Luận văn tốt nghiệp Nguyễn Thị Loan Phần Mở đầu Lý chọn đề tài Trong học l­ỵng tư cịng nh­ lý thut tr­êng l­ỵng tư, có sai khác lý thuyết tắc kết thực nghiệm, người ta thường dùng phương pháp gần để giải Tuy nhiên nhiều tượng vật lý lại không dễ dàng thấy phương pháp nhiễu loạn, chẳng hạn phá vỡ đối xứng tự phát, chuyển pha trạng thái Điều có đòi hỏi phải có phương pháp không nhiễu loạn mà bao gồm tất bậc khai triển lý thuyết nhiễu loạn mà lại giữ yếu tố phi tuyến lý thuyết phương pháp tác dụng hiệu dụng, phương pháp gần đúng, phương pháp nhóm lượng tử mà cấu trúc đại số biến dạng Trong năm gần việc nghiên cứu nhóm lượng tử đại số lượng tử đà thu hút quan tâm nhiều nhà vật lý lý thuyết cấu trúc toán học phù hợp với nhiều vấn đề vật lý lý thuyết thống kê lượng tử, quang học phi tuyến, vật lý chất rắn Nhóm lượng tử đại số lượng tử biểu diễn nhiệt dung thuận lợi hình thức luận dao động tử điều hoà biến dạng Xuất phát từ vấn đề nêu trên, lựa chọn đề tài luận văn áp dụng phương pháp lý thuyết trường lượng tử nghiên cứu nhiệt dung vật rắn Mục đích luận văn Nghiên cứu hình thức luận dao động tử điều hoà, từ áp dụng hình thức luận dao động tử điều hoà biến dạng q để nghiên cứu nhiệt dung vật rắn (của kim loại) Trong luận văn đà giải thích sai lƯch cđa lý thut nhiƯt dung cđa Einstein ë vïng nhiệt độ thấp dựa quan điểm hình thức luận Luận văn tốt nghiệp Nguyễn Thị Loan dao động tử điều hoà biến dạng q tìm hệ thøc nhiƯt dïng CV phơ thc vµo tham sè biÕn dạng Đối tượng phạm vi nghiên cứu - Đối tượng: Nhiệt dung vật rắn - Phạm vi nghiên cứu: Kim loại Phương pháp nghiên cứu Phương pháp lý thuyết trường lượng tử Phương pháp vật lý thống kê Phương pháp giải tích Luận văn tốt nghiệp Nguyễn Thị Loan Phần Nội dung Chương Đại cương nhiệt dung Nhiệt dung Để tìm hiểu rõ khái niệm nhiệt dung ta cần xem xét số khái niện nhiệt độ, nhiệt lượng Theo quan điểm động lực học phân tử , nhiệt độ đại lượng vật lý đặc trưng cho tính chất vĩ mô vật, thể mức độ nhanh hay chậm chuyển động nhiệt hỗn loạn phân tử cấu tạo nên vật Nội hệ bao gồm lượng tất dạng chuyển động (chuyển động tịnh tiến, quay dao động nguyên tử phân tử) tương tác hạt tạo nên hệ (tương tác phân tử lượng nội nguyên tử, lượng nội hạt nhân lượng khác) Nội ký hiệu U Quá trình truyền nhiệt trình trao đổi lượng hệ với môi trường xung quanh mà không làm thay đổi thông số ngoại Lượng lượng trao đổi trình gọi nhiệt lượng Q Thông thường người ta quy ước nhiệt lượng Q dương hệ nhận nhiệt từ bên ngoài, nhiệt lượng Q âm nhiệt chuyển từ hệ bên Từ hai khái niệm nhiệt độ nhiệt lượng trên, ta đến khái niệm nhiệt dung sau Nhiệt dung đo nhiệt lượng cần thiết để đốt nóng hệ tăng lên 10, nghĩa C= Q dT Đơn vị nhiệt dung (1.1) J cal K K Bên cạnh khái niệm nhiệt dung vật trên, hai vật làm vật liƯu th× nhiƯt dung cđa vËt tû lƯ víi khèi lượng chúng, Luận văn tốt nghiệp Nguyễn Thị Loan người ta đưa khái niệm nhiệt dung riêng C đặc trưng cho đơn vị khối lượng chất cấu tạo nên vật Nhiệt dung riêng đo nhiệt lượng cần thiết để đốt nóng đơn vị khối lượng tăng lên 10 C= Q (1.2) m.dT J cal hay kg.K kg.K Đơn vị nhiệt dung riêng Trong nhiều trường hợp, lượng vật chất tính theo mol, nhiệt dung tính theo mol, gọi nhiệt dung mol (nhiệt dung phân tử gam) 1mol = 6,023.1023 đơn vị lượng chất Đơn vị nhiệt dung mol lµ: J mol.K NhiƯt dung mol cđa mét chÊt đo nhiệt lượng cần thiết để đốt nóng mol chất tăng lên 10 Nhiệt dung đẳng áp nhiệt dung đẳng tích Bởi nhiệt lượng Q phụ thuộc vào tính chất trình, nhiệt dung C hệ phụ thuộc vào điều kiện xác định tỷ số Q dT , tức tuỳ thuộc vào trình Cïng mét hƯ cã thĨ cã nhiỊu nhiƯt dung kh¸c Trị số nhiệt dung biến thiên từ - đến + Tuỳ thuộc vào trình Về người ta chia nhiệt dung làm hai loại: nhiệt dung đẳng tích CV nhiệt dung đẳng áp CP 2.1 Nhiệt dung đẳng tích Q CV =    (1.3)  dT V 2.2 NhiÖt dung đẳng áp Q CP = (1.4) dT P Luận văn tốt nghiệp Nguyễn Thị Loan 2.3 Liên hệ nhiệt dung Theo nguyên lý I Nhiệt động lực học, hệ đơn giản ta có Q = dU + W = dU + pdv (1.5) U = U(V,T), từ  U  U Q =   dT     P  dV ,      T V  V T  C=  dV  U   U  ,       P dT  T V  V T  dT Q (1.6) (1.7) ®ã U CV =   ,   (1.8)  U  dV U CP =       P   ,        T  a  V T  dT  P (1.9)  T V suy  U  dV CP – CV =    P        V T  dT  P (1.10) §èi víi khÝ lý t­ëng CP CV = R, (1.11) Trong sè mol, R lµ h»ng sè khÝ R = NA.kB = 8,31J/mol.K Nh­ vËy ®èi víi khÝ lý t­ëng nhiƯt dung đẳng tích nhiệt dung đẳng áp có chênh lệch rõ nét áp dụng số kết Nguyên lý II Nhiệt động lực học, cã hÖ thøc CP - CV = T V02 , V T (1.12) Víi  lµ hƯ sè në đẳng áp Luận văn tốt nghiệp Nguyễn Thị Loan T hệ số chịu nén đẳng nhiệt V0 thể tích OK Vì T T có giá trị dương nên CP CV > hay CP > CV Kết thực nghiệm cho thấy chất rắn chất lỏng nhiệt dung đẳng tích nhiệt dung đẳng áp có sai khác không vài phần trăm Kết luận : Trong chương đà nắm định nghĩa, biểu thức nhiệt dung, mối liên hệ nhiệt dung đẳng áp nhiệt dung đẳng tích Luận văn tốt nghiệp Nguyễn Thị Loan Chương Hình thức luận dao động tử điều hoà Dao động tử điều hoà Phổ lượng dao động tử điều hoà tuyến tính tìm phương pháp đại số biểu diễn số hạt Từ biÓu thøc Hamiltonian ˆ2 ˆ ˆ P  m Q , H 2m (2.1) ˆ ˆ P, Q toán tử xung lượng toạ độ, thoả mÃn hệ thức giao hoán [ P, Q] i (2.2) Đặt ˆ  m  (a   a ), ˆ P  i  ˆ   ˆ    (a   a ) ˆ Q   ˆ  2m  (2.3) ˆ ˆ Dễ dàng chứng minh toán tử a, a thoả mÃn hệ thức giao hoán ˆ [a, a  ]  1, [a, a ] a (2.4) Hamiltonian (2.1) biểu diễn theo công thøc ˆ ˆˆ ˆ ˆ H  aa   a  a  ,   ˆ  ˆ ˆ 1 H   a  a    2  (2.5) ViƯc nghiªn cøu phổ lượng dao động tử điều hoà quy toán tìm véc tơ riêng trị riêng Hamiltonian (2.5), để làm điều ta định nghĩa mét to¸n tư míi nh­ sau ˆ ˆ ˆ N aa (2.6) Toán tử N thoả mÃn hƯ thøc giao ho¸n ˆ ˆ ˆ [ N , a ]   a, (2.7) ˆ ˆ ˆ [N , a ] a , có phương trình trị riêng hàm riêng Luận văn tốt nghiệp Nguyễn ThÞ Loan ˆ N n nn (2.8) ViƯc tÝnh to¸n cho chóng ta c¸c kÕt ln sau ˆ - Các trị riêng n toán tử N số không âm: n - Nếu n véc tơ riêng toán tử N ứng với trị riêng n, a P n ˆ vµ a  P n víi P = 1, 2, 3, véc tơ riêng toán tử N ứng với trị riêng (n-p) (n+p), tương ứng Hamiltonian (2.5) có dạng H   N    , 2  (2.9) với