BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 LÊ MẠNH HÙNG PHƯƠNG PHÁP LAPLACE TRONG KHAI TRIỂN TIỆM CẬN CỦA TÍCH PHÂN LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Hà Nội-2011 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 LÊ MẠNH HÙNG PHƯƠNG PHÁP LAPLACE TRONG KHAI TRIỂN TIỆM CẬN CỦA TÍCH PHÂN LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 604601 Người hướng dẫn khoa học: TS. Nguyễn Văn Hào Hà Nội-2011 Lời cảm ơn Em xin chân thành cảm ơn Phòng sau Đại học; Các thầy giáo, cô giáo trong Khoa Toán cùng toàn thể các anh chị em học viên khóa 13 chuyên ngành Toán giải tích Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, đã động viên giúp đỡ để tác giả có điều kiện tốt nhất trong suốt quá trình thực hiện đề tài nghiên cứu khoa học. Đặc biệt, em xin bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc tới TS. Nguyễn Văn Hào đã định hướng chọn đề tài và tận tình chỉ bảo giúp đỡ em hoàn thành Luận văn này. Do thời gian và kiến thức có hạn nên Luận văn không tránh khỏi những hạn chế và còn có thiếu sót nhất định. Em xin chân thành cảm ơn đã nhận được những ý kiến đóng góp của các thầy giáo, cô giáo và các bạn học viên. Hà Nội, tháng 5 năm 2011 Tác giả Lê Mạnh Hùng Lời cam đoan Em xin cam đoan, dưới sự hướng dẫn của TS. Nguyễn Văn Hào, Luận văn Thạc sỹ chuyên ngành Toán giải tích với đề tài "PHƯƠNG PHÁP LAPLACE TRONG KHAI TRIỂN TIỆM CẬN CỦA TÍCH PHÂN" được hoàn thành bởi chính sự nhận thức của bản thân tác giả, không trùng với bất cứ Luận văn nào khác. Trong quá trình nghiên cứu thực hiện Luận văn, tác giả đã kế thừa những thành tựu của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn! Hà Nội, tháng 5 năm 2011 Tác giả Lê Mạnh Hùng Mục lục Mở đầu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Chương 1. Một số kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.1. Một số kiến thức về giải tích phức . . . . . . 7 1.1.1. Số phức và mặt phẳng phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.1.2. Các tập hợp trong mặt phẳng phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.1.3. Hàm chỉnh hình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.1.4. Chuỗi lũy thừa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.1.5. Tích phân phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.2. Khai triển tiệm cận . . . . . . 23 1.2.1. Một số khái niệm bậc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 1.2.2. Dãy tiệm cận. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 1.2.3. Định nghĩa của Poincarés về khai triển tiệm cận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 1.2.4. Chuỗi lũy thừa tiệm cận. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 1.2.5. Tính chất của khai triển tiệm cận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 Chương 2. Phương pháp tích phân từng phần . . . 40 2.1. Tích phân Euler. . . . . 40 2.1.1. Tích phân Euler loại 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 2.1.2. Tích phân Euler loại 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 2.2. Hàm Gamma không hoàn chỉnh . . . 47 2.3. Tích phân Fresnel và tính chất . . . . 49 2.4. Bài toán của Stieltjes. . . . . . 50 Chương 3. Phương pháp Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 3.1. Ý tưởng của phương pháp Laplace. . . 53 1 3.2. Chứng minh của xấp xỉ Laplace . . . 57 3.3. Một số áp dụng của xấp xỉ Laplace. . . . . . 60 3.4. Mở rộng của phương pháp xấp xỉ Laplace . . . 