Lược đồ xấp xỉ phương trình toán tử và một số ứng dụng

73 200 1
  • Loading ...
1/73 trang

Thông tin tài liệu

Ngày đăng: 23/07/2015, 23:44

1 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 NGUYỄN VĂN THƯỜNG LƯỢC ĐỒ XẤP XỈ PHƯƠNG TRÌNH TOÁN TỬ VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Toán Gi ải Tích Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS. NGUYỄN VĂN KHẢI HÀ NỘI, 2012 2 LỜI CẢM ƠN Luận văn được hoàn thành tại Trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội 2 dưới sự hướng dẫn của TS. Nguyễn Văn Khải. Tác giả xin trân trọng cảm ơn Ban giám hiệu Trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội 2, Phòng Sau đại học, các thầy cô giáo trong nhà trường, các thầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán giải tích đã tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tác giả kết thúc tốt đẹp chương trình cao học và hoàn thành luận văn tốt nghiệp. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn tới thầy giáo TS. Nguyễn Văn Khải, người đã luôn quan tâm, động viên, tận tình hướng dẫn trong suốt quá trình làm luận văn. Tác giả trân trọng cảm ơn Sở Giáo dục và đào tạo Hưng Yên, Trường THPT Yên Mỹ, gia đình, bạn bè cùng học… đã tạo mọi điều kiện giúp đỡ tác giả hoàn thành tốt luận văn. Hà Nội, tháng 12 năm 2012 Tác giả Nguyễn Văn Thường 3 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan luận văn này là công trình nghiên cứu của riêng tôi dưới sự hướng dẫn của TS. Nguyễn Văn Khải. Trong quá trình nghiên cứu, tôi đã kế thừa thành quả khoa học của các nhà khoa học và tham khảo các tài liệu, đặc biệt là tài liệu “ Phương trình sai phân và một số ứng dụng” của nhóm tác giả Lê Đình Thịnh, Đặng Đình Châu, Phan Văn Hạp với sự trân trọng biết ơn. Hà Nội, tháng 12 năm 2012 Tác giả Nguyễn Văn Thường 4 MỤC LỤC Lời cảm ơn……………………………………………………………… 2 Lời cam đoan…………………………………………………………… 3 Mở đầu…………………………………………………………………… 5 Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 7 1.1. Không gian Banach………………………………………………… 7 1.2. Phương trình vi phân cấp 2………………………………………… 14 1.3. Phương trình vi phân tuyến tính cấp 2…………………………… 16 1.4. Phương trình sai phân…………………………………………… 27 1.5. Giới thiệu về phần mềm Maple………………………………… 33 1.6. Các lệnh lập trình cơ bản…………………………………………… 38 Chương 2. LƯỢC ĐỒ XẤP XỈ PHƯƠNG TRÌNH TOÁN TỬ 43 2.1. Một số khái niệm cơ bản…………………………………………… 43 2.2. Sự hội tụ của lược đồ xấp xỉ……………………………………… 50 Chương 3. MỘT SỐ ỨNG DỤNG 58 3.1. Sự hội tụ của lược đồ sai phân trong bài toán biên của phương trình vi phân cấp 2………………………………………………………………… 58 3.2. Ứng dụng phần mềm Maple vào giải bài toán biên của phương trình vi phân cấp 2…………………………………………………………………. 61 Kết luận …………………………………………………… 72 Tài liệu tham khảo………………………………………… 73 5 MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Phương pháp sai phân là một phương pháp cơ bản của toán học, được nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu và có nhiều ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực của toán học. Bản chất phương pháp này là đưa bài toán cần nghiên cứu ( thường là phức tạp) về một dãy các bài toán rời rạc ( thường là đơn giản hơn). Trong quá trình sai phân hoá (rời rạc hoá) bài toán liên tục, một số vấn đề nảy sinh có ý nghĩa sâu sắc: điều kiện xấp xỉ, điều kiện ổn định và khái niệm hội tụ. Với mong muốn tìm hiểu bản chất phương pháp sai phân và bước đầu nghiên cứu một số ứng dụng của phương pháp này, tôi mạnh dạn nhận nghiên cứu luận văn tốt nghiệp “ LƯỢC ĐỒ XẤP XỈ PHƯƠNG TRÌNH TOÁN TỬ VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG”. 