trị riêng (2.10)  ( n )   n    Vậy phổ lượng dao động tử điều hoà có giá trị gián đoạn, cách Hiệu số lượng hai trạng thái kề luôn lượng tử lượng Trạng thái n đoán nhận trạng thái chứa n lượng tử lượng, toán tử N có trị riêng nguyên không âm cách đơn vị đoán nhận toán tử số lượng tử lượng Toán tử a tác dụng lên n cho trạng thái tỷ lệ với n (2.11) ˆ a n  n n 1 , ˆ toán tử a tác dụng lên n cho trạng thái tỷ lệ với n a n  n 1 n 1 , (2.12) ˆ Vì a, a đoán nhận toán tử huỷ lượng tử lượng sinh lượng tử lượng Trạng thái chân không thoả mÃn phương trình (1.13) a0 Các véc tơ trạng thái n thoả mÃn điều kiện trực chuẩn Luận văn tèt nghiƯp Ngun ThÞ Loan m n   m,n , n  n ˆ a n! (2.14) Trong biểu diễn số hạt, trạng thái dừng dao động tử điều hoà coi tập hợp nhiều hạt hạt có lượng , gọi chuẩn hạt Hệ nhiều hạt đồng Cơ học lượng tử đà rút kết luận sau hệ nhiều hạt đồng nhất: Hamiltonian hệ hạt đồng bất biến (đối xứng) phép hoán vị hai hạt Vì trạng thái vật lý hệ nhiều hạt đồng phải trạng thái bất biến phép hoán vị hạt Đó nội dung nguyên lý bất khả phân biệt hạt đồng Với hạt sơ cấp khuôn khổ lý thuyết trường lượng tử, sở nguyên lý tương đối Einstein nguyên lý nhân vi mô, Pauli Luders đà chứng minh hạt có spin nguyên (như photon, meson, K-meson, ) phải tuân theo thống kê Bose Einstein gọi boson, hạt có spin bán nguyên (như điện tử, prôtôn, neutron, neutrino, ) phải tuân theo Fermi Dirac gọi fermion Điều khác biệt rõ nét boson fermion fermion tuân theo nguyên lý loại trừ Pauli: Trong hệ nhiều fermion đồng có hạt trạng thái hay nói cách khác, trạng thái hệ bị bỏ trống bị chiếm fermion mà Còn trạng thái hệ boson bị chiếm boson Một phương pháp toán học thuận tiện thường sử dụng nghiên cứu hệ nhiều hạt phương pháp diễn tả trạng thái hệ véc tơ chuẩn hoá không gian Hiebert sử dụng toán tử sinh hạt huỷ hạt ta đà trình bày nghiên cứu dao động tử điều hoà để kiến tạo véc tơ trạng thái nhiều hạt Luận văn tốt nghiệp Nguyễn Thị Loan Các toán tử sinh hạt a toán tử huỷ hạt a lượng tử dao động tử điều hoà thoả mÃn hệ thức giao hoán ˆ ˆ ˆ ˆ [a, a  ]  1, [a, a ]  [a  , a  ] Các hệ thức giao hoán mở cho hệ nhiều hạt nhiều trạng thái kh¸c nh­ sau ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ a , a    , a , a   a          ˆ , a  = (2.15) C©u hái đặt lượng tử dao động tử điều hoà hay cách tổng quát hơn, hạt mà toán tử sinh hạt toán tử huỷ hạt thoả mÃn hệ thức giao hoán (2.15) boson hay fermion? Để trả lời câu hỏi ta hÃy kiến tạo hai véc tơ trạng thái hệ hai hạt hai trạng thái khác a a vµ (2.16) ˆ ˆ   a  a trạng thái chân không, không chứa hạt Vì toán tử sinh hạt thoả mÃn hệ thức giao hoán (2.15) nên ˆ a a   a  a vµ ®ã ta suy    VËy, có hệ thức giao hoán (2.15) nên véc tơ trạng thái hệ hai hạt đồng có tính chất đối xứng phép hoán vị hai hạt, chúng boson Hay nói cách khác toán tử sinh, huỷ bosson phải tuân theo hệ thức giao hoán (2.15) Thế fermion sao? Trong trường hợp fermion véc tơ trạng thái hệ hai hạt đồng phải phản đối xứng phép hoán vị hai hạt, toán tử sinh b huỷ b fermion thoả mÃn , 10 Luận văn tốt nghiệp