LỜI CẢM ƠN Tác giả xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới các thầy cô giáo trong nhà trường và các thầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán giải tích đã giúp đỡ tác giả trong suốt quá trình học tập. Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu trường Đại học sư phạm Hà Nội 2, phòng Sau đại học đã tạo điều kiện thuận lợi trong quá trình tác giả học tập và nghiên cứu. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn tới gia đình, người thân đã động viên và tạo điều kiện để tác giả hoàn thành luận văn này. Hà Nội, ngày 25 tháng 9 năm 2010 Tác giả Đồng Đại Nghĩa i LỜI CAM ĐOAN Luận văn trình bày những hiểu biết ban đầu của tác giả về về lý thuyết tối ưu vectơ nửa vô hạn tuyến tính, và nó chưa từng được công bố trong bất kỳ công trình khoa học nào của ai khác. Hà Nội, ngày 25 tháng 9 năm 2010 Tác giả Đồng Đại Nghĩa ii BẢNG KÝ HIỆU R n không gian Euclid n-chiều C[T, R] không gian các hàm liên tục trên T L[R n , R m ] không gian các toán tử tuyến tính từ R n vào R m F : X ⇒ Y ánh xạ đa trị từ X vào Y domF tập xác định của F gphF đồ thị của F A L chuẩn của toán tử tuyến tính A trong L[R n , R m ] b ∞ chuẩn supremum của b trong C[T, R] x n chuẩn Euclid của véc tơ x trong R n B hình cầu đơn vị đóng B ρ (x), B(x, ρ) hình cầu đóng tâm x, bán kính ρ co Ω bao lồi của tập Ω cl Ω bao đóng của tập Ω cone Ω nón sinh bởi tập Ω |T | lực lượng của T ✷ kết thúc chứng minh iii Mục lục Mở đầu 1 1 Tính liên tục của ánh xạ tập ràng buộc 4 1.1. Một số khái niệm cơ bản và kết quả bổ trợ . . . . . . . . 4 1.2. Tính nửa liên tục trên và nửa liên tục dưới của ánh xạ tập ràng buộc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2 Tính Lipschitz kiểu Aubin của ánh xạ nghiệm 15 2.1. Phát biểu định lý và các kết quả bổ trợ . . . . . . . . . . 15 2.2. Chứng minh định lý tính Lipschitz kiểu Aubin của ánh xạ nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.3. Ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 Kết luận 25 Tài liệu tham khảo 25 iv MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Về mặt lý thuyết, các bài toán tối ưu đã xuất hiện từ rất lâu. Từ các thế kỷ 17-19, các bài toán tối ưu đã thu hút sự quan tâm của nhiều nhà toán học nổi tiếng và đã có ảnh hưởng rất lớn tới sự phát triển của Giải tích toán học. Đến những năm của thập kỉ thứ 4 tới thập kỉ thứ 7 của thế kỉ 20 thì Lý thuyết tối ưu mới được hình thành với tư cách là một lý thuyết toán học độc lập, với nhiều hướng nghiên cứu khác nhau. Hiện nay, một trong những vấn đề của Lý thuyết tối ưu thu hút được nhiều sự quan tâm của các nhà toán học đó là bài toán tối ưu vectơ nửa vô hạn. Để có thêm thông tin về tối ưu nửa vô hạn, đọc giả có thể tham khảo cuốn sách của Goberna và López [15]. Trong các tính chất thú vị của ánh xạ điểm chấp nhận được, ánh xạ nghiệm, hàm giá trị tối ưu, thì tính nửa liên tục trên, nửa liên tục dưới, tính Lipshitz, tính Lipschitz kiểu Aubin, tính