LỜI CẢM ƠN Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học sư phạm Hà Nội 2 dưới sự hướng dẫn của PGS.TS Nguyễn Năng Tâm. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành, sâu sắc tới PGS.TS Nguyễn Năng Tâm, người đã luôn quan tâm, động viên và tận tình hướng dẫn tác giả trong quá trình thực hiện luận văn. Tác giả xin được gửi lời cảm ơn chân thành Ban giám hiệu trường Đại học sư phạm Hà Nội 2, phòng Sau đại học, các thầy cô giáo trong nhà trường và các thầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán giải tích đã tạo điều kiện thuận lợi trong quá trình tác giả học tập và nghiên cứu. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn tới gia đình, người thân đã động viên và tạo mọi điều kiện để tác giả có thể hoàn thành bản luận văn này. Hà Nội, ngày 10 tháng 9 năm 2009 Tác giả Lê Chí Thanh LỜI CAM ĐOAN Tác giả xin cam đoan luận văn là công trình nghiên cứu của riêng tác giả dưới sự hướng dẫn của PGS.TS Nguyễn Năng Tâm. Hà Nội, ngày 10 tháng 9 năm 2009 Tác giả Lê Chí Thanh Mục lục Mở đầu 1 Chương 1. Một số kiến thức cơ bản 3 1.1. Khái niệm không gian Banach và một số tính chất . . . . 3 1.2. Đạo hàm Fréchet và Gâteaux . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.3. Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Chương 2. Dưới vi phân hàm lồi 19 2.1. Khái niệm mở đầu về dưới vi phân hàm lồi . . . . . . . . 19 2.1.1. Định nghĩa và những khái niệm cơ bản của hàm lồi 19 2.1.2. Dưới vi phân hàm lồi . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.2. Dưới vi phân của hàm lồi liên tục và nửa liên tục dưới . 28 2.2.1. Dưới vi phân của hàm lồi liên tục . . . . . . . . . 28 2.2.2. Dưới vi phân của hàm lồi nửa liên tục dưới . . . . 32 2.3. Một số phép toán dưới vi phân và bài toán ứng dụng . . 35 2.4. Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 Chương 3. Dưới vi phân của hàm Lipschitz địa phương 43 3.1. Khái niệm mở đầu về dưới vi phân của hàm Lipschitz địa phương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 3.1.1. Định nghĩa và những vấn đề cơ bản . . . . . . . . 43 3.1.2. Mối liên hệ với đạo hàm và dưới vi phân hàm lồi 50 iii 3.2. Một số phép toán về dưới vi phân suy rộng . . . . . . . . 56 3.3. Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 Chương 4. Đối đạo hàm và dưới vi phân 64 4.1. Nón pháp tuyến và đối đạo hàm . . . . . . . . . . . . . . 64 4.1.1. Nón pháp tuyến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 4.1.2. Đối đạo hàm và một số tính chất cơ bản . . . . . 72 4.2. Dưới vi phân qua giới hạn . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 4.2.1. Dưới vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 4.2.2. Một số quy tắc tính toán . . . . . . . . . . . . . . 80 4.3. Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 Kết luận 94 Tài liệu tham khảo 95 BẢNG KÍ HIỆU F : X ⇒ Y ánh xạ đa trị từ X vào Y domF miền hữu hiệu của F gphF đồ thị của F R = R ∪{−∞, +∞} tập số thực suy rộng X ∗ không gian đối ngẫu của không gian Banach X B X hình cầu đơn vị đóng trong không gian X B ρ (x) hình cầu đóng tâm x, bán kính ρ limsup giới hạn trên cho dãy số thực Limsup giới hạn trên theo nghĩa Painlevé - Kuratowski int Ω phần trong của Ω cl Ω bao đóng của Ω co Ω bao lồi của Ω cone Ω nón lồi sinh bởi Ω N(¯x, Ω) nón pháp tuyến Mordukhovich của Ω tại ¯x  N(¯x, Ω) nón pháp tuyến Fréchet của Ω tại ¯x f  (x; v) đạo hàm theo hướng của f tại x theo hướng v f 0 (x; v) đạo hàm theo hướng suy rộng (đạo hàm Clarke) của f tại x theo hướng v ∂ ∞ f(x) dưới vi phân suy biến của f tại x D ∗ F (¯x, ¯y) đối đạo hàm Mordukhovich của F tại (¯x, ¯y)  D ∗ F (¯x, ¯y) đối đạo hàm Fréchet của F tại (¯x, ¯y) x k ω −→ x hội tụ theo tôpô yếu x ∗ k ω ∗ −→ x ∗ hội tụ theo tôpô yếu ∗ x Ω −→ ¯x hội tụ trong Ω x f −→ ¯x x → ¯x, f(x) → f(¯x) ε ↓ 0 ε → 0, ε ≥ 0 MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Sự phát minh ra các phép tính vi-tích phân vào cuối thế kỷ XVII của I. Newton và G. M. Leibniz đã đưa toán học sang một giai đoạn mới. Trải qua thời gian, lý thuyết phép tính vi-tích phân được phát triển mạnh mẽ do những vấn đề toán học được đặt ra. Như ta đã biết, trong giải tích cổ điển, ngay cả trong R 1 nhiều hàm từ khoảng (a, b) vào R 1 không khả vi. Vì vậy rất khó xấp xỉ hàm này bởi một hàm tuyến tính. Để giải quyết vấn đề này, những năm 60 của thế kỷ XX, R. T. Rock- afellar đã xây dựng lý thuyết dưới vi phân cho hàm lồi. Đến những năm 70, F. H. Clarke đã xây dựng lý thuyết dưới vi phân và dưới vi phân suy rộng của hàm Lipschitz địa phương. Trong đó ý tưởng cơ bản của lý thuyết này là xấp xỉ hàm lồi (hoặc hàm Lipschitz) cho trước bằng cả một tập hợp, được gọi là tập dưới vi phân, nằm trong không gian đối ngẫu, thay vì chỉ có với một hàm tuyến tính như trong trường hợp khả vi. Ngay sau sự ra đời lý thuyết vi phân của Clarke, năm 1976 B. S. Mordukhovich đã đề xuất và xây dựng lý thuyết vi phân với cách tiếp cận: - Định nghĩa khái niệm dưới vi phân của các hàm số nhận giá trị trong tập số thực suy rộng; - Sử dụng dưới vi phân để định nghĩa nón pháp tuyến (nói chung là không lồi) của các tập hợp; - Sử dụng nón pháp tuyến (không lồi) để định nghĩa đối đạo hàm của ánh xạ đa trị; - Phát triển các quy tắc tính toán; - Áp dụng các khái niệm và quy tắc tính toán nói trên để chứng minh các định lý cơ bản, nghiên cứu hoặc đặc trưng các tính chất đáng quan 2 tâm của ánh xạ và hàm số trong các lý thuyết toán học, đưa ra các thuật toán giải quyết các bài toán khác nhau. Với mong muốn được tìm hiểu sâu hơn về sự phát triển của phép tính vi-tích phân và một số ứng dụng của nó, tôi đã chọn nghiên cứu đề tài "Đạo hàm suy rộng và ứng dụng". 2. Mục đích nghiên cứu Đề tài nghiên cứu các kết quả đạt được về đạo hàm suy rộng và với một số ứng dụng vào bài toán tối ưu. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu Việc nghiêu cứu luận văn với nhiệm vụ hệ thống, làm rõ các khái niệm đạo hàm và trình bày một số ứng dụng của từng khái niệm trong một số bài toán. 