2. Mục đích nghiên cứu Hệ thống hoá một số vấn đề xấp xỉ phương trình toán tử. Nêu được một số ứng dụng với phần mềm chạy trên Maple. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu lược đồ xấp xỉ phương trình toán tử, điều kiện đủ để bảo đảm cho một lược đồ xấp xỉ phương trình toán tử hội tụ và bài toán ứng dụng. 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Phương pháp sai phân, hệ phương trình sai phân, lược đồ xấp xỉ các phương trình toán tử và ứng dụng của nó. 5. Phương pháp nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu chính là phương pháp của giải tích hàm và phương pháp sai phân. 6 6. Dự kiến đóng góp mới Nêu ứng dụng của xấp xỉ phương trình toán tử và phần mềm Maple trong bài toán biên của phương trình vi phân cấp 2. 7 Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1. Không gian Banach 1.1.1. không gian Banach Định nghĩa 1.1. Xét một tập hợp X ≠  cùng với ánh xạ d: X × X  R thỏa mãn các điều kiện: a) d (x, y)  0  x, y  X ; b) d(x, y) = 0  x = y; c) d(x, y) = d(y, x)  x, y  X; d) d(x, y)  d(x, z) + d(z, y)  x, y, z  X. Khi đó tập hợp X cùng với d là một không gian metric và ký hiệu là (X, d) hoặc đơn giản X nếu không sợ nhầm; và ánh xạ d được gọi là hàm khoảng cách. Định nghĩa 1.2. Cho không gian metric X và dãy các phần tử x n  X. Khi đó x* được gọi là giới hạn của dãy { x n } n  N nếu lim n   d( x n , x*) = 0 và kí hiệu lim n   x n = x*. Định nghĩa 1.3. Dãy { x n }  X được gọi là dãy Cauchy nếu   > 0,  N 0 sao cho  n, m  N 0 thì d( x n , x m ) <  . Định nghĩa 1.4. Không gian metric X thỏa mãn điều kiện mỗi dãy Cauchy đều có một điểm giới hạn a  X được gọi là không gian metric đủ. Định nghĩa 1.5. Cho tập hợp X ≠Ø cùng với phép toán hai ngôi viết theo lối cộng (+) và một ánh xạ  : R × X  X với mỗi k  R và mỗi x  X thì phần tử  ( k, x) được gọi là tích ngoài của số k với phần tử x và được kí hiệu là k x. Giả sử rằng các điều kiện sau được thỏa mãn: 1, ( X, +) là một nhóm Abel với phần tử trung hòa  , nghĩa là: a) x + (y + z) = (x + y) + z  x, y, z  X; 8 b) x + y = y + x  x, y  X; c) Trong X tồn tại phần tử  sao cho x +  =  + x = x  x  X; d) Với mỗi phần tử x  X, tồn tại phần tử đối (- x) sao cho x + (- x) =  . 2, Tích ngoài có tính chất: a) 1. x = x  x  X; b) k( l x) = ( k l)x  k, l  R  x  X; c) Giữa tích ngoài và phép toán hai ngôi có luật phân phối: i) ( k + l)x = k x + l x  k, l  R  x  X; ii) k(x + y) = k x + k y  k  R  x, y  X. Khi đó X là một không gian tuyến tính trên R và mỗi phần tử x  X được gọi là một vecto. Trong nhiều trường hợp không gian tuyến tính trên R cũng được gọi là không gian vecto trên R. Định nghĩa 1.6. Giả sử X là một không gian tuyến tính trên R. Ánh xạ . : X  R xác định trên X, lấy giá trị trên tập số thực x  R  x  X thỏa mãn các điều kiện: a) x  0  x  X; b) x = 0  x = 0; c) x y x y     x, y  X; d) . x x      R  x  X; được gọi là một chuẩn trên X. Không gian tuyến tính X cùng với chuẩn . được gọi là một không gian tuyến tính định chuẩn. Trong không gian tuyến tính định chuẩn X ta có thể định nghĩa hàm khoảng cách d như sau: 9 ( , ) d x y x y   . Khi đó X là một không gian metric với khoảng cách d nêu trên. Nếu với metric đó, X là không gian đủ thì X được gọi là không gian Banach. Ví dụ 1.1: Xét C [0,1] các hàm số liên tục trên đoạn [0, 1]. Với x(t), y(t)  C [0,1] và k  R ta định nghĩa: (x + y)(t) = x(t) + y(t)  t  [0, 1]; (k x)(t) = k. x( t)  t  [0, 1]. Khi đó   0,1 C cùng với hai phép toán trên là một không gian tuyến tính trên R. Với x  C [0,1] , đặt   0, 1 ax ( ) t x m x t   thì . là một chuẩn trên C [0,1] và có thể chứng minh rằng C [0,1] cùng với chuẩn nêu trên là một không gian Banach. 