chính quy metric được quan tâm nhiều hơn cả (xem, chẳng hạn, [2-14, 16]) . Với bài toán tối ưu vô hướng nửa vô hạn tuyến tính, Brosowski [4] đã đưa ra các điều kiện đủ cho tính nửa liên tục trên, nửa liên tục dưới của hàm giá trị tối ưu của trong quy hoạch nửa vô hạn có tham số dưới tác động của nhiễu ở cả hàm mục tiêu và tập điểm chấp nhận được. Những tính chất tương tự của ánh xạ nghiệm và hàm giá trị tối ưu cùng với tính Lipschitz của hàm giá trị tối ưu đã được khảo sát trong [7]. Hơn nữa, Cánovas và các đồng tác giả [5, 8] đã đánh giá được hằng số Lipschitz của ánh xạ nghiệm và hàm giá trị tối ưu trong lân cận của điểm được khảo sát dưới tác động của nhiễu ở hàm mục tiêu và chỉ vế phải của tập điểm chấp nhận được. Với bài toán tối ưu vô hướng nửa vô hạn lồi dưới nhiễu tuyến tính ở hàm mục tiêu và nhiễu vế phải của tập 2 điểm chấp nhận được, Cánovas và các đồng tác giả [6] đã đưa ra các điều kiện đủ cho tính chính quy metric của ánh xạ ngược của ánh xạ nghiệm (điều này cũng có nghĩa là ánh xạ nghiệm là Lipschitz kiểu Aubin). Với bài toán tối ưu vectơ có hữu hạn ràng buộc, Naccache [25] đã đưa ra các điều kiện đủ cho tính nửa liên tục dưới, nửa liên tục trên của ánh xạ nghiệm dưới nhiễu liên tục ở vế phải của tập điểm chấp nhận được mà không có nhiễu ở hàm mục tiêu. Trong trường hợp hàm mục tiêu là hàm đồng nhất, Davidson [13] đã thiết lập được các điều kiện đủ cho tính liên tục Lipschitz của ánh xạ nghiệm điểm cực biên (là giao của tập nghiệm và tập điểm cực biên của tập điểm chấp nhận được) dưới nhiễu tuyến tính của tập điểm chấp nhận được. Gần đây, các điều kiện cần và đủ cho tính nửa liên tục trên và nửa liên tục dưới của ánh xạ nghiệm trong tối ưu vectơ nửa vô hạn tổng quát dưới nhiễu ở cả hàm mục tiêu và tập điểm chấp nhận được đã được đưa ra trong [10]. Một câu hỏi tự nhiên nảy sinh rằng liệu có thể thiết lập được các điều kiện cần hoặc đủ cho tính chất Lipschitz kiểu Aubin của ánh xạ nghiệm trong tối ưu vectơ nửa vô hạn tuyến tính dưới nhiễu đồng thời hàm mục tiêu và tập điểm chấp nhận được hay không? Đề tài “Tính ổn định trong tối ưu vectơ nửa vô hạn tuyến tính” nhằm mục đích tìm hiểu về tối ưu vectơ, tối ưu nửa vô hạn và tìm câu trả lời cho câu hỏi vừa nêu ở trên. Đồng thời nghiên cứu tính ổn định của ánh xạ tập điểm chấp nhận được, cụ thể là tính nửa liên tục trên, nửa liên tục dưới và tính Lipschitz kiểu Aubin. 2. Mục đích nghiên cứu Mục đích của đề tài này là triển khai nghiên cứu các điều kiện cần hoặc điều kiện đủ cho tính chất Lipschitz kiểu Aubin của của ánh xạ nghiệm trong tối ưu vectơ nửa vô hạn tuyến tính dưới nhiễu đồng thời 3 hàm mục tiêu và tập điểm chấp nhận được; tính tính nửa liên tục trên, nửa liên tục dưới và tính Lipschitz kiểu Aubin của ánh xạ tập điểm chấp nhận được. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu các kết quả đã đạt được về tính ổn định trong lý thuyết tối ưu và vận dụng vào việc nghiên cứu thiết lập các điều kiện cần hoặc điều kiện đủ cho tính ổn định của ánh xạ tập điểm chấp nhận được và ánh xạ nghiệm trong tối ưu vectơ nửa vô hạn có tham số. Cụ thể là nghiên cứu các tính chất ổn định như tính nửa liên tục trên, nửa liên tục dưới và tính Lipschitz kiểu Aubin. 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Quy hoạch toán học, lý thuyết tối ưu, tối ưu có tham số, tối ưu vectơ, tối ưu nửa vô hạn và tính ổn định trong tối ưu có tham số. 5. Phương pháp nghiên cứu Sử dụng các phương pháp nghiên cứu của lý thuyết tối ưu, tối ưu vectơ, tối ưu nửa vô hạn và giải tích đa trị. 6. Giả thuyết khoa học hoặc đóng góp mới Nếu giải đáp được các câu hỏi đã nêu trong Mục 1 thì đây sẽ là đóng góp giúp ta có hiểu biết mới về tối ưu đa mục tiêu nửa vô hạn. Chương 1 Tính liên tục của ánh xạ tập ràng buộc Trong chương này chúng ta giới thiệu bài toán tối ưu vectơ nửa vô hạn tuyến tính có tham số và trình bày một số điều kiện đủ cho tính nửa liên tục trên, nửa liên tục dưới của ánh xạ tập ràng buộc mà sẽ được sử dụng để thiết lập tính Lipschitz kiểu Aubin cho ánh xạ nghiệm ở Chương 2. 1.1. Một số khái niệm cơ bản và kết quả bổ trợ Cho Ω là một tập trong R n . Ta nhắc lại một số ký hiệu và quy ước sau. Bao đóng của Ω ký hiệu là cl (Ω), và int (Ω) có nghĩa là phần trong của Ω. Ta ký hiệu co (Ω) và cone (Ω) tương ứng là bao lồi và hình nón lồi sinh bởi Ω. Quy ước co (∅) = ∅ và cone (∅) = {0 k }, ở đây 0 k là vectơ không của R k . Cho T là một không gian metric compact không rỗng và L[R n , R m ] (tương ứng, C[T, R]) là không gian tất cả các toán tử tuyến tính A : R n → R m (tương ứng, không gian tất cả các ánh xạ liên tục b : T → R) 5 với chuẩn được xác định bởi ||A|| L := max ||x|| n =1 ||Ax|| m (tương ứng, ||b|| ∞ := max t∈T |b(t)|), ở đó || · || k là chuẩn Euclid trong R k với k ∈ N. Nội dung của luận văn này chủ yếu khảo sát bài toán tối ưu vectơ nửa vô hạn tuyến tính (LSVO) dưới tác động của nhiễu liên tục ở vế phải của tập ràng buộc và nhiễu tuyễn tính ở hàm mục tiêu trong không gian tham số P := L[R n , R m ] × C[T, R], ở đó P được trang bị chuẩn || · || = || · || L + || · || ∞ , mà với mỗi tham số p := (A, b) ∈ L[R n , R m ] × C[T, R], ta có bài toán tối ưu vectơ nửa vô hạn tuyến tính (LSVO) p : min R m + Ax với x ∈ C(p), (1.1) ở đó C(p) = {x ∈ R n | B(t), x ≤ b(t), t ∈ T } là tập tất cả các điểm chấp nhận được của (1.1), B : T → R n là một ánh xạ liên tục, R m + = {x = (x 1 , , x m ) ∈ R m | x k ≥ 0 ∀k = 1, , m} là nón không âm của R m , và ký hiệu ·, · là tích vô hướng trong R n . Trường hợp đặc biệt, khi T có số phần tử là hữu hạn (chẳng hạn, |T | = q) thì (LSVO) p trở thành bài toán tối ưu vectơ tuyến tính (LVO) p : min R m + Ax với ràng buộc Gx ≤ h, x ∈ R n , (1.2) ở đó G ∈ R q×n và h ∈ R q . Lấy p = (A, b) ∈ P. Ta ký hiệu ¯x ∈ S(p) và nói rằng ¯x là một nghiệm Pareto của LSVO p nếu không tồn tại x ∈ C(p) thỏa mãn Ax − A¯x ∈ −R m + \{0 m }. Ánh xạ đa trị S : P ⇒ R n , gán mỗi p tập