LỜI CẢM ƠN Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học sư phạm Hà Nội 2 dưới sự hướng dẫn của PGS.TS.Nguyễn Năng Tâm. Tôi xin bày tỏ lòng cảm ơn chân thành và sâu sắc tới PGS. TS.Nguyễn Năng Tâm, người đã luôn quan tâm, động viên, giúp đỡ tôi trong suốt quá trình tôi làm luận văn. Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới Ban giám hiệu trường Đại học sư phạm Hà Nội 2, phòng sau đại học, các thầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán giải tích đã tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình học tập và nghiên cứu. Tôi xin gửi lời cảm ơn tới ban giám hiệu trường THPT Nhã Nam, sở giáo dục và đào tạo Bắc Giang, bạn bè và người thân đã tạo điều kiện cho tôi trong suốt quá trình theo học và quá trình hoàn thiện bản luận văn này. Hà Nội, tháng 6 năm 2012 Tác giả Thân Văn Trung LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan bản luận văn này là công trình nghiên cứu của riêng tôi dưới sự hướng dẫn của PGS.TS. Nguyễn Năng Tâm. Số liệu và các kết quả nghiên cứu trong luận văn này là trung thực và không trùng lặp với các đề tài khác. Hà Nội, tháng 6 năm 2012 Tác giả Thân Văn Trung Mục lục Bảng ký hiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 Mở đầu 6 Chương 1. MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN 8 1.1 Không gian R n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.1.1 Tích vô hướng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.1.2 Chuẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.1.3 Sự hội tụ của dãy . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.2 Tập lồi và hàm lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.2.1 Tập lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.2.2 Tập mở, tập đóng . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.2.3 Tập bị chặn và tập Compact . . . . . . . . . . . . 11 1.2.4 Hàm lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.3 Dạng toàn phương và hệ bất phương trình toàn phương . 12 1.3.1 Dạng toàn phương . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.4 Bài toán tối ưu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.4.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 Chương 2. HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH TOÀN PHƯƠNG VÀ ỨNG DỤNG 16 2.1 Sự tồn tại nghiệm của hệ bất phương trình toàn phương lồi và ứng dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.2 Ứng dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 4 Chương 3. HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH TOÀN PHƯƠNG THUẦN NHẤT, TỔNG QUÁT VÀ ỨNG DỤNG 26 3.1 Sơ lược về hàm toàn phương . . . . . . . . . . . . . . . . 26 3.2 Sự tồn tại nghiệm của hệ thuần nhất, hệ tổng quát . . . 28 3.2.1 Hệ hai bất phương trình toàn phương . . . . . . . 28 3.2.2 Hệ ba bất phương trình toàn phương . . . . . . . 42 3.2.3 Điều kiện tối ưu cho bài toán "miền tin cậy" . . . 