BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 PHÙNG THỊ NHÀN HÀM TRỤ VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN GIẢI TÍCH Hà Nội-2009 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 PHÙNG THỊ NHÀN HÀM TRỤ VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Toán Giải tích Mã số: 60 46 01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS.NGƯT. Nguyễn Huy Lợi Hà Nội, 2009 LỜI CẢM ƠN Em xin bày tỏ lòng bi ết ơn chân thành và sâu sắc tới PGS. TS. NGƯT Nguyễn Huy Lợi và các thầy cô giáo đã hướng dẫn tận tình, đầy hiệu quả, thường xuyên dành cho em sự chỉ bảo, giúp đỡ và động viên cả về vật chất cũng như tinh thần giúp em hoàn thành luận văn đúng thời hạn. Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến ban lãnh đạo, các thầy cô, cán bộ nhân viên của Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã tạo điều kiện t huận lợi cho em trong thời gian học tậ p tại trường. Tác giả cũng xi n bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới anh em, bạn bè gần xa và người thân trong gia đình đã động vi ên, tạo mọi điều kiện để luận văn sớm được hoà n thành. LỜI CAM ĐOAN Tác giả xin cam đoa n luận văn là công trình nghiên cứu của riêng tác giả được thực hiện dưới sự hướng dẫn của PGS.TS. NG ƯT Nguyễn Huy Lợi. Trong khi nghiên cứu luận văn, tác giả đã kế thừa thành quả khoa học của các nhà khoa học và đồng nghiệp với sự trân trọng và biết ơn. Hà Nội, tháng 10 năm 2009 Phùng Thị Nhàn NHỮNG KÍ HIỆU Trong luận văn sử dụng các kí hiệu với các ý nghĩa được xác định trong bảng sau R tập hợp số thực C tập hợp số phức ∅ tập rỗng −∞ âm vô cùng ∞ dương vô cùng (tương đương với +∞) ber là phần thực của hàm bei là phần ảo của hàm Mục lục Lời cảm ơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Lời cam đoan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Những kí hiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 Chương 1. HÀM TRỤ 9 1.1. Hàm chỉnh hình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.2. Hàm Gamar Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.3. Hàm trụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.3.1. Hàm trụ loại 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.3.2. Các hàm trụ khác. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 1.3.3. Biểu diễn tiệm cận đối với các hàm trụ . . . . . . . . 39 1.3.4. Đồ thị của hàm trụ và sự phân bố các không điểm . . 4 7 Chương 2. ỨNG DỤNG CỦA HÀM TRỤ 53 2.1. Ứng dụng để giải quyết các vấn đề lý thuyết . . . . . . . . . . 53 2.1.1. Định lý cộng đ ối với các hàm Bessel . . . . . . . . 53 2.1.2. Những phương trình vi phân giải được nhờ hàm trụ 53 2.1.3. Các tích phân có chứa hàm Bessel . . . . . . . . . 54 2.1.4. Tích phân Sonhin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 2.1.5. Tích phân của thuyết sóng điện . . . . . . . . . . 58 2.1.6. Dao động của dây xích . . . . . . . . . . . . . . . . 60 2.1.7. Dao động của màng tròn . . . . . . . . . . . . . . . 63 2.1.8. Nguồn nhiệt hình trụ . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 2.1.9. Sự truyền nh iệt trong hình trụ tròn . . . . . . . . 67 2.2. Một số ứng dụng khác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 6 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 TÀI LIỆU THAM KHẢO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Sự ra đời của số phức và quá t rình nghiên cứu phát t riển ho àn thiện lí thuyết hàm số biến số phức như một dấu mốc quan trọng trong quá trình phát triển toán học. Những kết quả đạt được trong lý thuyết đó đã giải quyết rất nhiều những vấn đề quan trọng trong nhiều lĩnh vực khoa học, đời sống khác nhau. Khi nghiên cứu giải tích phức, một tr ong những vấn đề được nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu đó là lí thuyết hàm trụ. Nhiều