tất cả các nghiệm Pareto S(p), được gọi là ánh xạ nghiệm Pareto của LSVO. 6 Ta nói rằng C(p) thỏa mãn điều kiện Slater nếu tồn tại ˆx ∈ R n sao cho B(t), ˆx < b(t) với mọi t ∈ T. Trong trường hợp này, ˆx được gọi là điểm Slater của C(p). Bổ đề 1.1 Cho p := (A, b) ∈ P. Khi đó, C(p) thỏa mãn điều kiện Slater khi và chỉ khi 0 n /∈ co {B(t) | t ∈ T p (¯x)} với mọi ¯x ∈ C(p) mà T p (¯x) = ∅. Chứng minh. Định nghĩa hàm g : R n → R bởi g(x) := max t∈T {B(t), x − b(t)}. Hiển nhiên, g là lồi và C(p) = {x ∈ R n | g(x) ≤ 0}. Vì T là compact khác rỗng và hàm (t, x) → B(t), x − b(t) là liên tục nên suy ra rằng g là liên tục. Hơn nữa, với mỗi ¯x ∈ C(p) mà T p (¯x) = ∅, ta có g(¯x) = max t∈T {B(t), ¯x − b(t)} = 0. Khi đó C(p) thỏa mãn điều kiện Slater khi và chỉ khi không tồn tại bất kỳ ¯x ∈ C(p) mà T p (¯x) = ∅ sao cho nó là cực tiểu của g. Điều này tương đương với 0 n /∈ ∂g(¯x). (1.3) Bởi Theorem VI.4.4.2 trong [20], ta có ∂g(¯x) = co ({B(t) | t ∈ T p (¯x)}). (1.4) Từ (1.3) và (1.4) suy ra rằng 0 n /∈ co ({B(t) | t ∈ T p (¯x)}). ✷ Nón đặc trưng của hệ ràng buộc tại p trong (1.1) được cho bởi K p := cone  B(t) b(t)  ∈ R n × R | t ∈ T  ∪  0 n 1  ∈ R n × R  . [...]... không có tính chất Lipschitz kiểu Aubin tại (p0 , x0 ) 25 KẾT LUẬN Luận văn này trình bày một cách ngắn gọn một số khái niệm cơ bản nhất về quy hoạch vectơ tuyến tính nửa vô hạn Thiết lập các điều kiện đủ cho tính nửa liên tục trên và nửa liên tục dưới của ánh xạ tập ràng buộc Khảo sát các điều kiện đủ cho tính Lipschitz kiểu Aubin của ánh xạ nghiệm trong quy hoạch tối ưu vectơ nửa vô hạn tuyến tính Một... là nửa liên tục dưới tại p 2 Chương 2 Tính Lipschitz kiểu Aubin của ánh xạ nghiệm Mục đích của chương này là thiết lập các điều kiện đủ cho tính Lipschitz kiểu Aubin của ánh xạ nghiệm trong quy hoạch tối ưu vectơ nửa vô hạn tuyến tính Một số ví dụ minh họa được trình bày nhằm phân tích các điều kiện đủ đã cho 2.1 Phát biểu định lý và các kết quả bổ trợ Kết quả sau đây thiết lập các điều kiện đủ cho tính. .. nghiệm trong quy hoạch tối ưu vectơ nửa vô hạn tuyến tính Định lý 2.1 (Tính Lipschitz kiểu Aubin) Cho p0 = (A0 , b0 ) ∈ P và (p0 , x0 ) ∈ gphS Giả sử rằng các điều kiện sau được thỏa mãn: (i) C(p0 ) thỏa mãn điều kiện Slater; (ii) Không tồn tại T0 ⊂ Tp0 (x0 ) mà |T0 | < n sao cho −σ0 A0 ∈ cone ({B(t) | t ∈ T0 }) (2.1) 16 với mọi σ0 ∈ Rm mà x0 là nghiệm vô hướng hóa bởi σ0 Hơn nữa, nếu x0 + là nghiệm vô. .. (ii) của định lý Định lý đã được chứng minh 2 21 2.3 Ví dụ Trong mục này ta xét một số ví dụ minh họa áp dụng Định lý 2.1 Hơn nữa, ta cũng chỉ ra rằng nếu một trong các giả thiết của Định lý 2.1 bị vi phạm thì ánh xạ nghiệm S có thể không có tính chất Lipschitz kiểu Aubin Ví dụ 2.1 Cho T = {1, 2} Lấy A0 ∈ L[R, R2 ] là một toán tử tuyến tính, b0 ∈ C[T, R] và B : T → R là các hàm liên tục được xác định bởi... là nửa liên tục dưới tại x0 ∈ X khi và chỉ khi với bất kỳ dãy {xi } ⊂ X, xi → x0 , bất kỳ y0 ∈ F (x0 ) luôn