1 Lời cảm ơn Luận văn đợc thực hiện và hoàn thành dới sự hớng dẫn tận tình, chu đáo và tỉ mỉ của PGS.TS.NGƯT Nguyễn Huy Lợi, ngời thầy đ hớng dẫn và truyền cho tác giả những kinh nghiệm quí báu trong học tập và nghiên cứu khoa học. Tác giả xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc đến PGS.TS.NGƯT Nguyễn Huy Lợi. Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu, Khoa Toán, Phòng Sau đại học của Trờng ĐHSP Hà Nội 2, đ tạo điều kiện thuận lợi để tác giả kết thúc tốt đẹp chơng trình học cao học và hoàn thành luận văn tốt nghiệp. Tác giả xin chân thành cảm ơn Phòng GD huyện Sóc Sơn, Trờng THCS Mai Đình đ tạo mọi điều kiện thuận lợi để tác giả công tác, học tập và hoàn thành tốt luận văn. Hà Nội, năm 2009 Tác giả 2 LờI cam ĐOAN Tác giả xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi dới sự hớng dẫn của PGS.TS.NGƯT Nguyễn Huy Lợi. Các kết quả trong luận văn đợc trích dẫn rõ ràng, trung thực và luận văn không trùng lặp với những đề tài khác. Hà Nội, năm 2009 Tác giả 3 MụC LụC Mở đầu. 4 Chơng 1. Nguyên lý biến phân của ánh xạ bảo giác.7 1.1. Hàm chỉnh hình 7 1.1.1. Định nghĩa đạo hàm 7 1.1.2. Điều kiện Cauchy- Riemann 8 1.1.3. Định nghĩa hàm chỉnh hình 8 1.1.4. ý nghĩa hình học của acgumen và môđun của đạo hàm 9 1.2. ánh xạ bảo giác . 11 1.3. Hàm phân tuyến tính 12 1.4. Các nguyên lý biến phân cơ bản 13 1.4.1. Nguyên lý biến phân cơ bản . 14 1.4.2. Tính phổ biến của nguyên lý . 23 1.4.2.1. Miền ngoài của hình tròn 23 1.4.2.2. Trờng hợp nửa mặt phẳng 24 1.4.2.3. Trờng hợp các dải . 28 1.5. ánh xạ các miền xấp xỉ .31 Chơng 2. ứng dụng nguyên lý biến phân của ánh xạ bảo giác 43 2.1. ứng dụng để giải quyết một số vấn đề lý thuyết .43 2.1.1. Các đạo hàm biên .43 2.1.2. Các miền xấp xỉ với dữ kiện 50 2.2. ứng dụng giải quyết một số vấn đề kỹ thuật và thực tiễn 53 2.2.1. Tính quy đổi lực nâng .53 2.2.2. Các sóng trong chất lỏng nặng.62 Kết luận 72 Tài liệu tham khảo 73 4 Mở đầu 1. Lý do chọn đề tài Chúng ta đ biết kết quả của những nghiên cứu về lý thuyết hàm biến phức có nhiều ứng dụng trong việc giải quyết một số vấn đề của Toán học cũng nh trong thực tiễn. Ngay từ những năm đầu thế kỷ XX nhiều nhà toán học đ có những thành công trong việc nghiên cứu lý thuyết hàm biến phức để giải quyết các bài toán về thuỷ động lực học và khí động lực học. Nhờ những ứng dụng bớc đầu to lớn đó lý thuyết hàm biến phức đ thu hút nhiều sự quan tâm, nghiên cứu của các nhà toán học. Đặc biệt trong lý thuyết này có nguyên lý biến phân của ánh xạ bảo giác với các tính chất đặc trng của nó đ đợc ứng dụng nhiều trong việc giải quyết một số vấn đề lý thuyết giải toán trong vật lý trong kỹ thuật, và trong thực tiễn. Việc nghiên cứu nguyên lý biến phân của ánh xạ bảo giác giúp chúng ta tìm hiểu sâu sắc hơn về lý thuyết hàm biến phức, đồng thời sử dụng kết quả đó để giải quyết một số bài toán thực tiễn khác. Hơn nữa, là một giáo viên giảng dạy ở trờng phổ thông, việc tìm hiểu về nguyên lý biến phân của ánh xạ bảo giác có thể giúp em nhìn nhận kiến thức toán giải tích đợc áp dụng rất rộng ri trong các môn khoa học khác, đặc biệt là với những bài toán trong vật lý, kỹ thuật và thực tiễn để đáp ứng yêu cầu dạy học hiện nay. Bởi vậy, em đ chọn đề tài Nguyên lý biến phân của ánh xạ bảo giác và ứng dụng nhằm tổng hợp những ứng dụng về nguyên lý biến phân của ánh xạ bảo giác trong việc giải quyết những vấn đề của vật lý, kỹ thuật và thực tiễn. 5 2. Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu về lý thuyết hàm số biến số phức, trình bày một cách có hệ thống về nguyên lý biến phân của ánh xạ bảo giác. Tổng hợp những ứng dụng nguyên lý biến phân của ánh xạ bảo giác. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu nguyên lý biến phân của ánh xạ bảo giác và ứng dụng của nó. 4. Đối tợng và phạm vi nghiên cứu Đề tài tập trung nghiên cứu nguyên lý biến phân của ánh xạ bảo giác và ứng dụng của nó đối với một số vấn đề lý thuyết và thực tiễn. Luận văn gồm phần mở đầu, hai chơng, kết luận và tài liệu tham khảo. Trong đó: Chơng 1: Nguyên lý biến phân của ánh xạ bảo giác. Chơng 2: ứng dụng nguyên lý biến phân của ánh xạ bảo giác. 5. phơng pháp nghiên cứu đọc sách, nghiên cứu lý luận, tài liệu chuyên khảo. Tổng hợp kiến thức, vận dụng cho mục đích nghiên cứu và ứng dụng của nó. 6. Những đóng góp mới của đề tài ti Nghiên cứu sâu một nguyên lý quan trọng của Toán học, nâng nó thành đề tài nghiên cứu theo nghĩa nghiên cứu và tổng hợp các ứng dụng của nó trong 6 giải quyết một số vấn đề của lý thuyết, một số vấn đề trong vật lý cũng nh trong thực tiễn. Luận văn là tài liệu tham khảo hữu ích cho sinh viên, học viên cao học, những ngời yêu thích về hàm biến phức đặc biệt là về nguyên lý biến phân của ánh xạ bảo giác và ứng dụng của nó. 7 Chơng 1 Nguyên lý biến phân của ánh xạ bảo giác 1.1. Hàm chỉnh hình 1.1.1. Định nghĩa đạo hàm Cho hàm số f xác định trên miền D C . Xét giới hạn ( ) ( ) 0 lim , z f z z f z z + , z z z + D. Nếu tại điểm z giới hạn này tồn tại thì nó đợc gọi là đạo hàm phức của f tại z , ký hiệu là ( ) f z hay ( ). df z dz Nh vậy ( ) f z = ( ) ( ) 0 lim z f z z f z z + . Hàm f có đạo hàm phức tại z cũng đợc gọi là khả vi phức hay C khả vi tại z . Cũng nh đối với hàm biến thực, bởi quy nạp ta viết ( ) ( 1) ( ) k k f f = nếu vế phải tồn tại ta gọi là đạo hàm phức cấp k của hàm f trên D. Do định nghĩa đạo hàm phức hoàn toàn tơng tự với định nghĩa đạo hàm của hàm một biến thực, ta dễ dàng thiết lập các công thức sau. Định lí 1.1. Nếu ( ) f z và ( ) g z khả vi phức tại 0 z thì ( ) ( ), f z g z + ( ) . ( ) f z g z và ( ) ( ) f z g z ( ( ) 0 g z ) cũng khả vi phức tại 0 z với mọi , C và 8 (i) 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) f g z f z g z + = + . (ii) 0 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) fg z f z g z f z g z = + . (iii) 0 0 0 0 0 2 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f z g z f z g z f g z g z = . (iv) Nếu ( ) w f z = khả vi phức tại 0 z còn ( ) g w khả vi phức tại 0 0 ( ) w f z = thì hàm hợp g f khả vi phức tại 0 z và 0 0 0 ( ) ( ) ( ( )) ( ) gf z g f z f z = . 1.1.2. Điều kiện Cauchy- Riemann Giả sử ( ) ( , ) ( , ) f z u x y iv x y = + , z x iy = + xác định trong miền D C . Hàm f đợc gọi là 2 R - khả vi tại z x iy = + nếu các hàm ( , ) u x y và ( , ) v x y khả vi tại ( , ) x y (theo nghĩa đ biết trong giải tích thực). Định lí 1.2. Để hàm f C - khả vi tại z x iy = + D điều kiện cần và đủ là hàm f 2 R - khả vi tại z và điều kiện Cauchy Riemann sau đợc thoả mn tại z . ( , ) ( , ). ( , ) ( , ). = = u v x y x y x y u v x y x y y x 1.1.3. Định nghĩa hàm chỉnh hình Định nghĩa 1.1. 