tính chấ t quan trọng của hàm trụ đã được tìm ra và biết đến với nhiều ứng dụng có t ính thực tiễn cao trong vật lý, kỹ thuật, xây dựng. . . Từ việc nghiên cứu hàm trụ trong không gian hai chiều, nhiều nhà toán học đã không ngừng phá t triển, mở rộng cho không gia n ba chiều, nhiều chiều và đạt được nhiều kết quả to lớn. Với những kết quả đã đạ t được trong không gian các hàm biến số thực như việc tính độ dài đường cong, diện tích mặt, thể tích khối. . Việc nghiên cứu trên hàm trụ đã giải q uyết một cách triệt để những vấn đề này trên những lớp hàm biến số phức đặc biệt được biểu diễn thông qua hà m trụ. Với nhiều ứng dụng đặc biệt trong khoa học và đời sống mà việc nghiên cứu hàm trụ đem lại, với mong muốn tìm hiểu một cách sâu sắc, có hệ thống về hàm trụ cùng với những ứng dụng của nó tác giả mạnh dạn chọn đề tài “Hàm trụ và ứng dụng” 2. Mục đích nghiên cứu Tìm hiểu hàm trụ, các tính chất của hàm trụ và ứng dụng của hàm trụ. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu Luận văn tìm hiểu hàm trụ, hệ thống hóa theo hướng ứng dụng của nó. 4. Đối tượng và p hạm vi nghiên cứu 8 Luận văn được chia thành hai chương: Chương 1: Hàm trụ. Chương 2: Ứng dụng của hàm trụ. 5. Phương pháp nghiên cứu Đọc, dịch, tra cứu tà i liệu tham khảo, nghiên cứu khoa học một cách lo gic và hệ thống. 6. Giả thuyết khoa học Nghiên cứu sâu một khái niệm của toán học, nâng nó lên thành đề tài nghiên cứu và đề xuất các ứng dụng của nó trong việc giải quyết một số vấn đề của lý thuyết, giải t oán và thực tiễn. Luận văn là tài liệu tham khảo hữu ích cho sinh viên, họ c viên cao học và người yêu thích toán học. Chương 1 HÀM TRỤ 1.1. Hàm chỉnh hình Giả sử hàm f = u + iv xác định và hữu hạn trong lân cận nào đó của điểm z 0 = x 0 + iy 0 ∈ C. Định nghĩa 1.1. Ta nói rằng f khả vi tại điểm z 0 theo nghĩa giải tích thực (hay R 2 − khả vi), nếu các hàm u và v khả vi như những hàm của (x, y) tại điểm (x 0 , y 0 ) biểu thức df = du + idv, (1.1) được gọi là vi phân của f tại điểm z 0 . Định nghĩa 1.2. Hàm f được gọi là chỉnh hình tại điểm z 0 nếu nó C− khả vi trong lân cận của điểm ấy. Ta sẽ gọi hàm f là chỉnh hình trên tập mở D, nếu nó chỉnh hình tại mỗi điểm của D (do vậy trong tập D khái niệm giải tích và khả vi phức trùng nhau). Ta sẽ gọi hàm f chỉnh hình trên tập hợp bấ t kì M ⊂ C nếu nó có thể thác triển giải tích lên tậ p hợp mở nào đó D ⊃ M. Cuối cùng, hàm f chỉnh hình tại điểm vô cùng được hiểu là tính chỉnh hình của hàm ϕ(z) = ϕ( 1 z ) tại z = 0. Định nghĩa này cho phép ta xét hàm chỉnh hình trên các tập hợp của mặt phẳng đóng C. Định lý 1.1. Tổng và tích của các hàm chỉnh hình trong miền D cũng chỉnh hình trong miền ấy. Do đó tập hợp tất cả những hàm chỉnh hình trong miền D lập nên một vành và vành này ta sẽ chỉ bằng kí hiệu H(D). H(D) là một không gian vector trên C. [...]... (1.61) 2i Những hàm này được gọi là hàm trụ dạng 2 hay là hàm Vêber; chúng được gọi cả hàm Nheyman và khi đó có nghĩa là qua hàm Nλ (z) Vì trong giá trị thực z và λ hàm Jλ (z) là hàm thực, nên từ công thức (1.58) rút ra rằng đối với giá trị z và λ như thế ta có (1) (2) Hλ (z) = Hλ (z) Nhưng khi rút ra từ (1.61) rõ ràng đối với những giá trị thực z và λ những hàm Vêber có giá trị thực Khi sử dụng các công... sử dụng công thức (1.36) và công thức J0(z) = J1(z) của mục trước, chúng ta nhận được (1) H 1 (z) = −i 2 2 iz (2) e ; H 1 (z) = −i πz 2 2 −i z e πz (1.60) Tương tự trên giữa hàm Bessel và lượng giác, công thức (1.56) và (1.60) chỉ ra sự tương đương giữa các hàm Hλ (z) và e±iz 3) Những hàm Vêbe Công thức (1.56) cho chúng ta thấy hàm Jλ được xây dựng từ những hàm Hλ , như hàm cosin Xem xét cả những hàm. .. II biểu diễn hàm trụ ở nửa mặt phẳng phải Khi những giá trị nguyên của tham số λ = n, n = 0, ±1, ±2, do tính tuần