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu - Vi phân Fréchet, Gâteaux. - Dưới vi phân của hàm lồi. - Dưới vi phân của hàm địa phương. - Đối đạo hàm Mordukhovich. 5. Phương pháp nghiên cứu - Đọc sách, nghiên cứu lý luận, tài liệu chuyên khảo. - Tổng hợp kiến thức, vận dụng cho mục đích nghiên cứu. 6. Những đóng góp của đề tài Trình bày một cách có hệ thống các kiến thức cơ bản về lý thuyết đạo hàm suy rộng cùng với một số bài toán ứng dụng. Chương 1 Một số kiến thức cơ bản 1.1. Khái niệm không gian Banach và một số tính chất Mục này trình bày một số tính chất cơ bản của không gian Banach và đạo hàm Fréchet, Gâteaux sẽ được sử dụng về sau. Định nghĩa 1.1.1. (Không gian định chuẩn). Một không gian định chuẩn thực (phức) là một không gian vectơ thực (phức) X cùng với một ánh xạ X → R, được gọi là chuẩn và kí hiệu ., thỏa mãn: i) x ≥ 0, ∀x ∈ X và x = 0 nếu và chỉ nếu x = 0; ii) αx = |α|. x, ∀x ∈ X và ∀α ∈ R (hay C); iii) x + y ≤ x + y, ∀x, y ∈ X. Định nghĩa 1.1.2. (Dãy Cauchy). Một dãy vectơ (x n ) trong không gian định chuẩn được gọi là dãy Cauchy nếu với mỗi ε > 0 tồn tại một số M thỏa mãn x m − x n  < ε, ∀m, n > M. Định lý 1.1.1. Ta có những điều kiện sau là tương đương: (a) (x n ) là một dãy Cauchy; (b) x p n − x q n  → 0 khi n → ∞, với mỗi cặp dãy tăng của những số nguyên dương (p n ) và (q n ); (c)   x p n−1 − x p n   → 0 khi n → ∞, với mỗi dãy tăng của những số nguyên dương (p n ). 4 Nhận xét 1.1. Rõ ràng mỗi dãy hội tụ đều là dãy Cauchy. Thật vậy, nếu x n − x → 0 thì x p n − x q n  ≤ x p n − x+x q n − x → 0 với mỗi cặp dãy tăng của chỉ số (p n ) và (q n ). Điều ngược lại trong trường hợp tổng quát không đúng. Ví dụ 1.1.1. Cho P([0, 1]) là không gian các đa thức trên [0, 1] với chuẩn P  = max [0,1] |P (x)|. Định nghĩa: P n (x) = 1 + x + x 2 2! + + x n n! , n = 1, 2 Thì (P n ) là một dãy Cauchy, nhưng nó không hội tụ trong P ([0, 1]). Bổ đề 1.1. Nếu (x n ) là một dãy Cauchy của một không gian định chuẩn, thì dãy của chuẩn (x n ) là hội tụ. Lưu ý rằng bổ đề này kéo theo mỗi dãy Cauchy là bị chặn, tức là nếu (x n ) là một dãy Cauchy, thì có một số M thỏa mãn x n  ≤ M với ∀n. Định nghĩa 1.1.3. (Không gian Banach). Một không gian định chuẩn X được gọi là đủ nếu mỗi dãy Cauchy trong X hội tụ tới một phần tử của X. Một không gian định chuẩn đủ được gọi là một không gian Banach. Ví dụ 1.1.2. Chúng ta sẽ chỉ ra rằng không gian l 2 bao gồm tất cả những dãy số phức x = (x n ) sao cho chuỗi ∞  n=1 |x n | 2 hội tụ với chuẩn x =  ∞  n=1 |x n | 2 là không gian Banach. Lấy (a n ) là một dãy Cauchy trong l 2 . Giả sử (a n ) = (α n,1 , α n,2 , ). Với ε > 0 tùy ý, tồn tại một số N 0 thỏa mãn ∞  k=1 |α m,k − α n,k | 2 < ε 2 , ∀m, n ≥ N 0 . (1.1) Điều này kéo theo rằng với mỗi k ∈ N cố định và với mỗi ε > 0 tồn tại một số N 0 thỏa mãn |α m,k − α n,k | < ε, ∀m, n ≥ N 0 . 