1.1.2. Toán tử tuyến tính trong không gian Banach Định nghĩa 1.7. Cho hai không gian vecto bất kỳ X và Y trên R. Một ánh xạ A: X  Y gọi là một ánh xạ tuyến tính hay toán tử tuyến tính nếu: a) A(x 1 + x 2 ) = A x 1 + A x 2 với mọi x 1 , x 2  X; b) A(  x) =  A x với mọi x  X với mọi số  . Ở đây ta viết A x thay cho A(x) để chỉ phần tử ứng với x trong ánh xạ A. Nếu Y = X thì ta cũng nói A là một toán tử tuyến tính trong X. Định nghĩa 1.8. Giả sử X, Y là hai không gian định chuẩn. Toán tử A từ X vào Y gọi là liên tục nếu x n  x 0 luôn luôn kéo theo A x n  A x 0 . Toán tử A từ X vào Y gọi là bị chặn (giới nội) nếu có một hằng số K > 0 sao cho A x K x   x  X. Chuẩn bên trái bất đẳng thức là chuẩn trong Y, còn chuẩn bên phải là chuẩn trong X. 10 Định lý 1.1. Một toán tử tuyến tính A từ X vào Y là liên tục khi và chỉ khi nó bị chặn. Chứng minh. Giả sử toán tử A liên tục. Ta chứng minh có một hằng số K sao cho A x K  với mọi x mà 1 x  . Thật vậy, giả sử điều ngược lại tức là: ( n) (  x n ) 1 n x  , A n x K  . Đặt x n ’ = x n n thì x n ’  và ' 1. n n n Ax Ax A x n n    Vậy A x’ không tiến tới phần tử   Y trái với giả thiết A liên tục. Từ đó tồn tại số K với tính chất trên. Với mọi x ≠0 ta có 1 x x  , cho nên A x K x  do đó A x K x  . Ngược lại, giả sử tồn tại hằng số K và x n  x 0 . Ta có 0 0 0 ( ) 0 n n n A x A x A x x K x x       . Vậy A liên tục tại x 0 . Định nghĩa 1.9. Số K > 0 nhỏ nhất thỏa mãn điều kiện trên được gọi là chuẩn của toán tử A được ký hiệu A . Như vậy: a) . ; x X Ax A x    b) Nếu x X Ax K x    thì A K  . Xét phương trình A x = y trong đó A là toán tử tuyến tính từ X vào Y, với X và Y là hai không gian tuyến [...]... ekx ≠ 0, ta có k2 + pk + q = 0 (1.11) Vậy nếu k thỏa mãn phương trình (1.11) thì hàm số y = ekx là một nghiệm riêng của phương trình (1.9) Phương trình (1.11) được gọi là phương trình đặc trưng của phương trình vi phân (1.9) Xét ba trường hợp sau: Trường hợp 1: Phương trình đặc trưng (1.11) có hai nghiệm thực phân biệt k1 và k2 khi ấy phương trình (1.9) có hai nghiệm k 1x k2x y1 = e , y2 = e Hai nghiệm... Tìm nghiệm tổng quát của phương trình y” - 3y’ + 2y = ex(4 + 3x) Giải: Phương trình đặc trưng tương ứng có dạng : k2 - 3k + 2 = 0 giải phương trình đặc trưng ta được k1 = 1, k2 = 2 Do đó nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất tương ứng của phương trình đã cho là: y = C1ex + C2e2x Mặt khác  = 1 là nghiệm đơn của phương trình đặc trưng nên một nghiệm riêng của phương trình đã cho có dạng y =... C2 là hai hằng số tùy ý Ví dụ 1.8: Cho phương trình y’’ + 2y’ + 5y = 0 phương trình đặc trưng tương ứng k2 + 2k + 5 = 0 có các nghệm phức k1 = -1 + 2i; k2 = -1 - 2i Nghiệm tổng quát của phương trình vi phân đã cho là: y = e-x(C1 cos2x + C2 sin2x) 1.3.3.2 Phương trình không thuần nhất Định nghĩa 1.15 Phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 có hệ số không đổi không thuần nhất là phương trình có dạng :... của phương trình đặc trưng ( bao gồm cả trường hợp phương trình đặc trưng vô nghiệm) thì 2 + p + q ≠0 Do đó vế trái của (1.15) cũng là một đa thức bậc n cùng với đa thức ở vế phải Đồng nhất các hệ số của lũy thừa cùng bậc của x ở hai vế của (1.15) ta tìm được các hệ số của đa thức Qn(x) (n + 1 hệ số từ n + 1 phương trình) Phương pháp xác định hệ số của Qn(x) như trên được gọi là phương pháp hệ số. .. 