62 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 2 Mở đầu 1. Lý do chọn đề tài Trong thực tế thường xảy ra rằng, những chuỗi phân kỳ có thể được sử dụng cho sự tính toán giá trị số của một đại lượng mà theo nghĩa nào đó có thể được xem như là “tổng” của chuỗi. Trường hợp điển hình là đối với các chuỗi hàm, bằng sự xấp xỉ bởi một số số hạng đầu tiên của chuỗi thực sự đem lại hiệu quả mong muốn. Trong hầu hết các trường hợp các số hạng đầu tiên của chuỗi giảm nhanh (khi biến số độc lập tiến nhanh tới giá trị giới hạn của nó), nhưng những số hạng sau bắt đầu tăng trở lại. Các chuỗi như vậy được gọi là chuỗi bán hội tụ, và việc tính toán giá trị số thường được thực hiện bởi một số các số hạng đầu của chuỗi. Giải tích tiệm cận được hình thành từ khá sớm, nó được hình thành từ các công trình tính toán của L. Euler. Đến năm 1886, lý thuyết tiệm cận mới được xây dựng một cách hệ thống bởi T. J. Stieltjes và H. Poincaré. Một trong các hướng nghiên cứu của nó được gọi là lý thuyết chuỗi tiệm cận. Trong đó, người ta nghiên cứu các chuỗi mà nó được biểu diễn bởi các dãy hàm tiệm cận. Thường thì các dãy hàm đó được biểu diễn dưới dạng tích phân, chuỗi lũy thừa hoặc dưới dạng như nghiệm của phương trình vi phân. Có một số phương pháp để nghiên cứu tiệm cận của các tích phân 3 như phương pháp tích phân từng phần, phương pháp điểm yên ngựa, phương pháp dừng pha, Để tiếp cận với lý thuyết này, được sự định hướng của người hướng dẫn em chọn đề tài “PHƯƠNG PHÁP LAPLACE TRONG KHAI TRIỂN TIỆM CẬN CỦA TÍCH PHÂN” để hoàn thành Luận văn khóa đào tạo Thạc sỹ chuyên ngành Toán giải tích. Bố cục của luận văn được trình bày trong 03 chương Chương 1. Chúng tôi trình bày một số kiến thức căn bản về lý thuyết hàm số biến số phức và về lý thuyết tiệm cận. Chương 2. Một trong những phương pháp đơn giản nhất để thu được xấp xỉ tiệm cận của tích phân là phương pháp tích phân từng phần. Để hình dung được một cách đơn giản nhất, trong chương này của luận văn chúng tôi minh họa phương pháp bằng các ví dụ cụ thể để thu được xấp xỉ tiệm cận của các tích phân: tích phân Euler loại một và loại hai; hàm Gamma không hoàn chỉnh; tích phân Fresnel và tính chất; bài toán của Stieltjes. Chương 3. Đây là phần chính của luận văn, ở đây chúng tôi trình bày ý tưởng của phương pháp Laplace trong việc xấp xỉ tiệm cận của tích phân có dạng. β  α φ(x)e vh(x) dx. Tuy nhiên, việc đưa ra một chứng minh hoàn chỉnh của phương pháp Laplace theo con đường gợi ý trên đây là rất phức tạp. Trong phần này, chúng tôi giới thiệu một phép chứng minh của G. Pólya và G. Szego với các điều kiện đủ tổng quát cho nhiều áp dụng. Cuối cùng, chúng 4 tôi trình bày một kết quả mở rộng của phương pháp Laplace đối với tích phân chứa tham số dạng β  α φ(x, υ).e h(x,υ) dx. 2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu Luận văn nghiên cứu về lý thuyết tiệm cận và phương pháp Laplace đối với xấp xỉ tiệm cận của tích phân. 3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Phương pháp Laplace đối với tiệm cận của tích phân trong trường hợp một chiều. Ngoài ra, chúng tôi cũng mở rộng thêm cho trường hợp tích phân tham số. 4. Phương pháp nghiên cứu Đọc sách, nghiên cứu tài liệu, tổng hợp kiến thức, vận dụng cho mục đích nghiên cứu. 5. Dự kiến các đóng góp của luận văn Hệ thống hóa các kiến thức căn bản về lý thuyết xấp xỉ tiệm cận; Trình bày phương pháp tích phân từng phần xấp xỉ một số tích phân đặc biệt như tích phân Euler, tích phân Fresnel, bài toán của Stieltjes,. . .; Đưa ra một chứng minh đầy đủ đối với phương pháp Laplace về xấp xỉ 5 của tích phân với những giả thiết đáp ứng được yêu cầu trong những áp dụng thực tiễn. 6 [...]... nhất của dãy khai triển tiệm cận khi z → ∞ là φ(z) Nếu một hàm f (z) có một khai triển tiệm cận tương ứng với zn ∞ a n dãy này, có nghĩa là f (z) ∼ φ(z) Điều đó kéo theo n z n=0 f (z) ∼ φ(z) ∞ n=0 an ; zn chuỗi sau cùng được coi là một khai triển tiệm cận tương ứng với dãy 1 1 Một khai triển tiệm cận tương ứng với dãy được gọi là zn zn một chuỗi lũy thừa tiệm cận Các phép toán với chuỗi lũy thừa tiệm. .. cận của tổng riêng thứ n của một chuỗi vô hạn khi n là đủ lớn, sao cho những bài toán này tồn tại, theo nghĩa bên ngoài của miền này nó không hội tụ Biểu thức của khai triển tiệm cận phụ thuộc vào cách chọn dãy tiệm cận Chẳng hạn, khi z → ∞ thì 1 ∼ z−1 ∞ n=1 1 1 và ∼ zn z−1 ∞ n=1 z+1 z 2n Trong các ví dụ này các khai triển tiệm cận là các chuỗi hội tụ Hơn nữa, hai hàm có thể có cùng khai triển tiệm cận. .. 