5 Nhưng điều này cũng có nghĩa là, với mỗi k dãy (α n,k ) là một dãy Cauchy trong C và vì vậy nó hội tụ. Kí hiệu: α k = lim n→∞ α n,k , k = 1, 2 và a = (α k ). Chúng ta sẽ chứng minh rằng a là một phần tử của l 2 và rằng dãy (a n ) hội tụ tới a. Thật vậy, từ (1.1) cho m → ∞ ta được ∞  k=1 |α k − α n,k | 2 ≤ ε 2 , (1.2) với mỗi n ≥ N 0 . Khi đó ∞  k=1 |α N 0 ,k | 2 < ∞, bởi bất đẳng thức Minkowski, ta có     ∞  k=1 |α k | 2 =     ∞  k=1 (|α k | − |α N 0 ,k | + |α N 0 ,k |) 2 ≤     ∞  k=1 (|α k | − |α N 0 ,k |) 2 +     ∞  k=1 |α N 0 ,k | 2 ≤     ∞  k=1 |α k − α N 0 ,k | 2 +     ∞  k=1 |α N 0 ,k | 2 < ∞. Điều này chứng minh rằng dãy a = (α n ) là một phần tử của l 2 . Hơn nữa, khi ε là nhỏ tùy ý (1.2) kéo theo lim n→∞ a − a n  = lim n→∞     ∞  k=1 (|α k − α n,k |) 2 = 0, tức là dãy (a n ) hội tụ tới a trong l 2 . Ví dụ 1.1.3. Một ví dụ quan trọng khác của không gian Banach là không gian C ([a,b]) những hàm liên tục (giá trị thực hoặc phức) trên một đoạn [a, b]. Nhắc lại rằng chuẩn trên C ([a,b]) được định nghĩa f = max [a,b] |f(x)|. Lấy (f n ) là một dãy Cauchy trong C ([a,b]) . Với ε > 0 tùy ý tồn tại N 0 ∈ N sao cho f n − f m  < ε, ∀m, n ≥ N 0 ; [...]... → 0 Trong nghĩa này, đạo hàm Fréchet đưa đến xấp xỉ tuyến tính tốt nhất của f gần x Cuối cùng, nếu A là một toán tử tuyến tính, thì đạo hàm của A chính là A và xấp xỉ tuyến tính tốt nhất của A là A Định lý 1.2.3 Nếu một ánh xạ có đạo hàm Fréchet tại một điểm, thì nó có đạo hàm Gâteaux tại điểm đó và cả hai đạo hàm là bằng nhau Chứng minh Lấy T : B1 → B2 , và x ∈ B1 Nếu T có đạo hàm Fréchet tại x thì:... bởi ứng dụng của toán tử song tuyến tính T (x) cho cặp của hàm (h, h) Rõ ràng, T (x) được áp dụng cho một cặp tổng quát của những hàm (h, k) cho b T (x)(h, k)(t) = Kuu (t, s, x(s)) h(s)k(s)ds (1.29) a Điều này có thể thu được từ (1.28) và sử dụng (1.24) 1.3 Kết luận Trong chương này chúng ta đã trình bày định nghĩa, một số tính chất cơ bản của không gian Banach, đạo hàm Fréchet (đạo hàm mạnh), đạo hàm. .. Ω vào không gian Banach B2 Lấy x ∈ Ω và ε > 0 thỏa mãn x + h ∈ Ω ở đó h < ε Thì: T (x + h) − T (x) = Ah + Φ(x, h) → 0, khi h → 0 Điều này chứng minh rằng T là liên tục tại x Nhiều định lý, kết quả, và thuật toán của giải tích thông thường có thể dễ dàng mở rộng cho đạo hàm Fréchet Ví dụ, quy tắc thường dùng cho phép tính vi phân của tổng và tích (trong trường hợp của hàm) của hai hay nhiều hàm áp dụng. .. tương tự (1.13) sử dụng tính f Mở rộng (1.19) cho trường hợp đạo hàm Fréchet cấp hai của một hàm giá trị vô hướng trên một không gian Banach, nó dường như thích hợp cho việc giải thích f (x)h2 là kết quả của ứng dụng của toán tử tuyến ϕ(h) tính f (x) cho cặp (h, h), và O(h2 ) là một hàm ϕ thỏa mãn →0 h 2 khi h → 0 Ví dụ 1.2.9 Tính f (x) cho một hàm giá trị thực khả vi f : RN → R, ta sử dụng khai triển... hàm Fréchet tại x được kí hiệu là T (x) hay dT (x) Trong trường hợp của một hàm giá trị thực f : R → R, đạo hàm thông thường tại x là một số biểu diễn độ dốc của đồ thị hàm số tại x Đạo hàm Fréchet của f không là một số nhưng là một toán tử tuyến tính từ R vào R Sự tồn tại đạo hàm thông thường f (x) kéo theo sự tồn tại đạo hàm Fréchet tại x Trong giải tích cổ điển, tiếp tuyến của một đường cong là... hướng u và được kí hiệu: f (x0 , u) (Ở đây khi t → 0+ ta còn gọi là đạo hàm theo hướng bên phải và có kí hiệu khác d+ f (x0 )(u)) Định lý 2.2.1 [24, Proposition 2.20] Cho f là một hàm lồi chính thường và x0 ∈ domf Khi đó i) f (x0 , u) tồn tại với mỗi hướng u và thỏa mãn f (x0 + λu) − f (x0 ) λ>0 λ f (x0 , u) = inf (2.4) ii) Hàm u → f (x0 , u) là lồi và thuần nhất dương và p ∈ ∂f (x0 ) nếu và chỉ nếu... C (iv) ⇒ (v) và (v) ⇒ (i) : là rõ ràng 2.1.2 Dưới vi phân hàm lồi Khái niệm hàm khả vi nhiều biến được biết đến bởi Jacobi và hàm khả vi trong không gian định chuẩn bởi Fréchet và Gâteaux Nếu hàm f đạt cực trị tương ứng tại x, gradient của f là bằng 0 tại điểm đó Vấn đề nảy sinh trong lý thuyết tối ưu, lý thuyết trò chơi dẫn đến những hàm không khả vi mà ta phải tìm cực tiểu của những hàm đó Ví dụ... (x) − πC (x0 ) ≤ 0, và do đó p, x − x0 ≤ f (x) − f (x0 ), ∀x ∈ Rn Vì vậy, p ∈ ∂f (x0 ) 28 2.2 Dưới vi phân của hàm lồi liên tục và nửa liên tục dưới 2.2.1 Dưới vi phân của hàm lồi liên tục Định nghĩa 2.2.1 (Đạo hàm theo hướng) Cho f : X ∈ R là hàm bất kì và lấy x0 là một điểm ở đó f là hữu hạn Nếu với u = 0 giới hạn lim t↓0 f (x0 + tu) − f (x0 ) t tồn tại, thì nó được gọi là đạo hàm theo hướng của... niệm vi phân Fréchet và đạo hàm Fréchet Định nghĩa 1.2.2 (Đạo hàm Fréchet) Cho x là một điểm cố định trong không gian Banach B1 Một toán tử tuyến tính liên tục A : B1 → B2 được gọi là đạo hàm Fréchet của toán tử T : B1 → B2 tại x nếu: T (x + h) − T (x) = Ah + Φ(x, h); (1.15) và lim h →0 Φ(x, h) = 0; h (1.16) 12 hay tương đương lim h →0 T (x + h) − T (x) − Ah = 0 h (1.17) Đạo hàm Fréchet tại x được... miền hữu hiệu và trên đồ thị của hàm f Định nghĩa 2.1.1 Hàm f : X → R được gọi là lồi nếu trên đồ thị của nó là một tập lồi trong X × R Nếu dom f = ∅ và f (x) > −∞ với mọi x ∈ X ta nói hàm f là chính thường Nhận xét 2.3 Từ định nghĩa hàm lồi ta thấy rằng với D là một tập lồi trong X và với x1 , x2 ∈ D và λ ∈ [0, 1] ta có f [(1 − λ)x1 + λx2 ] ≤ (1 − λ)f (x1 ) + λf (x2 ), (2.1) ở đó vế phải và vế trái . dụng của nó, tôi đã chọn nghiên cứu đề tài " ;Đạo hàm suy rộng và ứng dụng& quot;. 2. Mục đích nghiên cứu Đề tài nghiên cứu các kết quả đạt được về đạo hàm suy rộng và với một số ứng dụng vào. v) đạo hàm theo hướng của f tại x theo hướng v f 0 (x; v) đạo hàm theo hướng suy rộng (đạo hàm Clarke) của f tại x theo hướng v ∂ ∞ f(x) dưới vi phân suy biến của f tại x D ∗ F (¯x, ¯y) đối đạo. thì đạo hàm của A chính là A và xấp xỉ tuyến tính tốt nhất của A là A. Định lý 1.2.3. Nếu một ánh xạ có đạo hàm Fréchet tại một điểm, thì nó có đạo hàm Gâteaux tại điểm đó và cả hai đạo hàm là