1 LỜI CẢM ƠN Tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đối với TS. Nguyễn Văn Khải đã tận tình hướng dẫn, giúp đỡ tôi trong suốt quá trình thực hiện đề tài. Tôi xin trân trọng cảm ơn Ban Giám hiệu Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, Phòng sau đại học, Khoa Toán đã tạo mọi điều kiện thuận lợi và giúp đỡ tôi trong quá trình học tập và hoàn thành luận văn. Tôi xin trân trọng cảm ơn Sở Giáo dục và đào tạo Phú Thọ, Trường THPT Yên Lập, THPT Minh Hoà đã tạo mọi điều kiện giúp đỡ để tôi yên tâm học tập và hoàn thành tốt luận văn tốt nghiệp. Xin cảm ơn gia đình và bạn bè đã động viên tôi trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu. Hà Nội, tháng 10 năm 2009 Tác giả 2 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tôi dưới sự hướng dẫn khoa học của Tiến sĩ Nguyễn Văn Khải. Tôi đã đọc, nghiên cứu tài liệu, tổng hợp, vận dụng kiến thức để viết nên luận văn này. Hà Nội, tháng 10 năm 2009 Tác giả 3 MỤC LỤC Trang Lời cảm ơn……………………………………………………………… 1 Lời cam đoan……………………………………………………………… 2 Mục lục…………………………………………………………………… 3 Mở đầu……………………………………………………………………. 5 Chương 1: MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ………………………… 7 1.1. Không gian metric……………………………………………………. 7 1.2. Không gian Banach………………………………………………… 8 1.3. Không gian Hilbert…………………………………………… 9 1.4. Hàm giải tích…………………………………………………………. 13 Chương 2: XẤP XỈ TỐT NHẤT……………………………………… 15 2.1. Bài toán cơ bản của xấp xỉ tuyến tính……………………………… 15 2.2. Tính duy nhất của xấp xỉ tốt nhất…………………………………… 18 2.3. Xấp xỉ đều tốt nhất trong không gian các hàm liên tục nhờ hệ đơn thức 2 1, , , n x x x …………………………………………. 20 2.4. X ấ p x ỉ đề u t ố t nh ấ t trong không gian các hàm liên t ụ c nh ờ h ọ phi tuy ế n……………………………………………………… 27 K ế t lu ậ n ch ươ ng 2………………………………………………… 29 Chu ơ ng 3: B Ậ C C Ủ A X Ấ P X Ỉ …………………………………………… 30 3.1. Phép đ o các x ấ p x ỉ t ố t nh ấ t………………………………………… 30 3.2. B ậ c c ủ a x ấ p x ỉ trong không gian Hilbert…………………………… 36 3.3. B ậ c c ủ a x ấ p x ỉ trong không gian các hàm liên t ụ c…………… 39 K ế t lu ậ n ch ươ ng 3………………………………………………………… 47 Ch ươ ng 4: M Ộ T VÀI Ứ NG D Ụ NG C Ủ A LÝ THUY Ế T X Ấ P X Ỉ ĐỀ U T Ố T NH Ấ T TRONG TOÁN S Ơ C Ấ P…………… 48 4.1. X ấ p x ỉ đề u t ố t nh ấ t b ằ ng đ a th ứ c b ậ c không………………… 48 4.2. X ấ p x ỉ đề u t ố t nh ấ t b ằ ng đ a th ứ c b ậ c nh ấ t…………………………… 48 4 4.3. M ộ t vài ứ ng d ụ ng trong toán s ơ c ấ p………………………… 51 K ế t lu ậ n ch ươ ng 4……………………………………………………… 62 K ế t lu ậ n c ủ a lu ậ n v ă n………………………………………………… 63 Tài li ệ u