54 Kết luận 58 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 BẢNG KÝ HIỆU ∅ tập rỗng x ∈ X x thuộc tập X x /∈ X x không thuộc tập X A \ B hiệu của tập A và tập B A ∪ B hợp của tập A và tập B A ∩ B giao của tập A và tập B R tập hợp số thực R n không gian vectơ n chiều R n + tập các vectơ không âm của R n intR n + phần trong của R n + S n×n tập các ma trân đối xứng cỡ n × n R m×n tập các ma trận cấp m × n ||x|| chuẩn của x ∇f gradient của f < x, y > tích vô hướng của hai vectơ x và y x T chuyển vị của x A T ma trận chuyển vị của A Q ≥ 0 ma trận Q nửa xác định dương MỞ ĐẦU 1. Lí do chọn đề tài Nhiều vấn đề trong Toán học liên quan đến các bất phương trình toàn phương. Những bất phương trình toàn phương thường xuất hiện một cách tự nhiên trong nhiều lĩnh vực của Toán học như: Tối ưu hóa, điều khiển tối ưu và kỹ thuật. Nhiều tác giả trong và ngoài nước đã nghiên cứu hệ những bất phương trình toàn phương với những khía cạnh khác nhau cùng những ứng dụng của chúng và đã thu được nhiều kết quả lý thú. Sự tồn tại nghiệm của hệ bất phương trình toàn phương đóng vai trò quan trọng trong việc nghiên cứu bài toán tối ưu xác định bởi một hàm mục tiêu toàn phương. Nhận biết được vai trò quan trọng của những bất phương trình toàn phương, sau khi được học những kiến thức của chương trình cao học chuyên ngành Giải tích và được sự động viên của PGS.TS Nguyễn Năng Tâm tôi quyết định chọn đề tài “Hệ bất phương trình toàn phương và ứng dụng vào lý thuyết tối ưu” để nghiên cứu. 2. Mục đích nghiên cứu - Tìm hiểu về hệ bất phương trình toàn phương. - Áp dụng những kết nghiên cứu đã biết về hệ bất phương trình toàn phương vào nghiên cứu bài toán tối ưu toàn phương. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu về hệ bất phương trình toàn phương lồi và ứng dụng của nó vào nghiên cứu bài toán tối ưu 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu 6 7 - Đối tượng: Các bất phương trình toàn phương và toàn phương lồi. - Phạm vi: Các bất phương trình toàn phương hữu hạn chiều, sự tồn tại nghiệm của chúng. 5. Phương pháp nghiên cứu - Sử dụng phương pháp nghiên cứu của giải tích toán học dựa trên những tài liệu có liên quan đến bất phương trình toàn phương. - Phân tích, tổng hợp kết quả. 6. Đóng góp của luận văn - Nghiên cứu làm rõ sự tồn tại nghiệm của hệ bất phương trình toàn phương lồi, ứng dụng trong lí thuyết tối ưu - Tổng hợp, hệ thống một số kết quả đã được các nhà toán học nghiên cứu và công bố về bất phương trình toàn phương lồi. Chương 1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN 1.1 Không gian R n Định nghĩa 1.1.1. Với R là tập số thực, ta kí hiệu R n là tập tấp cả các bộ được sắp n số thực: x = (x 1 , x 2 , , x n ); x i ∈ R, 1 ≤ i ≤ n, x i được gọi là tọa độ thứ i của x. Với cặp phần tử trong R n : x = (x 1 , x 2 , , x n ), y = (y 1 , y 2 , , y n ) ta gọi tổng x + y là phần tử trong R n cho bởi x + y = (x 1 + y 1 , x 2 + y 2 , , x n + y n ). Với mỗi λ ∈ R, x = (x 1 , x 2 , , x n ) ∈ R n ta gọi tích của x với số vô hướng λ là phần tử λx = (λx 1 , λx 2 , , λx n ). Đặc biệt, ta kí hiệu −x = (−x 1 , −x 2 , , −x n ) và 0 = (0, 0, , 0). Ta có R n cùng với hai phép toán trên là một không gian vectơ trên trường số thực R. Do đó, mỗi phần tử x ∈ R n được gọi là một n-vectơ hay một vectơ thực n chiều . 