9 Hàm f xác định trên miền D C với giá trị trong C gọi là chỉnh hình tại 0 z D nếu tồn tại r > 0 để f C - khả vi tại mọi 0 ( , ) z D z r D. Nếu f chỉnh hình tại mọi z D thì ta nói f chỉnh hình trên D. Tính giải tích của hàm f tại điểm vô cùng đợc hiểu là tính giải tích của hàm 1 ( ) ( ) z f z = tại 0 z = . Định nghĩa này cho phép ta xét hàm giải tích trên các tập hợp của mặt phẳng phức đóng C . 1.1.4. ý nghĩa hình học của argument và môđun của đạo hàm Giả sử f xác định trên miền D C và C - khả vi tại mọi 0 z D với ( ) 0 0 f z . Xét đờng cong trơn tuỳ ý l qua 0 z và gọi L là ảnh của l qua f , ( ) L f l = . Cho điểm 0 z z z = + chạy trên l và xét 0 0 ( ) ( ) f f z z f z = + . Giả sử là góc giữa tiếp tuyến của l tại 0 z với trục hoành, còn là góc giữa tiếp tuyến của L tại 0 0 ( ) f z = với trục hoành. Khi đó rõ ràng 0 0 0 0 limarg( ) lim arg z z z z z l z l z z z + = = và 0 0 0 0 limarg( ( ) ( )) lim arg . z z z z z l z l f z f z f + = = Về mặt ý nghĩa hình học, hiệu là góc giữa tiếp tuyến của l tại 0 z và 10 góc giữa tiếp tuyến của L tại 0 0 ( ) f z = . Một cách hình thức đó là góc mà hàm f đ quay đờng cong l tại 0 z . Chú ý rằng = [ ] 0 0 0 0 lim arg arg lim arg z z z z l z z l f f z z + + = . Từ đó nếu viết ( ) 0 i f z ke = thì = ( ) 0 arg f z = . Nh vậy nếu ( ) 0 0 f z thì ( ) 0 arg f z là góc quay của tiếp tuyến của l tại 0 z qua f . Giả sử 1 l và 2 l là hai đờng cong trơn tuỳ ý qua 0 z . Ký hiệu 1 L và 2 L và các góc 1 2 1 2 , , , tơng ứng nh đối với l . Theo hình học thì góc giữa 1 l và 2 l tại 0 z là 1 2 , góc giữa 1 L và 2 L tại ( ) 0 f z là 1 2 . Nếu ( ) 0 0 i f z ke = , thì 1 1 2 2 = (= ). Do đó 1 2 1 2 = tức là góc giữa hai đờng cong trơn tuỳ ý qua 0 z đợc bảo toàn (cả về hớng và độ lớn) qua ánh xạ f . Hàm số có tính chất nh vậy sau này sẽ gọi là hàm bảo toàn góc tại 0 z . [...]... b) H m phân tuyến tính bảo giác khắp nơi trong C (tính bảo giác tại điểm đợc hiểu l sự bảo to n góc) c) H m ngợc của một h m phân tuyến tính l h m phân tuyến tính d) Hợp của hai h m phân tuyến tính l h m phân tuyến tính e) ánh xạ phân tuyến tính bảo to n đờng tròn f) ánh xạ phân tuyến tính bảo to n hình tròn g) ánh xạ phân tuyến tính bảo to n tính đối xứng của các điểm qua đờng tròn h) ánh xạ phân tuyến... 1.4.2 Tính phổ biến của nguyên lý Nguyên lý biến phân cơ bản đ chứng minh ở trên đợc phát triển trong các h m số thực hiện các ánh xạ bảo giác đến các miền chuẩn khác 1.4.2.1 Miền ngo i của hình tròn Ta ký hiệu miền ngo i đờng biên khép kín C l ( C ) Giả sử h m số: w = F ( z, C ) , F ( , C ) = (1.15) thực hiện ánh xạ bảo giác của miền ( C ) tới miền ngo i của hình tròn đơn vị w > 1 Giữ nguyên các ký... số co d n đều tại z0 1.2 ánh xạ bảo giác Định nghĩa 1.2 H m f xác định trên miền D C gọi l bảo giác tại z0 D nếu tại điểm đó h m f bảo to n góc v có hệ số co d n đều H m f đợc gọi l bảo giác trên miền D C nếu nó bảo giác tại mọi 12 điểm thuộc D Định lý 1.3 Nếu h m f chỉnh hình trên miền D C thì nó bảo giác tại mọi z0 D nếu v chỉ nếu f ( z0 ) 0 Định lý 1.4 H m f bảo giác trên miền D C khi v... bất kỳ sự biến phân C n o bằng cách ứng dụng liên tiếp các dạng biến phân đơn giản nhất v nêu định lý rồi chứng minh nó thì định lý sẽ đợc chứng minh một cách tổng quát Giờ chúng ta lấy ra một mặt phẳng phụ v ánh xạ miền D (C ) lên hình tròn đơn vị < 1 bằng bảo giác: = f ( z, C ) ; f ( z0 , C ) = 0 Giả sử lúc n y C đi qua đờng cong C , diện tích giữa C v đờng tròn = 1 bằng Ta ánh xạ miền D... pháp n y có ý nghĩa đặc biệt khi phát triển các nguyên lý biến phân tới các ánh xạ tổng quát hơn các ánh xạ bảo giác v nói riêng nguyên lý cực đại tới các ánh xạ tựa bảo giác vẫn đúng, bản chất của phơng pháp đó nh sau: Giả sử w = f ( z ) , f ( z0 ) = 0 v w = f ( z ) , f ( z0 ) = 0 , ánh xạ bảo giác tơng ứng các miền D ( C ) v D ( C ) tới hình tròn đơn vị H m số P ( x, y ) = ln f ( z ) điều ho trong miền... sự hỗ trợ của h m số đơn trị r v r Điểm z2 = z0 + r2ei của 2 đờng biên C , trong đó tỉ số r ( ) r ( ) đạt tới điểm biến dạng lớn nhất v 15 tơng ứng với điểm z2 = z0 + r2ei của đờng biên C ta gọi các điểm đó l các 2 điểm biến dạng lớn nhất, còn số = r2 r2 l độ biến dạng lớn nhất của đờng biên Nguyên lý biến phân cơ bản ta gọi l nguyên lý Lin - đê khẳng định nếu nó bị giới hạn bởi các ánh xạ đến hình... D 1.3 H m phân tuyến tính Định nghĩa 1.3 ánh xạ z f ( z) = az + b , cz + d d c 0 xác định trên tập C \ v h m c n y gọi l h m phân tuyến tính Một số tính chất của h m phân tuyến tính Xét h m phân tuyến tính (hay ánh xạ phân tuyến tính) ( z) = az + b , ad bc 0 cz + d 13 Giả thiết ad bc 0 đặt ra để const a) Bằng cách đặt ( ) = a d v = , ánh xạ phân tuyến tính l c c song ánh giữa... xứng của các điểm qua đờng tròn h) ánh xạ phân tuyến tính không phải l ánh xạ đồng nhất có nhiều nhất l hai điểm bất động i) Cho bộ ba điểm phân biệt { z1 , z2 , z3 } v { , , } 1 2 3 C Khi đó tồn tại duy nhất ánh xạ phân tuyến tính biến z j th nh j ( j = 1, 2,3 ) j) H m phân tuyến tính bảo to n tỉ số kép 1.4 Các nguyên lý biến phân cơ bản Giả sử trong mặt phẳng z ngời ta cho hai miền đơn liên D... biến phân Mông-ten v Lin-đê-lốp đ chứng minh trên đồng thời cũng có thể có đợc dựa trên cơ sở của nguyên lý Svat-xơ (mục 15 cuốn [5] ) Thực ra các nguyên lý n y rút ra từ kết quả m miền D ( C ) ở đó tạo ra hình tròn w < , h m số = h ( w ) l h m ngợc của h m w = g ( ) thuộc về hình tròn < (chúng ta giữ nguyên ký hiệu dùng chứng minh định lý 1.5) 22 Nhng vì h m số = h ( w ) , h ( 0 ) = 0 ánh xạ. .. 1 r 1 d =e 1 r 4 i Kết luận thứ ba của định lý đợc chứng minh Để chứng minh kết luận cuối cùng ta ký hiệu đờng biên C * có đợc từ C bằng cách biến đổi tơng tự = z0 + ( z z0 ) Ta thấy h m số: z0 w = f , C * = f z0 + ,C ( ) (1.10) thực hiện ánh xạ bảo giác của miền D ( C * ) lên hình tròn đơn vị Nhng D ( C * ) nằm trong D ( C luận thứ ba của định lý )v điểm z2 thuộc cả C v C * Vì vậy . về nguyên lý biến phân của ánh xạ bảo giác. Tổng hợp những ứng dụng nguyên lý biến phân của ánh xạ bảo giác. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu nguyên lý biến phân của ánh xạ bảo giác và ứng. những ngời yêu thích về hàm biến phức đặc biệt là về nguyên lý biến phân của ánh xạ bảo giác và ứng dụng của nó. 7 Chơng 1 Nguyên lý biến phân của ánh xạ bảo giác 1.1. Hàm chỉnh hình. thuật và thực tiễn để đáp ứng yêu cầu dạy học hiện nay. Bởi vậy, em đ chọn đề tài Nguyên lý biến phân của ánh xạ bảo giác và ứng dụng nhằm tổng hợp những ứng dụng về nguyên lý biến phân của ánh