1.2.2 Dãy tiệm cận Một dãy hàm {φn (z)} được gọi là một dãy tiệm cận khi z → z0 nếu có một lân cận của z0 sao cho trong lân cận này không một hàm nào triệt tiêu (có thể trừ ra tại z0 ) và với mọi n φn+1 = o(φn ) khi z → z0 Chẳng hạn, nếu z0 hữu hạn, {(z − z0 )n } là một dãy tiệm cận khi z → z0 , còn (z)−n là một dãy tiệm cận khi z → ∞ 1.2.3 Định nghĩa của Poincarés về khai triển tiệm cận Một chuỗi... cùng khai triển tiệm cận ∞ n=1 (−1) zn n−1 khi z → ∞, vì z n · e−z → 0 khi z → ∞ trong miền đã cho 1.2.4 Chuỗi lũy thừa tiệm cận Khái niệm về chuỗi lũy thừa tiệm cận Nếu điểm giới hạn z0 là hữu hạn, ta có thể dùng phép đổi biến thành điểm giới hạn vô cùng 1 Chúng ta sẽ giả thiết rằng điều này luôn đúng và chỉ bởi z ∗ = z − z0 xét những khai triển tiệm cận khi z → ∞ trong góc α < phz < β; hoặc trong. .. xn Bởi vì một khai triển chuỗi lũy thừa tiệm cận là duy nhất, nên ta có bn+1 = −nan , nghĩa là ∞ f (x) ∼ − n=2 (n − 1)an−1 xn khi x → +∞ Nói cách khác, khai triển tiệm cận được xác định bởi các số hạng của khai triển của đạo hàm Các kết quả trên được phát biểu cho hàm số biến số thực x khi x → +∞ Chúng ta có thể phát biểu cho hầu hết các trường hợp của một hàm số biến số phức z khi z → ∞ trong một hình... tại một lân cận U của z0 sao cho |f (z)| ≤ ε |φ(z)| với mọi z ∈ U ∩ R Cũng đơn giản hơn, nếu φ(z) không triệt tiêu trong lân cận của z0 có thể trừ ra tại điểm này, thì f (z) = o (φ(z)) nghĩa là f (z) = 0 z→z0 φ(z) lim 24 Tiệm cận tương đương Ta nói f (z) là tiệm cận tương đương với φ(z) khi z → z0 , nếu f (z) ∼ φ(z) khi z → z0 Điều đó có nghĩa là, nếu φ(z) khác không trong một lân cận của z0 có thể... một khai triển tiệm cận của hàm f (z) theo nghĩa Poincarés, tương ứng với dãy tiệm cận {φn (z)} nếu với mọi m m f (z) − an φn (z) = o (φm (z)) n=0 26 khi z → z0 Từ đó ta nhận được m−1 f (z) − an φn (z) = am φm (z) + o (φm (z)) , n=0 tổng riêng m−1 an φn (z) n=0 là một xấp xỉ của hàm f (z) với sai số O (φm ) khi z → z0 , bậc của sai số này có cùng độ lớn với số hạng đầu tiên của phần dư Nếu khai triển. .. có cùng độ lớn với số hạng đầu tiên của phần dư Nếu khai triển tiệm cận tồn tại thì nó là duy nhất và các hệ số của nó được cho bởi m−1 am = lim z→z0 f (z) − an φn (z) n=0 1 φm (z) Nếu một hàm có khai triển tiệm cận theo nghĩa này ta viết ∞ f (z) ∼ an φn (z) n=0 Tổng riêng của một chuỗi có dạng này thường được gọi là một xấp xỉ tiệm cận của hàm f (z) Số hạng đầu tiên được gọi là số hạng trội và f (z)... của x0 , x0 có thể là điểm trong hoặc điểm biên và một lân cận của x0 là một khoảng mở |x − x0 | < δ Nhưng nếu x0 là điểm vô cùng, chúng ta phải phân biệt giữa x → +∞, trong trường hợp này R có thể coi là một khoảng vô hạn x > a và x → −∞, trong trường hợp này R có thể coi là x < b Có một số 27 trường hợp khi R là một tập riêng biệt, chẳng hạn nó có thể là điều kiện cần để tìm một khai triển tiệm cận. .. hạn lần trong đĩa hội tụ của nó Đạo hàm của chuỗi lũy thừa là một chuỗi lũy thừa thu được bằng cách lấy đạo hàm của từng số hạng của nó Một hàm f (z) xác định một tập con mở Ω được gọi là giải tích (hoặc có khai triển chuỗi lũy thừa) tại điểm z0 ∈ Ω nếu tồn tại chuỗi lũy 14 ∞ thừa an (z − z0 )n tâm tại z0 với bán kính hội tụ dương sao cho n=0 ∞ an (z − z0 )n f (z) = n=0 với mọi z trong lân cận của điểm . dạng tích phân, chuỗi lũy thừa hoặc dưới dạng như nghiệm của phương trình vi phân. Có một số phương pháp để nghiên cứu tiệm cận của các tích phân 3 như phương pháp tích phân từng phần, phương pháp. HÙNG PHƯƠNG PHÁP LAPLACE TRONG KHAI TRIỂN TIỆM CẬN CỦA TÍCH PHÂN LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Hà Nội-2011 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 LÊ MẠNH HÙNG PHƯƠNG PHÁP LAPLACE TRONG KHAI. điểm yên ngựa, phương pháp dừng pha, Để tiếp cận với lý thuyết này, được sự định hướng của người hướng dẫn em chọn đề tài “PHƯƠNG PHÁP LAPLACE TRONG KHAI TRIỂN TIỆM CẬN CỦA TÍCH PHÂN” để hoàn