tồn tại một dãy con {xik } của {xi } và yk ∈ F (xik ) sao cho yk → y0 khi k → ∞ Nếu thêm điều kiện Y là compact và F có giá trị đóng, thì F là nửa liên tục trên tại x0 ∈ X khi và chỉ khi F là đóng tại x0 Với mỗi p := (A, b) ∈ L[Rn , Rm ] × C[T, R], xét bài toán tối ưu vectơ nửa vô hạn tuyến tính. .. hạn tuyến tính Một số vấn đề cần được tiếp tục nghiên cứu như: tìm được các điều kiện cần hoặc đủ cho tính Lipshitz kiểu Aubin của ánh xạ nghiệm trong trường hợp nhiễu tùy ý ở hàm mục tiêu và ở tập ràng buộc, bỏ tính compact của tập T hoặc mở rộng các kết quả cho bài toán tối ưu vectơ nửa vô hạn tổng quát Tài liệu tham khảo [A] Tài liệu tiếng Việt [1] Hoàng Tụy (2005), Hàm thực và giải tích hàm, Nhà... nếu x0 + là nghiệm vô hướng hóa bởi σ và σ thì, với mỗi z ∈ Rn mà ||z||n = 1, ¯ σA0 , z · σ A0 , z ≥ 0 ¯ Khi đó S là Lipschitz kiểu Aubin tại (p0 , x0 ) Trong trường hợp tối ưu vô hướng (tối ưu một mục tiêu), kết quả sau đây được suy trực tiếp từ Định lý 2.1 Hệ quả 2.1 Xét LSVO với m = 1 Lấy p0 = (A0 , b0 ) ∈ P và (p0 , x0 ) ∈ gphS Giả sử rằng các điều kiện sau được thỏa mãn (a) C(p0 ) thỏa mãn điều... Điều này có nghĩa rằng x ∈ argmin{ σA, z | z ∈ C(p)} Bổ đề đã được chứng minh 1.2 2 Tính nửa liên tục trên và nửa liên tục dưới của ánh xạ tập ràng buộc Trước tiên ta nhắc lại một số khái niệm cơ bản trong giải tích đa trị Cho X là một không gian metric và M ⊂ X Khoảng cách từ một điểm x ∈ X tới một tập M trong X được xác định bởi d(x, M ) := inf {dist(x, y) | y ∈ M }, ở đó dist(x, y) là khoảng cách giữa... các giả thiết của Định lý 2.1 được thỏa mãn Áp dụng Định lý 2.1, ta có thể khẳng định rằng S là giả Lipschitz tại (p0 , x0 ) 22 Những ví dụ sau đây chỉ ra rằng các giả thiết của Định lý 2.1 là cần thiết Ví dụ 2.2 Lấy T = [0, 1] ∪ {2}, A0 ∈ L[R, R2 ], b0 , bk ∈ C[T, R], k ≥ 1 và B : T → R tương ứng là toán tử tuyến tính và các hàm liên tục được xác định như sau: b0 (t) =  −t B(t) = 1 bk (t) =  ... −A0 ∈ cone ({B(t) | t ∈ T0 }) Khi đó S là giả Lipschitz tại (p0 , x0 ) Để chứng minh Định lý 2.1 ta cần các kết quả bổ trợ sau đây Định lý Carathéodory: Cho Q là một tập khác rỗng trong Rn và x ∈ co Q Khi đó x có thể biểu diễn là tổ hợp lồi của không quá n + 1 phần tử trong Q Chứng minh Lấy x ∈ co Q Khi đó ta suy ra từ định lý biểu diễn bao lồi của Q rằng tồn tại xi ∈ S, λi ≥ 0, i ∈ {1, , k}, cho x . tối ưu, tối ưu có tham số, tối ưu vectơ, tối ưu nửa vô hạn và tính ổn định trong tối ưu có tham số. 5. Phương pháp nghiên cứu Sử dụng các phương pháp nghiên cứu của lý thuyết tối ưu, tối ưu vectơ, . định trong tối ưu vectơ nửa vô hạn tuyến tính nhằm mục đích tìm hiểu về tối ưu vectơ, tối ưu nửa vô hạn và tìm câu trả lời cho câu hỏi vừa nêu ở trên. Đồng thời nghiên cứu tính ổn định của ánh. toán tối ưu vô hướng nửa vô hạn tuyến tính, Brosowski [4] đã đưa ra các điều kiện đủ cho tính nửa liên tục trên, nửa liên tục dưới của hàm giá trị tối ưu của trong quy hoạch nửa vô hạn có tham số