tham kh ả o………………………………………………………… 64 5 MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài M ộ t trong nh ữ ng v ấ n đề c ổ x ư a nh ấ t c ủ a toán h ọ c và liên t ụ c phát tri ể n cùng v ớ i quá trình phát tri ể n c ủ a toán h ọ c là lý thuy ế t x ấ p x ỉ hàm. Đ ây là l ĩ nh v ự c v ừ a có ý ngh ĩ a khoa h ọ c có tính lý thuy ế t sâu s ắ c v ừ a có tính ứ ng d ụ ng th ự c ti ễ n cao. Các k ế t qu ả đạ t đượ c thu ộ c l ĩ nh v ự c này v ừ a thúc đẩ y s ự phát tri ể n c ủ a toán h ọ c lý thuy ế t, v ừ a làm ti ề n đề cho các ngành c ủ a toán h ọ c ứ ng d ụ ng c ũ ng nh ư các ngành khoa h ọ c k ỹ thu ậ t, kinh t ế … M ộ t trong nh ữ ng v ấ n đề c ơ b ả n c ủ a lý thuy ế t x ấ p x ỉ hàm là: Cho X là không gian tuy ế n tính đị nh chu ẩ n, X y ∈ là m ộ t ph ầ n t ử b ấ t k ỳ và A là không gian con h ữ u h ạ n chi ề u c ủ a X. Hãy tìm 0 A x ∈ để 0 A ( ,A) x y x d y inf y x ∈ − = = −     . Ph ầ n t ử 0 x (n ế u có) s ẽ đượ c g ọ i là x ấ p x ỉ t ố t nh ấ t c ủ a y trong A. V ấ n đề này có nh ữ ng k ế t qu ả đặ c tr ư ng trong nh ữ ng không gian hàm khác nhau nh ư không gian các hàm liên t ụ c [ , ] a b C hay không gian Hilbert: S ự t ồ n t ạ i nghi ệ m, đặ c tr ư ng nghi ệ m, sai s ố c ủ a nghi ệ m (b ậ c c ủ a x ấ p x ỉ ). Là m ộ t giáo viên ph ổ thông, trong quá trình h ọ c t ậ p tôi luôn có ý th ứ c tìm ki ế m các ứ ng d ụ ng khác nhau c ủ a toán h ọ c cao c ấ p trong toán s ơ c ấ p. Lý thuy ế t x ấ p x ỉ đề u t ố t nh ấ t có nhi ề u ứ ng d ụ ng soi sáng cho phép sáng t ạ o m ộ t l ớ p các bài toán s ơ c ấ p dành cho h ọ c sinh khá gi ỏ i. Do v ậ y tôi đ ã quy ế t đị nh ch ọ n đề tài ‘‘ Một số vấn đề về lý thuyết xấp xỉ tốt nhất, bậc của xấp xỉ và ứng dụng trong toán sơ cấp’’ để th ự c hi ệ n lu ậ n v ă n c ủ a mình. 2. Mục đích nghiên cứu Làm rõ, trình bày h ệ th ố ng m ộ t s ố v ấ n đề v ề x ấ p x ỉ t ố t nh ấ t và nêu m ộ t s ố ứ ng d ụ ng trong toán s ơ c ấ p. 6 3. Nhiệm vụ nghiên cứu Lý thuy ế t x ấ p x ỉ t ố t nh ấ t trong không gian tuy ế n tính đị nh chu ẩ n và trong không gian các hàm liên t ụ c [ , ] a b C . Lý thuy ế t b ậ c x ấ p x ỉ và các tr ườ ng h ợ p c ụ th ể trong không gian các hàm liên t ụ c [ , ] a b C , trong không gian Hilbert. M ộ t s ố ứ ng d ụ ng c ủ a nó trong toán s ơ c ấ p. 