1.1.1 Tích vô hướng Với mỗi cặp vectơ x, y ∈ R n ta định nghĩa tích vô hướng của x và y là số thực sau < x, y >= x 1 y 1 + x 2 y 2 + + x n y n . 9 Rõ ràng, tích vô hướng < ., . > là một ánh xạ từ R n ×R n vào R. Các tính chất của tích vô hướng được thể hiện trong mệnh đề sau. Mệnh đề 1.1.1. Với mọi x, y, z ∈ R n và λ ∈ R ta có: a) < x, x >≥ 0 b) < x, x >= 0 ⇔ x = 0 c) < x, y >=< y, x > d) < λx, y >=< x, λy >= λ < x, y > e) < x, y + z >=< x, y > + < x, z > . Hai vectơ x và y được gọi là trực giao với nhau được kí hiệu là x ⊥ y nếu < x, y >= 0. 1.1.2 Chuẩn Với mỗi vectơ x ∈ R n , ta gọi chuẩn của x là số thực ||x|| được định nghĩa bởi ||x|| = √ < x, x > =  x 2 1 + x 2 2 + + x 2 n . Định lý 1.1.1. Với mọi x, y ∈ R n ta có: a) ||x|| ≥ 0 b) ||x|| = 0 ⇔ x = 0 c) ||λ|| = |λ|.||x|| d) ||x + y|| ≤ ||x|| + ||y|| 1.1.3 Sự hội tụ của dãy Cho (x k ) k∈N ⊂ R n là một dãy các vectơ. Ta nói dãy này hội tụ về vectơ x ∈ R n , và kí hiệu x = lim k→∞ x k . Nếu dãy số thực ||x k − ¯x|| k∈N hội tụ về không. Tức là x = lim k→∞ x k ⇐⇒ lim k→∞ ||x k − ¯x||) = 0. 10 1.2 Tập lồi và hàm lồi 1.2.1 Tập lồi Cho x, y ∈ R n . Đoạn thẳng nối x, y kí hiệu là [x, y], là tập hợp các điểm z = tx + (1 − t)y, ∀t ∈ [0, 1]. Khái niệm tập lồi là một khái niện quan trọng trong lí thuyết tối ưu. Tập lồi là tập mà với hai điểm bất kì của nó, đoạn thẳng nối hai điểm đó chứa trọn trong nó. Định nghĩa 1.2.1. Tập X ⊂ R n được gọi là lồi nếu λx + (1 − λ)y ∈ X, ∀x, y ∈ X, λ ∈ [0, 1]. Theo định nghĩa tập ∅ là tập lồi. Ví dụ 1.2.1. Các tam giác và hình tròn trong mặt phẳng là các tập lồi. Hình cầu đơn vị trong R n là tập lồi. 1.2.2 Tập mở, tập đóng Định nghĩa 1.2.2. Cho X ⊂ R n là tập lồi. Ta gọi vectơ v ∈ R n , v = 0, là phương lùi xa của X nếu ∀x ∈ X, ∀t > 0 =⇒ x + tx ∈ X Định nghĩa 1.2.3. Cho x 0 ∈ R n ,  > 0, ta gọi tập B(x 0 , ) = {x ∈ R n : ||x − x 0 || < } là hình cầu mở trong R n có tâm tại x 0 , bán kính . Định nghĩa 1.2.4. Tập U ⊂ R n gọi là mở nếu với mọi x 0 ∈ U, tồn tại  > 0 sao cho B(x 0 , ) ⊂ U. Tập F ⊂ R n gọi là đóng nếu U = R n \F là mở. Nếu tập F là tập lồi thì ta gọi nó là tập lồi đóng. [...]... chương 2: Trong chương này chúng ta đã trình bày một số kết quả về sự tồn tại nghiệm của hệ bất phương trình toàn phương, ứng dụng của hệ bất phương trình toàn phương vào lý thuyết tối ưu Chương 3 HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH TOÀN PHƯƠNG THUẦN NHẤT, TỔNG QUÁT VÀ ỨNG DỤNG Trong phần này chúng ta sẽ dùng một số kí hiệu về hàm toàn phương n S+ = {M ∈ S n×n : M ≥ 0} là nón nửa xác định dương Với A là ma trận ta... trình bày một số khái niệm cơ bản về không gian Rn , và một số tập con của nó, tập lồi, hàm lồi sẽ được dùng trong các chương sau Chương 2 HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH TOÀN PHƯƠNG VÀ ỨNG DỤNG Trong chương này chúng ta sẽ nghiên cứa sự tồn tại nghiệm của hệ bất phương trình toàn phương lồi Nội dung của chương này chủ yếu lấy từ [5] và các trích dẫn trong đó Để xét sự tồn tại nghiệm của hệ bất phương trình toàn. .. là tập lồi đóng 2.1 Sự tồn tại nghiệm của hệ bất phương