Một số phương pháp giải gần đúng phương trình tích phân và ứng dụng

96 565 2
Một số phương pháp giải gần đúng phương trình tích phân và ứng dụng

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

Thông tin tài liệu

LỜI CẢM ƠN Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học sư phạm Hà Nội 2, dưới sự hướng dẫn của TS. Khuất Văn Ninh. Tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS. Khuất Văn Ninh, người thầy đã luôn tận tình chỉ bảo, động viên và khuyến khích tác giả trong những ngày đầu làm quen với nghiên cứu khoa học và trong quá trình thực hiện bản luận văn. Đồng thời, tác giả cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới các thầy cô giáo trong Khoa Toán, Đại học sư phạm Hà Nội 2 cùng các thầy cô tham gia giảng dạy cao học chuyên ngành Toán giải tích đã giúp đỡ tác giả trong suốt thời gian học tập từ những năm còn là sinh viên cho đến ngày hôm nay. Thêm nữa, tác giả cũng xin chân thành cảm ơn các đồng nghiệp trong Khoa tự nhiên, Trường Cao đẳng sư phạm Vĩnh Phúc (nơi tác giả mới nhận công tác) đã tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tác giả trong những khoảng thời gian cuối cùng hoàn thành bản luận văn này. Hà Nội, ngày 30 tháng 9 năm 2010 Tác giả LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan luận văn là công trình nghiên cứu của riêng tôi dưới sự hướng dẫn của T.S Khuất Văn Ninh. Trong khi nghiên cứu luận văn, tôi đã kế thừa thành quả khoa học của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn. Một số kết quả đã đạt được trong luận văn là mới và chưa từng được công bố trong bất kỳ công trình khoa học nào của ai khác. Hà Nội, ngày 30 tháng 9 năm 2010 Tác giả Mục lục Lời mở đầu 1 1 Một số kiến thức liên quan 4 1.1. Các khái niệm cơ bản của giải tích hàm . . . . . . . . . . 4 1.1.1. Không gian metric . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.1.2. Không gian định chuẩn . . . . . . . . . . . . . . 6 1.1.3. Không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.2. Khái niệm về phương trình tích phân . . . . . . . . . . . 10 1.2.1. Phương trình toán tử . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.2.2. Phương trình tích phân . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.2.3. Một số điểm chú ý . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2 Một số phương pháp giải gần đúng phương trình tích phân 14 2.1. Phương pháp nhân suy biến . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.1.1. Phương pháp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.1.2. Các ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 iii iv 2.2. Phương pháp Fredholm thay phiên . . . . . . . . . . . . 20 2.2.1. Phương pháp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.2.2. Ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.3. Phương pháp xấp xỉ nhân . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.3.1. Phương pháp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.3.2. Các ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.4. Phương pháp xấp xỉ liên tiếp . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.4.1. Lược đồ lặp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.4.2. Phương trình tích phân Volterra . . . . . . . . . . 36 2.4.3. Ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 2.5. Phương pháp Galerkin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 2.5.1. Phương pháp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 2.5.2. Mối liên hệ giữa phương pháp Galerkin với phương pháp nhân suy biến . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 2.5.3. Ví dụ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 2.6. Phương pháp cầu phương . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 2.6.1. Phương pháp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 2.6.2. Ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 3 Ứng dụng 58 3.1. Ứng dụng vào phương trình vi phân thường . . . . . . . 58 3.1.1. Bài toán giá trị ban đầu . . . . . . . . . . . . . . 58 v 3.1.2. Bài toán giá trị biên . . . . . . . . . . . . . . . . 61 3.1.3. Ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 3.2. Ứng dụng giải số bằng lập trình Maple 12 . . . . . . . . 64 3.2.1. Phương pháp nhân suy biến . . . . . . . . . . . . 65 3.2.2. Phương pháp xấp xỉ nhân . . . . . . . . . . . . . 70 3.2.3. Phương pháp xấp xỉ liên tiếp . . . . . . . . . . . 75 3.2.4. Phương pháp Galerkin . . . . . . . . . . . . . . . 77 3.2.5. Phương pháp cầu phương . . . . . . . . . . . . . 86 Kết luận 88 Tài liệu tham khảo 89 BẢNG KÝ HIỆU N Tập số tự nhiên N ∗ Tập số tự nhiên khác không Q Tập số hữu tỷ R Tập số thực Z Tập số nguyên C Tập số phức R k Không gian thực k chiều C [a;b] Tập tất cả các hàm số thực liên tục trên [a, b] C L [a;b] Tập tất cả các hàm số thực liên tục và khả tích trên [a, b] D k [a;b] Tập tất cả các hàm số xác định và có đạo hàm liên tục đến cấp k trên [a, b] . Chuẩn ∅ Tập hợp rỗng 1 LỜI MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Rất nhiều bài toán vật lý thường được giải bằng phương pháp phương trình vi phân đều có thể giải một cách hiệu quả hơn bằng cách sử dụng phương trình tích phân. Thật vậy, phương pháp sử dụng phương trình tích phân được xuất hiện trong nhiều tài liệu với một tần suất tăng dần và đã cung cấp những lời giải cho các bài toán mà sẽ gặp khó khăn nếu giải bằng những phương pháp cơ bản của phương trình vi phân. Những bài toán như vậy xuất hiện rất nhiều trong những lĩnh vực ứng dụng và những phương pháp được khảo sát trong luận văn này sẽ rất hữu ích trong toán học ứng dụng, vật lý toán và cơ lý thuyết. Phương trình tích phân đem đến một kĩ thuật hiệu quả cho việc giải quyết rất nhiều những bài toán thực tế khác nhau. Một trong những lí do của ích lợi này là tất cả những điều kiện ban đầu và điều kiện biên của một bài toán phương trình vi phân đều có thể gói gọn lại trong một phương trình tích phân đơn. Sự thay thế một mô hình toán học phức tạp của một tình huống vật lí thành một phương trình tích phân đơn đã là một bước tiến đáng kể nhưng còn rất nhiều những lợi ích của việc thay thế phép tính vi phân bởi phép tính tích phân. Một trong những lợi thế này nảy sinh bởi phép tính tích phân là một quá trình “uyển chuyển” được thể hiện trong quá trình tìm nghiệm xấp xỉ. Nếu ta cần tìm một lời giải chính xác hay gần đúng của bài toán cho trước thì phương trình tích phân chính là một phương pháp hữu ích được trông đợi. Cũng bởi lí do này mà phương 2 trình tích phân đã thu hút được sự chú ý của các nhà toán học trong phần lớn thời gian của thế kỉ trước và đầu thế kỉ này, và lí thuyết của nó đang phát triển rất mạnh mẽ. Cùng với mong muốn hiểu biết sâu hơn về vấn đề này, dưới