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Không gian tuy ế n tính đị nh chu ẩ n, không gian các hàm liên t ụ c [ , ] a b C và không gian Hilbert. Bài toán x ấ p x ỉ t ố t nh ấ t, b ậ c c ủ a x ấ p x ỉ trong nh ữ ng không gian đ ó. 5. Phương pháp nghiên cứu Đọ c và nghiên c ứ u tài li ệ u, t ổ ng h ợ p v ậ n d ụ ng. 6. Đóng góp của đề tài Trình bày m ộ t cách có h ệ th ố ng và rõ ràng m ộ t s ố v ấ n đề c ủ a lý thuy ế t x ấ p x ỉ t ố t nh ấ t trong không gian tuy ế n tính đị nh chu ẩ n. Ứ ng d ụ ng c ủ a lý thuy ế t x ấ p x ỉ đề u t ố t nh ấ t để gi ả i và sáng t ạ o m ộ t l ớ p bài toán s ơ c ấ p. 7 Chương 1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Không gian metric Định nghĩa 1.1.1 . Cho X là m ộ t t ậ p khác r ỗ ng. Hàm d: X X × →  , đượ c g ọ i là m ộ t kho ả ng cách (hay metric) n ế u các tiên đề sau đượ c tho ả mãn: 1) ( , ) 0 , X d x y x y ≥ ∀ ∈ đồ ng th ờ i ( , ) 0 ; d x y x y = ⇔ = 2) ( , ) ( , ) , X d x y d y x x y = ∀ ∈ ; 3) ( , ) ( , ) ( , ) , , X. d x z d x y d y z x y z ≤ + ∀ ∈ C ặ p (X, ) d trong đ ó d là m ộ t kho ả ng cách đượ c g ọ i là m ộ t không gian metric. Định nghĩa 1.1.2 . Cho không gian metric M (X, ) d = . Dãy đ i ể m ( ) X n x ⊂ g ọ i là dãy c ơ b ả n trong M n ế u ∀ 0 ε > , ∃ * 0 n ∈  , ∀ 0 , m n n ≥ ( , ) m n d x x ε < hay , lim ( , ) 0 m n n m d x x →∞ = . Định nghĩa 1.1.3 . Không gian metric M (X, ) d = g ọ i là không gian đủ n ế u m ọ i dãy c ơ b ả n trong không gian này h ộ i t ụ . Ví dụ 1.1.1 . Ta kí hi ệ u [a,b] C là t ậ p các hàm s ố th ự c liên t ụ c trên đ o ạ n [a,b], v ớ i hai hàm s ố b ấ t kì [a,b] ( ), ( ) x t y t C ∈ đặ t: t ( , ) ( ) ( ) a b d x y max x t y t ≤ ≤ = − | | . (1.1.1) D ễ th ấ y (1.1.1) tho ả mãn các tiên đề v ề metric. Có th ể ch ứ ng minh r ằ ng [a,b] C là không gian metric đủ . Ví dụ 1.1.2 . Ta kí hi ệ u L [a,b] C là t ậ p các hàm s ố liên t ụ c trên đ o ạ n [a,b], v ớ i hai 8 hàm b ấ t kì L [a,b] ( ), ( ) x t y t C ∈ đặ t: ( , ) ( ) ( ) b a d x y x t y t dt = − ∫ | | . (1.1.2) D ễ th ấ y (1.1.2) tho ả mãn các tiên đề v ề metric. Khi đ ó có th ể ch ứ ng minh r ằ ng L [a,b] C là không gian metric và không là không gian metric đủ . 1.2. Không gian Banach Định nghĩa 1.2.1 . Không gian tuy ế n tính X trên  đượ c g ọ i là không gian tuy ế n tính đị nh chu ẩ n n ế u ứ ng v ớ i m ỗ i ph ầ n t ử x ∈ X, ta có m ộ t s ố th ự c ký hi ệ u x   tho ả mãn các tiên đề : 1) 0 x ≥   (xác đị nh d ươ ng) đồ ng th ờ i 0 x =   khi và ch ỉ khi 0 x = ; 2) x x α α = | |     X x α ∀ ∈ ∀ ∈  (thu ầ n nh ấ t d ươ ng); 3) , X x y x y x y + ≤ + ∀ ∈       (b ấ t đẳ ng th ứ c tam giác); Khi đ ó x   đượ c g ọ i là chu ẩ n c ủ a x . Định nghĩa 1.2.2. Dãy đ i ể m ( ) n x c ủ a không gian đị nh chu ẩ n X g ọ i là h ộ i t ụ t ớ i đ i ể m X x ∈ n ế u lim 0 n n x x →∞ − =   . Ký hi ệ u lim n n x x →∞ = hay ( ) n x x n → → ∞ . Định nghĩa 1.2.3. Dãy đ i ể m ( ) n x trong không gian đị nh chu ẩ n X g ọ i là dãy c ơ b ả n n ế u , lim 0 n m m n x x →∞ − =   . Định nghĩa 1.2.4. Không gian đị nh chu ẩ n X g ọ i là không gian Banach n ế u m ọ i dãy c ơ b ả n trong X đề u h ộ i t ụ . Ví dụ 1.2.1. Không gian tuy ế n tính [a,b] C v ớ i chu ẩ n đượ c đị nh ngh ĩ a = max ( ) a x b f f x ≤ ≤ | |   là không gian Banach . 