hoàn của hàm số einζ và sin ζ tích phân phần thẳng ứng của chu tuyến 22 Hình 1.3 II được rút gọn tương quan, và chúng ta nhận được 1 Jn(z) = 2π π −π π 1 ei z sin ζ−in ζ dζ = π 0 cos(z sin ζ − nζ)dζ (chúng ta khai triển hàm theo công thức Euler và sử dụng hàm chẵn cos và hàm lẻ sin) Đó... Weierstrass của sinπz, ứng với các chỉ số k âm (ở đó thay k bằng −k và z = πz) Từ (1.8) suy ra rằng hàm 1 Γ(1+z) nguyên và nó có không điểm tại các điểm z = −k, (k = 1, 2, ) và chỉ có tại các điểm đó Vì thế hàm Γ (1 + z) không triệt tiêu và là hàm phân hình có các cực điểm cấp một tại các điểm nguyên âm và chỉ có tại các điểm đó mà thôi Từ (1.8) suy ra Γ (1) = 1 Do khẳng định trên Γ (2) = 0 và bởi vì hằng... thặng dư của nó, dựa vào (1.12) tại lân cận điểm z = −π, ta có (−1)n 1 + c0 + c1 (x + n) + Γ (x) = n! x + n và khi n tăng, hệ số của phần chính trong khai triển giảm đi rất nhanh 1.3 Hàm trụ Những hàm trụ hay còn được gọi là hàm Bessel đóng một vai trò cực kỳ quan trọng trong phần khai triển, là phương pháp chính sử dụng trong các bài toán có liên quan tới hình tròn hoặc hình trụ Điều này được giải... lý 1.2 Giả sử D ∈ C là một miền và H(D) là tập hợp các hàm chỉnh hình trên D Khi đó i) Nếu f ∈ H(D) và f (z) = 0 thì 1 f ∈ H(D) ii) Nếu f ∈ H(D) và f chỉ nhận giá trị thực thì f là không đổi Định lý 1.3 Nếu f : D → D∗ và g : D∗ → C là các hàm chỉnh hình, ở đây D và D∗ là các miền trong mặt phẳng (z), (w), thì hàm g0 f : D → C chỉnh hình Định lý 1.4 (Định lý Cauchy) Nếu hàm f ∈ H(D) thì tích phân của... n), hoặc (1.26) J−n(z) = (−1)Jn(z) 5) Hàm sinh Đối với giá trị không nguyên λ = n = 0, ±1, ±2 · ·· , phân tích của Sonhin (1.22) trùng hợp với công thức đối với hệ số khai triển của 1 z ) 2 (ω− ω vào chuỗi Laurent bậc ω ta có hàm e z 2 (ω− e 1 ) ω = ∞ (1.27) Jn(z)ω n n=−∞ Hàm số e z 2 (ω− 1 ) ω gọi là hàm sinh đối với Jn (z), chúng ta đã sử dụng nó để xác định hàm trụ bậc số nguyên Khi thay ở (1.27)... tổng quát Fourier, nó được gọi là chuỗi Fourier-Bessel Được chứng minh rằng 1 nó trùng hợp với [f (t − 0) + f (t + 0)] đối với hàm phẳng − đoạn trong 2 khoảng (0; l) 1.3.2 Các hàm trụ khác 1) Hàm Khankelia Chúng ta tiếp tục xét phương trình vi phân của hàm trụ với chỉ số z 2 ω + zω + (z 2 − λ2 )ω = 0 (1.52) 30 (z là biến số độc lập, ω là hàm số phải tìm, λ là tham số, tất cả đại lượng được đưa ra ở... tiến gần ∂ζ đến đầu C1 và C2, hoặc tiến đến 0 Do đó ta có cách giải phương trình (1.52) ở nửa mặt phẳng phải Re z > 0 1 ei z sin ζ−iλ ζ dζ, = π C1 1 (2) Hλ (z) = ei z sin ζ−iλ ζ dζ, π C2 (1) Hλ (z)        (1.55) được gọi là những hàm trụ dạng 3, hoặc những hàm Khankelia 2) Mối liên hệ giữa hàm trụ loại 1 và loại 3 Nếu cộng hai công thức (1.55), thì tích phân theo nửa trục ảo được rút gọn Chúng... > 0 và chúng ta đặt điều kiện nghiên cứu từng phần p2 + 1 mà trên trục tâm s nhận các giá trị dương Khi đó hàm X(p) sẽ tiến gần tới 0 với |ρ| → ∞, Reρ > 0, tương đương với argρ và vì thế sẽ được coi là sự thể hiện Chúng ta có thể gọi các hàm trụ loại 1 hay là những hàm Bessel bậc λ và đặt biểu tượng Jλ (x) (cho λ = n nguyên) Ta tìm ra hàm Jλ (x) như sau ept dp 1 Jλ (t) = 2πi p2 + 1(p + L p2 + 1)λ , . cứu Tìm hiểu hàm trụ, các tính chất của hàm trụ và ứng dụng của hàm trụ. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu Luận văn tìm hiểu hàm trụ, hệ thống hóa theo hướng ứng dụng của nó. 4. Đối tượng và p hạm vi nghiên. mà việc nghiên cứu hàm trụ đem lại, với mong muốn tìm hiểu một cách sâu sắc, có hệ thống về hàm trụ cùng với những ứng dụng của nó tác giả mạnh dạn chọn đề tài Hàm trụ và ứng dụng 2. Mục đích. của hàm trụ và sự phân bố các không điểm . . 4 7 Chương 2. ỨNG DỤNG CỦA HÀM TRỤ 53 2.1. Ứng dụng để giải quyết các vấn đề lý thuyết . . . . . . . . . . 53 2.1.1. Định lý cộng đ ối với các hàm