sự hướng dẫn của TS. Khuất Văn Ninh, tôi mạnh dạn chọn đề tài nghiên cứu: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI GẦN ĐÚNG PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG Bố cục của luận văn bao gồm 3 chương: Chương 1 của luận văn trình bày một số khái niệm của giải tích hàm và khái niệm về phương trình tích phân. Cuối chương trình bày một số điểm chú ý. Chương 2 của luận văn tập trung trình bày một số phương pháp giải phương trình tích phân tuyến tính. Chương 3 của luận văn trình bày ứng dụng của phương trình tích phân vào giải phương trình vi phân và ứng dụng giải số bằng lập trình Maple 12. 2. Mục đích nghiên cứu Xây dựng các phương pháp giải gần đúng phương trình tích phân và ứng dụng của những phương pháp này trong thực tế. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu Làm rõ những nội dung cần thể hiện. Qua đó, thấy được lợi ích và tính hữu dụng của các phương pháp này. 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu 3 Nghiên cứu phương trình tích phân ở phương diện giải xấp xỉ nghiệm và ứng dụng của nó vào thực tế. 5. Phương pháp nghiên cứu Nghiên cứu tài liệu, suy luận logic, phân tích tổng hợp. 6. Dự kiến đóng góp mới Lập trình trên máy tính điện tử giải một số phương trình tích phân. Hà Nội, ngày 30 tháng 9 năm 2010 Tác giả luận văn Nguyễn Thị Hoài Chương 1 Một số kiến thức liên quan 1.1. Các khái niệm cơ bản của giải tích hàm 1.1.1. Không gian metric Cho X là một tập tùy ý. Định nghĩa 1.1.1. Một metric trong X là một ánh xạ d : X × X → R của tích X × X vào đường thẳng thực R, thỏa mãn các điều kiện sau đây: 1) d(x, y) ≥ 0, ∀x, y ∈ X; 2) d(x, y) = 0 ⇔ x = y; 3) d(x, y) = d(y, x), ∀x, y ∈ X; 4) d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y), ∀x, y, z ∈ X. Một không gian metric là một tập hợp cùng với một metric trong 4 [...]... tử tích phân 12 • A là toán tử tích phân Volterra nếu t (Ag)(t) = K(t, s)g(s)ds a trong đó, hàm K(t, s) gọi là nhân của các toán tử tích phân Nếu A là toán tử tích phân Fredholm thì tương ứng với (1.1) và (1.2) ta có phương trình tích phân Fredholm loại I và loại II Nếu A là toán tử tích phân Volterra thì tương ứng với (1.1) và (1.2) ta có phương trình tích phân Volterra loại I và loại II 1.2.3 Một số. .. về phương trình tích phân 1.2.1 Phương trình toán tử Cho A là toán tử tuyến tính liên tục từ không gian định chuẩn X vào chính nó Định nghĩa 1.2.1 Phương trình dạng Ag = f, (1.1) trong đó f ∈ X cho trước, được gọi là phương trình loại I Phương trình dạng g = λAg + f, (1.2) trong đó f ∈ X cho trước, tham số λ ∈ P , được gọi là phương trình loại II 1.2.2 Phương trình tích phân Định nghĩa 1.2.2 Phương trình. .. 3) Phương trình tích phân Fredholm đặt không chỉnh theo nghĩa: chỉ một kích động nhỏ của vế trái dẫn đến sự thay đổi lớn của nghiệm, thậm chí làm cho phương trình vô nghiệm Bởi vậy, trong giới hạn của đề tài, giới hạn hiểu biết của riêng tác giả, và nhằm đạt được mục đích nghiên cứu, luận văn này chỉ xét tới phương trình tích phân Fredholm loại II Chương 2 Một số phương pháp giải gần đúng phương trình. .. λ(2 − e2 ) Cuối cùng, thay (2.22) vào (2.21) ta được g(t) = λet 2 + t λ(2 − e2 ) Nghiệm của phương trình ban đầu là 2et g(t) = + t 2 − e2 (2.22) 20 2.2 Phương pháp Fredholm thay phiên Phương pháp trên kia cho thấy rằng, nếu nhân K(t, s) là suy biến thì bài toán giải phương trình tích phân Fredholm loại II qui về việc giải một hệ phương trình đại số Nhưng những phương trình với nhân suy biến dạng hiện... biến b ˜ K(t, s)g(s)ds + f (t), g(t) = λ a 28 và phương trình này đã biết cách giải Bây giờ áp dụng giải phương trình sau Ví dụ 2.3.2 Giải phương trình dạng 1 ets g(s)ds + 1 g(t) = 0 Lời giải Theo trên chúng ta sẽ xấp xỉ nhân bởi tổng của 3 số hạng đầu tiên trong khai triển Taylor: t2 s 2 K(t, s) = e ≈ 1 + ts + 2 ts Phương trình đã cho xấp xỉ với phương trình 1 g (t) = 0 t2 s2 (1 + ts + )g (s)ds + 1,... − 1)! Khi đó ta thu được phương trình tích phân mới có nhân suy biến b ˜ K(t, s)g(s)ds + f (t) g(t) = λ a và phương trình này đã biết cách giải 30 Ví dụ 2.3.4 Giải phương trình π 2 g(t) = sin tsg(s)ds + cos t 0 Lời giải Ta xấp xỉ nhân bởi tổng của 2 số hạng đầu tiên trong khai triển Taylor: (ts)3 K(t, s) = sin ts ≈ ts − 6 Khi đó ta nhận được phương trình xấp xỉ của phương trình ban đầu là π 2 g (t)... có nghiệm duy nhất Mặt khác, với mọi giá trị của λ sao cho D(λ) = 0, hệ phương trình đại số (2.9) và do đó phương trình tích phân (2.1) hoặc vô nghiệm hoặc có vô số nghiệm Như vậy, việc giải phương trình (2.1) với nhân suy biến gồm các bước: 1) Tính các tích phân: b βi (s)f (s)ds = fi a b βi (s)αk (s)ds = aik a 2) Giải hệ đại số tuyến tính: n ci − λ aik ck = fi , i = 1, 2, k=1 Nếu định thức của hệ... hiện chưa ở dạng hiện, mà chúng xuất hiện ở dạng có thể phân tích thành tổng những nhân suy biến Khi đó, ta sẽ phải dùng phương pháp sau đây để giải quyết 2.2.1 Phương pháp Trong (2.1) ta đã biết việc tìm nghiệm của phương trình tích phân Fredholm loại II với nhân suy biến dựa vào sự nghiên cứu định thức (2.10) của hệ số của hệ phương trình đại số (2.9) Nếu D(λ) = 0, thì hệ có nghiệm duy nhất cho bởi... thể xấp xỉ nhân của nó bằng một nhân suy biến và lấy nghiệm đúng của phương trình nhân suy biến làm nghiệm gần đúng của phương trình xuất phát, nghĩa là ta có thể tìm được nghiệm của phương trình tích phân Fredholm loại II với nhân không suy biến Như vậy, một điều tự nhiên là ta sẽ tìm cách xấp xỉ nhân không suy biến K(t, s) ∈ L2 [a; b] với một nhân suy biến Và điều đó được thực hiện như sau Với nhân... coi nghiệm gn (t) của phương trình tích phân với nhân suy biến Kn (t, s) b gn (t) = λ Kn (t, s)gn (s)ds + f (t) (2.34) a là nghiệm gần đúng của phương trình tích phân (2.30) Bây giờ ta đi đánh giá sai số của phương pháp này Đặt εn (t) = g(t) − gn (t) Từ (2.31) và (2.3.32) ta có: b εn (t) = λ b Kn (t, s)εn (s)ds + λ a δn (t, s)g(s)ds a Đây là phương trình tích phân tuyến tính với nhân suy biến, do đó . bày ứng dụng của phương trình tích phân vào giải phương trình vi phân và ứng dụng giải số bằng lập trình Maple 12. 2. Mục đích nghiên cứu Xây dựng các phương pháp giải gần đúng phương trình tích. cứu: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI GẦN ĐÚNG PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG Bố cục của luận văn bao gồm 3 chương: Chương 1 của luận văn trình bày một số khái niệm của giải tích hàm và khái niệm về phương. thường được giải bằng phương pháp phương trình vi phân đều có thể giải một cách hiệu quả hơn bằng cách sử dụng phương trình tích phân. Thật vậy, phương pháp sử dụng phương trình tích phân được

Ngày đăng: 22/07/2015, 23:06

Từ khóa liên quan

Tài liệu cùng người dùng

Tài liệu liên quan