Nguyễn Thị Loan phổ liên tục từ đến tần số cực đại D (tần số Debye) ta nói tần số dao động vật rắn lớn vô hạn Các sóng có tần số cao mà bước sóng nhỏ khoảng cách nguyên tử, truyền vật rắn Vì lấy tích phân theo tần số, Debye đà chọn tần số cực đại D mà ta xác định phần sau Do có tương tác nguyên tử vật rắn, coi vật rắn môi trường liên tục đàn hồi có hình thành hệ sóng Số sóng đứng đàn hồi thể tích V vật rắn tính theo công thức dn() = 2 d , 2 v3 (4.14) ®ã v tốc độ truyền sóng ta đặc biệt ý tới tần số nhỏ ta cần phải giải thích đường cong nhiệt dung nhiệt độ thấp Như ta đà biết tần số thấp dao động chuẩn mạng tinh thể thực tế sóng âm, tức sóng đàn hồi vật rắn Chú ý rằng, sóng âm vật rắn bao gồm hai sóng ngang phân cực độc lập sóng dọc với tốc độ truyền khác Do ®ã ®èi víi sãng däc ta cã dnd ( )   2v dv , 2 v d sóng ngang dnn ( )   2v dv 2 v3 n (có thừa số phân cực sóng ngang) Nếu ta đưa vào ký hiệu thu gọn   , v vd (4.15) 33 Luận văn tốt nghiệp Nguyễn Thị Loan số sóng đứng đàn hồi thể tích V vật rắn có tần số khoảng từ đến + d, xác định theo hÖ thøc dn( )  3 2V d 2 v3 (4.16) Hệ 3N dao động chuẩn có tần số khác nhau, kể từ tần số cực đại D Giá trị D xác định từ ®iỊu kiƯn D  3V D dn( )   d  3N  2 v  0 (4.17) Sau tÝnh tÝch ph©n ta ®­ỵc N D = v 6    V  (4.18) Gäi a lµ h»ng sè mạng tinh thể ta có a3N = V Từ theo (4.18) ta D v a   (4.19) B­íc sãng cùc tiĨu tương ứng với tần số max = v.T = 2v max  2v D  4   a.     1,62a Trên sở (4.18), ta viết lại (4.16) d­íi d¹ng: dn( )  9N D  d (4.20) Mỗi dao động chuẩn dao động tử điều hoà lượng tử, lượng trung bình dao động chuẩn     KT e 1 (4.21) Năng lượng trung bình hệ 3N dao động chuẩn (nội vật rắn) tính theo công thức 34 Luận văn tốt nghiệp Nguyễn Thị Loan D U    ( )dn( ) Thay biểu thức (4.20), (4.21) vào vế phải công thức ta U E N D N  d  2  2 D D D 3  e  kT d (4.22) 1 Sè h¹ng thø nhÊt ë vÕ phải (4.22) không phụ thuộc vào nhiệt độ T, nhiệt dung CV tính sau N   U  CV     T T V CV Đặt N D D e  D 3  e  kT  KT d 1      d    kT   1     e KT     x ta cã thÓ viÕt kT  kT  CV  Nk 3 D Đại lượng TD =  D kT  e x 4e x x dx D gọi nhiƯt ®é Debye Ta cã biĨu thøc nhiƯt k dung nh­ sau T CV  Nk 3 T  D T T  D x 4e x   dx   ex 1   (4.23) Ng­êi ta th­êng viÕt nhiƯt dung chÊt r¾n d­íi dạng ngắn gọn T CV NkD D T , (4.24) D hàm Debye xác định sau D ( )   x 4e x  e x  (4.25) dx Đối với phân tử gam, nhiệt dung có giá trị 35 Luận văn tốt nghiệp Ngun ThÞ Loan TD   T  (CV)mol = 3RD (4.26) Ta hÃy xét dáng điệu (CV)mol hai vùng nhiệt độ khác biệt Nhiệt độ cao nhiệt độ thấp * Trường hợp nhiệt độ cao Xét vùng nhiệt độ thoả mÃn điều kiện T TD D , với điều kiện k TD có giá trị nhỏ T Ta hÃy khảo sát hàm Debye biến số nhỏ Theo định nghĩa (4.25) ta có D ( )  x 4e x dx   (e x  1) NÕu  rÊt nhá th× ta lấy gần ex x   2, x (e  1) x x D ( )   3  x dx Dựa vào kết nµy vµ biĨu thøc (4.26) ta cã (Cv ) mol 3R (khi T>>TD) Điều có nghĩa vùng nhiệt độ cao lý thuyết Debye phù hợp với định luật Dulong Petit * Trường hợp nhiệt độ thấp Xét vùng nhiệt độ thoả mÃn điều kiện TTE = vùng nhiệt độ thấp T