1, f (x) = x - 5 1.3.1 Phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 thuần nhất Phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 thuần nhất có dạng y” + p(x)y’ + q(x)y = 0 (1.7) Định lí 1.5 Nếu y1(x) và y2(x) là hai nghiệm của phương trình (1.7) thì y = C1 y1(x) + C2 y2(x) trong đó C1 và C2 là hai hằng số cũng là nghiệm của phương trình đó Chứng minh Vì y1(x) và y2 (x) là hai nghiệm của phương trình (1.7) nên y”1 + p(x)y’1... +Y cũng là nghiệm của phương trình (1.8) Vì y phụ thuộc hai hằng số tùy ý nên y = y + Y cũng phụ thuộc hai hằng số tùy ý, do đó nó là nghiệm tổng quát phương trình (1.8) Định lí 1.9 ( Nguyên lý chồng chất nghiệm) Cho phương trình: y” + p(x)y’ + q(x)y = f1(x) + f2(x) Nếu y1(x) là một nghiệm riêng của phương trình y”+ p(x)y’ + q(x)y = f1(x); y 2(x) là một nghiệm riêng của phương trình y’’+ p(x)y’ + q(x)y... nghiệm riêng của phương trình y” - 2y’ + y = 1 + 2x Giải: phương trình đặc trưng k2 - 2k + 1 = 0 Trong trường hợp này  = 0 không phải là nghiệm của phương trình đặc trưng nên một nghiệm riêng của phương trình đã cho có dạng: y = ex (A x + B) = A x + B thế y, y’, y” vào phương trình đã cho ta được A x + B - 2A = 2x+1  A2   B  2 A 1  A2  B  5 Vậy nghiệm riêng của phương trình đã cho là... y1(x) + y2(x) là một nghiệm riêng của phương trình đã cho Chứng minh y” + p(x)y’ + q(x)y = (y1 + y2)” + p(x)(y1 + y2)’ + q(x)( y1 + y2) = = [y”1 + p(x)y’1 + q(x)y1] + [y”2 + p(x)y’2 + q(x)y2] = f1(x) + f2(x) Vậy y = y1(x) + y2(x) là một nghiệm của phương trình đã cho 21 1.3.3 .Phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 có hệ số không đổi 1.3.3.1 Phương trình thuần nhất Định nghĩa 1.14 Phương trình vi phân... được gọi là phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất Nếu fn  0 thì (1.16) được gọi là phương trình sai phân tuyến tính không thuần nhất Nếu fn  0 và a0, a1, …, ak là các hằng số, a0 ≠ 0; a k ≠ 0 thì phương trình ( 1.16) trở thành Lh xn = a0 xn+k + a1 xn+k-1 +…+ ak xn = 0; ( 1.17) và được gọi là phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất cấp k với các hệ số hằng số Định nghĩa 1.18 Hàm số xn biến... một công việc vào trong một chu trình (procedure) duy nhất, sau đó ta chỉ cần gọi chu trình này và Maple tự động thực hiện các lệnh có trong chu trình đó một cách tuần tự và sau đó trả lại kết quả cuối cùng Maple chứa một lượng rất lớn các hàm tạo sẵn đáp ứng cho những yêu cầu tính toán khác nhau trong nhiều lĩnh vực Các hàm này được lưu trữ trong các gói chu trình (package) và người sử dụng có thể dễ . tốt nghiệp “ LƯỢC ĐỒ XẤP XỈ PHƯƠNG TRÌNH TOÁN TỬ VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG”. 2. Mục đích nghiên cứu Hệ thống hoá một số vấn đề xấp xỉ phương trình toán tử. Nêu được một số ứng dụng với phần mềm. Nghiên cứu lược đồ xấp xỉ phương trình toán tử, điều kiện đủ để bảo đảm cho một lược đồ xấp xỉ phương trình toán tử hội tụ và bài toán ứng dụng. 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Phương pháp. phân, hệ phương trình sai phân, lược đồ xấp xỉ các phương trình toán tử và ứng dụng của nó. 5. Phương pháp nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu chính là phương pháp của giải tích hàm và phương
- Xem thêm -

Xem thêm: Lược đồ xấp xỉ phương trình toán tử và một số ứng dụng, Lược đồ xấp xỉ phương trình toán tử và một số ứng dụng, Lược đồ xấp xỉ phương trình toán tử và một số ứng dụng

Từ khóa liên quan

Gợi ý tài liệu liên quan cho bạn