóa luận tốt nghiệp Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2... 1 Phạm Thị Kiều Trang-K34A Giáo dục tiểu học 16 Khóa luận tốt nghiệp Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 Bài toán 6 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho ABC có trọng tâm G  2;0  Biết phương trình các cạnh AB, BC theo thứ tự là 4 x  y  14  0,2 x  5 y  0 Tìm tọa độ các đỉnh A, B, C Lời giải Ta có; A  AB  AC  Tọa độ điểm A là nghiệm của hệ 4 x  y  14  0  x  4   2 x  5 y  2  0  . quan đến phương pháp tọa độ mà học sinh đã học. Thông qua các bài tập ở một số dạng toán cơ bản để thấy được tầm quan trọng của phương pháp tọa độ trong việc giải các bài toán hình học phẳng. phương pháp này. 3. Đối tượng, phạm vi nghiên cứu đề tài: 1. Đối tượng nghiên cứu: Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng và bài tập hình học. 2. Phạm vi nghiên cứu: Vì lý do thời gian và trình. phương pháp khác với các phương pháp quen thuộc từ trước tới nay. Xuất phát từ những lý do trên, tôi đi đến quyết định chọn đề tài nghiên cứu: phương pháp tọa độ trong mặt phẳng và bài tập hình