9 Ví dụ 1.2.2. Không gian tuy ế n tính [a,b] L  v ớ i chu ẩ n đượ c đị nh ngh ĩ a b a = ( ) f f x dx | | ∫   là một không gian tuyến tính định chuẩn và không phải là không gian Banach. Ví dụ 1.2.3. Với 1 p ≥ xét không gian [ , ] p L a b gồm tất cả các hàm số ( ) x t đo được theo độ đo Lebesgue trên đoạn [ , ] a b sao cho ( ) b p a x t dt < +∞ ∫ | | . V ớ i ( ) [ , ] p x x t L a b = ∈ đặ t 1 ( ) . b p p a x x t dt   =     ∫   | | Khi đ ó .   là m ộ t chu ẩ n trên [ , ] p L a b và cùng với chuẩn nêu trên, [ , ] p L a b là không gian Banach. 1.3. Không gian Hilbert Định nghĩa 1.3.1. Cho không gian tuyến tính X trên  . Ánh xạ ψ : X X × →  tho ả mãn các đ i ề u ki ệ n: 1) ψ ( , ) 0 X x x x ≥ ∀ ∈ ; 2) ψ ( , ) 0 0 x x x = ⇔ = ; 3) ψ ( , ) ψ ( , ) , X x y y x x y = ∀ ∈ ; 4) 1 2 1 2 1 2 ψ ( , ) ψ ( , ) ψ ( , ) , , X x x y x y x y x x y α β α β + = + ∀ ∈ và , α β ∈  . đượ c g ọ i là m ộ t tích vô h ướ ng trên X, còn ψ ( , ) x y đượ c g ọ i là tích vô h ướ ng c ủ a hai ph ầ n t ử , x y và th ườ ng đượ c kí hi ệ u là ( , ) x y . Định lý 1.3.1 ( B ấ t đẳ ng th ứ c Schwarz). Đố i v ớ i m ỗ i X x ∈ ta đặ t ( , ) x x x =   . (1.3.1) Khi đ ó , X x y ∀ ∈ ta có ( , ) x y x y ≤     | | . (1.3.2) Nhận xét. Công th ứ c (1.3.1) xác đị nh m ộ t chu ẩ n trên không gian X. 10 Định nghĩa 1.3.2. Không gian tuy ế n tính X trên  cùng v ớ i m ộ t tích vô h ướ ng g ọ i là không gian ti ề n Hilbert. Định nghĩa 1.3.3. Ta g ọ i m ộ t t ậ p H ≠ ∅ là không gian Hilbert th ự c n ế u t ậ p H tho ả mãn các đ i ề u ki ệ n: 1) H là không gian tuy ế n tính trên tr ườ ng s ố th ự c  ; 2) H đượ c trang b ị tích vô h ướ ng ; 3) H là không gian Banach v ớ i chu ẩ n ( , ), H x x x x = ∈   . T ươ ng t ự ta có th ể đị nh ngh ĩ a cho không gian Hilbert ph ứ c. Ví dụ 1.3.1. Không gian k  là không gian Hillbert v ớ i tích vô h ướ ng 1 ( , ) k i i i x y x y = = ∑ là không gian Hillbert. Ví dụ 1.3.2. Kí hi ệ u [ , ] p L a b là không gian các hàm s ố bình ph ươ ng kh ả tích trên đ o ạ n [ , ] a b , [ , ] p x L a b ∈ thì 2 ( ) ( ) b a p t x t dt < +∞ ∫ trong đ ó ( ) p t là hàm tr ọ ng ( ( ) p t đượ c ch ọ n tho ả mãn các đ i ề u ki ệ n: Xác đị nh kh ả tích trên đ o ạ n [ , ] a b , ( ) 0 p t ≥ trên [ , ] a b và ( ) 0 p t = ch ỉ trên m ộ t t ậ p có độ đ o 0). Ta trang b ị trên [ , ] p L a b m ộ t tích vô h ướ ng b ằ ng cách đặ t v ớ i ( ), ( ) [ , ] p x t y t L a b ∈ thì ( , ) ( ) ( ) ( ) b a x y p t x t y t dt = ∫ . Không gian [ , ] p L a b v ớ i tích vô h ướ ng trên là m ộ t không gian Hillbert. Định nghĩa 1.3.4. Cho không gian Hilbert H. Hai ph ầ n t ử , H x y ∈ g ọ i là tr ự c giao và ký hi ệ u x y ⊥ n ế u ( , ) 0 x y = . [...]... b ch n trong m t ph ng ph c z Cho f ( z ) là hàm gi i tích trong B và liên t c trong B Bài toán tìm min max| f ( z ) − (a0 + a1 z + a2 z 2 + + an z n )| a0 , ,an a ≤ x ≤b có nghi m 2.2 Tính duy nh t c a x p x t t nh t Theo nh lý 2.1.1 x p x t t nh t luôn t n t i nhưng có th không duy nh t V y v i i u ki n nào thì bài toán tìm x p x t t nh t có nghi m duy nh t ? Sau ây s là m t i u ki n bài toán x... Cho không gian Hilbert H và t p con A ⊂ H , A ≠ ∅ Ph n t x ∈ H g i là tr c giao v i t p A n u x ⊥ y ∀y ∈ A và ký hi u x ⊥ A nh lý 1.3.2 ( nh lý Pythagore) N u x, y ∈ H và x ⊥ y thì x+ y nh nghĩa 1.3.6 M t h 2 = x {en } 2 + y 2 (1.3.3) các ph n t c a không gian Hilbert H g i là h tr c chu n n u (ei , e j ) = δ ij trong ó δ ij là ký hi u Kronecker ( t c δ ij = 1 v i i = j và δ ij = 0 v i i = j ) Như... 2 2 H qu 2.2.1 Trong không gian tuy n tính nh chu n l i th c s bài toán tìm min y − ( a1 x1 + a2 x2 + + an xn ) có nghi m duy nh t ai 2.3 X p x u t t nh t trong không gian các hàm liên t c nh h ơn th c 1, x, x 2 , , x n Ký hi u P là t p h p các a th c có b c không quá n trên o n [a, b] và quy n ư c có c a th c ng nh t không v i b c 0 Trong ph n này ta xét X = C[a ,b ] , A = P , chu n trong C[a ,b ]... + cn−1 x n−1 + cn x n c trưng b i véc tơ các h s c = (c0 , c1 , , cn ) ∈ » n+1 nên P là không gian con n c a C[a ,b ] và dim P = n + 1 Theo n nh lý 2.2.1 bài toán tìm P ∈ P sao cho n f − P = En ( f ) = min Q∈ P n f −Q có nghi m nh lý 2.3.1 ( nh lý Vallée-Poussin) Gi s f ∈ C[a ,b ] và Q ∈ P N u t n n t i n + 2 i m phân bi t a ≤ x0 < x1 < < xn +1 ≤ b sao cho f ( xi ) − Q ( xi ) l n lư t i d u, nghĩa... nh lý 1.3.3 (B t ng th c Bessel) N u {en }n≥1 là m t h tr c chu n nào ó trong không gian Hilbert H thì v i m i x ∈ H ta có b t ∑|( x, e )| ≤ 2 n x 2 ng th c (1.3.4) n≥1 nh nghĩa 1.3.7 M t h tr c chu n {en }n≥1 g i là y trong không gian Hilbert H khi ch duy nh t véc tơ không tr c giao v i t t c các ph n t c a h , nghĩa là: x ⊥ en ( n = 1, 2 ) ⇒ x = 0 12 nh lý 1.3.4 Cho {en }n≥1 là m t h tr c chu n trong. .. n =1 ∞ 4) (∀x, y ∈ H) (x, y ) = ∑ ( x, en )(en , y ) ( ng th c Parseval); n =1 5) H {en }n≥1 tuy n tính trù m t trong H, nghĩa là h các t h p tuy n tính c a các en ( bao tuy n tính c a h {en }n≥1 ) trù m t trong H nh lý 1.3.5 N u e1 , e2 , , là m t h tr c chu n trong không gian Hilbert H và v i y tuỳ ý thì N N i =1 i =1 y − ∑ ( y, ei )ei ≤ y − ∑ ai ei (1.3.5) v i a1 , a2 , , aN là các h ng s b t kì... p compact, do ó Φ ∃x0 ∈Ω : Φ( x0 ) = min Φ( x) = min y − x nh lý ư c ch ng minh x∈A x∈Ω H qu 2.1.1 Cho X là không gian c l p tuy n tính và y ∈ X là ph n t c t c c ti u, t c: nh chu n x1 , x2 , , xn ∈ X là n ph n t nh Bài toán tìm min y − ( a1x1 + a2 x2 + + an xn ) ai có nghi m H qu 2.1.2 Cho f ( x) ∈ C[a ,b ] và n là s nguyên c nh Bài toán tìm min max| f ( x) − ( a0 + a1 x + a2 x 2 + + an x n )|... V y có µ > Q − f ≥ min | Q ( xi ) − f ( xi ) | = µ i u này mâu thu n i =1, n nh lý ư c ch ng minh nh lý 2.3.2 ( nh lý Chebyshev) i u ki n c n và a th c P ∈ P là n u t t nh t c a f ∈ C[a ,b ] là t n t i n + 2 a th c x p x i m luân phiên Chebyshev sao cho: f ( xi ) − P( xi ) = α ( −1)i f − P ( i = 0,1, , n + 1 ) (2.3.1) trong ó α = ±1 Ch ng minh i u ki n : Gi s t n t i n + 2 i m a ≤ x0 < x1 < < xn +1... 1+ 3 = 2 2 u t t nh t không gian các hàm liên t c nh các h phi tuy n Trong m c này ta luôn quy ư c: b0 x m + b1 x m −1 + + bm ≠ 0 ∀x ∈ [a, b] nh lý 2.4.1 Cho f ( x) ∈ C[ a ,b ] và gi s toán tìm min max| f ( x ) − ai ,bi a ≤ x ≤b m, n là hai s nguyên ≥ 0 Bài a0 x n + a1 x n −1 + + an | có nghi m b0 x m + b1 x m−1 + + bm Ch ng minh Trong các h s c a hàm h u t , ta có th ch n các bi tho 2 mãn b02 +... 1, 2 ) và b i tính liên t c suy ra | f ( x ) − R ' ( x )|≤ ∆ Như v y ta ã ch ng t r ng | f ( x ) − R ' ( x )|≤ ∆ v i m i x ∈ [a,b] , theo nh nghĩa ∆ suy ra (2.4.6) i u ph i ch ng minh K T LU N CHƯƠNG 2 Trong chương này chúng tôi ã th c hi n ư c nh ng công vi c sau • Phát bi u bài toán cơ b n c a x p x tuy n tính trong không gian tuy n tính nh chu n, ch ng minh ư c s t n t i nghi m c a bài toán ó • . toán s ơ c ấ p dành cho h ọ c sinh khá gi ỏ i. Do v ậ y tôi đ ã quy ế t đị nh ch ọ n đề tài ‘‘ Một số vấn đề về lý thuyết xấp xỉ tốt nhất, bậc của xấp xỉ và ứng dụng trong toán sơ. 2: XẤP XỈ TỐT NHẤT……………………………………… 15 2.1. Bài toán cơ bản của xấp xỉ tuyến tính……………………………… 15 2.2. Tính duy nhất của xấp xỉ tốt nhất…………………………………… 18 2.3. Xấp xỉ đều tốt nhất trong. nghiệm. 2.2. Tính duy nhất của xấp xỉ tốt nhất Theo định lý 2.1.1 xấp xỉ tốt nhất luôn tồn tại nhưng có thể không duy nhất. Vậy với điều kiện nào thì bài toán tìm xấp xỉ tốt nhất có nghiệm duy