trình toàn phương lồi và ứng dụng Xét hệ bất phương trình toàn phương lồi fi (x) ≤ i , i = 1, 2, , m, i ≥ 0, 1 trong đó fi (x) = 2 xT Qx+ < qi , x > +ci là hàm toàn phương với i = 1, , m Ta kí hiệu X( ) là tập nghiệm của hệ trên Định lý 2.1.1 Cho = ( k , k , , 1 2 k m ), k i ≥ 0 Kí hiệu X( ) là tập nghiệm của hệ sau: X( ) = {x ∈ Rn | fi (x) ≤ k... ||y ∗ − y k ||, ∀k Cho k → ∞ và sử dụng Định lí 2.1.1, ta kết luận rằng hệ trên có nghiệm x∗ Mặt khác, tồn tại x∗ ∈ X sao cho y ∗ = Ax∗ + a, y ∗ ∈ Y Do đó Y là tập đóng 2.2 Ứng dụng Sau đây ta xét vài ứng dụng của hệ bất phương trình toàn phương Hệ quả 2.2.1 Xét bài toán có ràng buộc toàn phương lồi sau:   T min{f0 (x) = 1 xT Q0 x + q0 x}  2      với điều kiện :      1 T  T  x Q1... 2 chứng tỏ f (λx + (1 − λ)y) > λf (x) + (1 − λ)f (y) Vậy f (x) = x3 không là hàm lồi trên R 12 1.3 Dạng toàn phương và hệ bất phương trình toàn phương 1.3.1 Dạng toàn phương Dạng toàn phương trong Rn là một ánh xạ f : Rn → R xác định bởi: f (x) =< x, Qx >, trong đó, x = (x1 , x2 , , xn )T và  a a  11 12   a21 a22 Q=    an1 an2 a1n    a2n      ann là ma trận đối xứng,... C gọi là nghiệm tối ưu (toàn cục) nếu f (x∗ ) ≤ f (x); ∀x ∈ C Một lời giải x ∈ C được gọi là nghiệm tối ưu địa phương nếu nó có một lân cận mở W ⊂ Rn của x sao cho f (x) ≤ f (x), ∀x ∈ W ∩ C Tập hợp các nghiệm tối ưu toàn cục của (1.1) gọi là tập nghiệm của (1.1) Nhiều khi C được cho bởi {x ∈ Rn | gi (x) ≤ 0 (i = 1, , m)}, 15 trong đó gi : Rn → R, i = 1, , m là các hàm số Các bất phương trình gi (x)... Gordan cho các bất phương trình toàn phương nghiêm ngặt 28 Bổ đề 3.1.4 (Bổ đề thay thế định lí Yuan [6, bổ đề 2.3 ]) Cho A1 , A2 ∈ S n , khi đó một trong các kết quả sau đây đúng: 1 i) ∃x ∈ Rn : 2 xT A1 x < 0, 1 T 2 x A2 x n + < q, x > +c, 2 trong đó x ∈ Rn , Q là ma trận đối xứng cấp n, q ∈ Rn là vectơ, c ∈ R 1 Ví dụ 1.3.1 Cho hàm toàn phương f (x) = 2 {x2 + 2x2 − 6x1 x2 } Rõ 1 2  1 −3  ràng f (x) là dạng toàn phương Ma trận Q có dạng Q =  −3 2 1 Ví dụ 1.3.2 Cho hàm toàn phương g(x) = 2 {2x2 − 3x2 − x1... Trong phần này chúng ta sử dụng các định lí thay thế cho hệ bất phương trình liên quan đến hàm toàn phương Kết quả có được bằng cách khái quát định lí Dine cho nón liên tục, được xác định như sau: Định nghĩa 3.2.1 Tập K ⊂ Rn là một nón liên tục nếu K ∪ (−K) là một không gian con của Rn Chúng ta kiểm tra hàm bậc hai thuần nhất với nón liên tục *Hệ toàn phương thuần nhất Định lý 3.2.1 (Tổng quát định lí . hệ bất phương trình toàn phương. - Áp dụng những kết nghiên cứu đã biết về hệ bất phương trình toàn phương vào nghiên cứu bài toán tối ưu toàn phương. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu về hệ bất. về hệ bất phương trình toàn phương lồi và ứng dụng của nó vào nghiên cứu bài toán tối ưu 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu 6 7 - Đối tượng: Các bất phương trình toàn phương và toàn phương lồi. -. cứu hệ những bất phương trình toàn phương với những khía cạnh khác nhau cùng những ứng dụng của chúng và đã thu được nhiều kết quả lý thú. Sự tồn tại nghiệm của hệ bất phương trình toàn phương