TÓM TẮT KIẾN THỨC CƠ BẢN TOÁN 9 PHẦN ĐẠI SỐ CHƯƠNG I CĂN BẬC HAI - CĂN BẬC BA 1/ Khái niệm căn bậc hai: + Căn bậc hai của một số a không âm là số x sao cho x 2 = a. + Số dương a có đúng hai căn bậc hai là hai số đối nhau: Số dương ký hiệu là a và số âm là - a . + Số 0 có đúng một căn bậc hai là chính số 0, viết 00 = . + Số a âm không có căn bậc hai, viết a với a < 0 không có nghĩa. 2/ Căn bậc hai số học: Với số dương a, số a được gọi là căn bậc hai số học của a. Số 0 cũng được gọi là căn bậc hai số học của 0. + Với hai số a và b không âm, a < b <=> a < b. 3/ Căn thức bậc hai: + Nếu A là một biểu thức đại số thì A được gọi là căn thức bậc hai của A, còn A được gọi là biểu thức lấy căn hay biểu thức dưới dấu căn. + Điều kiện có nghĩa hay điều kiện xác định của A là A ≥ 0. + Với mọi số A, ta có AA = 2 (hằng đẳng thức AA = 2 ). 4/ Khai phương một tích, một thương: + Với hai số a và b không âm, ta có baab .= . Kết quả này có thể mở rộng cho tích của nhiều số không âm. + Với số a không âm và số b dương ta có b a b a = 5/ Bảng căn bậc hai: TÁC GIẢ: ĐẬU THIẾT HIẾU TRƯỜNG THCS NGHĨA THUẬN – TX THÁI HÒA – NGHỆ AN + Muốn tìm căn bậc hai của một số lớn hơn 1 và nhỏ hơn 100, ta tra bảng căn bậc hai trên giao của dòng (phần nguyên) và cột (phần mười) rồi theo dòng đó đến cột hiệu chỉnh (phần trăm) nếu cần, ta được giá trị gần đúng của căn bậc hai cần tìm. + Muốn tìm căn bậc hai của số N lớn hơn 100 (hoặc nhỏ hơn 1), ta cần phải theo hướng dẫn: khi dời dấu phẩy sang trái (hoặc sang phải) đi 2, 4, 6 chữ số thì phải dời dấu phẩy trong số N đi 1, 2, 3 chữ số sang trái (hoặc sang phải) và sẽ được N cần tìm. 6/ Biến đổi đơn giản căn thức bậc hai: Với hai biểu thức A, B mà B ≥ 0 ta có: BABA . 2 = + Với A ≥ 0 và B ≥ 0 thì BA BA 2 = + Với A < 0 và B ≥ 0 thì BABA 2 −= + Với các biểu thức A, B mà A.B ≥ 0, B ≠ 0 thì: B AB B A = + Với các biểu thức A, B mà A.B ≥ 0, ta có: B BA B A = + Với các biểu thức A, B, C mà A ≥ 0, A ≠ B 2 ta có: 2 )( BA BAC BA C − = ±  + Với các biểu thức A, B, C mà A ≥ 0,B ≥ 0,A ≠ B ta có: BA BAC BA C − ± = ± )( 7/ Căn bậc ba: + Căn bậc ba của một số a là số x sao cho x 3 = a. + Mỗi số a đều có duy nhất một căn bậc ba. 2 + Kí hiệu căn bậc ba của a là 3 a tức là ( 3 a ) 3 = a. + Căn bậc ba của số dương là một số dương, căn bậc ba của một số âm là một số âm, căn bậc ba của số 0 là số 0. + a > b ⇔ 33 ba < + Với mọi số a, b, 333 . abba = + Với mọi số a, b mà b ≠ 0 thì 3 3 3 b a b a = CHƯƠNG II 3 HÀM SỐ BẬC NHẤT 1/ Nếu đại lượng y phụ thuộc vào đại lượng thay đổi x sao cho với mỗi giá trị của x ta luôn xác định được chỉ một giá trị tương ứng của y, thì y được gọi là hàm số của x, và x được gọi là biến số. 2/ Tập hợp tất cả các điểm biểu diễn các cặp giá trị tương ứng (x: f(x)) trên mặt phẳng toạ độđược gọi là đồ thị của hàm số y = f(x) 3/ Hàm số y = f(x) được gọi là hàm số đồng biến trên (a, b) nếu giá trị của biến x tăng lên thì giá trị tương ứng f(x) cũng tăng lên, tức là với bất kì các giá trị x 1 , x 2 ∈ (a, b) mà x 1 < x 2 thì f(x 1 ) < f(x 2 ) + Hàm số y = f(x) được gọi là hàm số nghịch biến trên (a, b) nếu giá trị của biến x tăng lên thì giá trị tương ứng f(x) lại giảm đi, tức là với bất kì các giá trị x 1 , x 2 ∈ (a, b) mà x 1 < x 2 thì f(x 1 ) > f(x 2 ) 4/ Hàm số bậc nhất là hàm số được cho bởi công thức y = ax + b trong đó a, b là các số cho trước và a ≠ 0 + Hàm số bậc nhất y = ax + b xác định với mọi giá trị x thuộc R, đồng biêt khi a > 0, và nghịch biến khi a < 0. 5/ Đồ thị của hàm số y = ax + b (a ≠ 0) là môt đường thẳng cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng b va song song với đường thẳng y = ax nếu b ≠ 0 trùng với đường thẳng y = ax nếu b = 0. + Để vẽ đồ thị của hàm số y = ax + b (a ≠ 0) ta xác định hai điểm đặc biệt là giao điểm của đồ thị với hai trục toạ độ: đó là điểm P(0; b) và điểm Q(- a b ; 0) rồi vẽ đường thẳng đi qua hai điểm P và Q. 6/ Hai đường thẳng y = ax + b (a ≠ 0) và y = a ’ x + b ’ (a ’ ≠ 0) song song với nhau khi và chỉ khi a = a ’ , b ≠ b ’ và trùng nhau khi và chỉ khi a = a ’ và b = b ’ . * Hai đường thẳng y = ax + b (a ≠ 0) và y = a ’ x + b ’ (a ’ ≠ 0) cắt nhau khi và chỉ khi a ≠ a ’ . 4 A x 7/ Góc tạo bởi đường thẳng y = ax + b và trục Ox được hiểu là góc tạo bởi tia Ax và tia AT, trong đố A là giao điểm của đường thẳng = ax + b với trục Ox, T là điểm thuộc đường thẳng = ax + b và có tung độ dương (hình dưới) * Các đường thẳng có cùng hệ số a (a là hệ số của x) thì tạo với trục Ox các góc bằng nhau nên gọi a là hệ số góc của đường thẳng y = ax + b. CHƯƠNG III HỆ HAI PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN y = ax + b T α A O x y a > 0 5 y = ax + b T α O y a < 0 1/ Phương trình bậc nhất hai ẩn: + Phương trình bậc nhất hai ẩn x và y là phương trình có dạng ax + by = c (1) trong đó a, b và c là cấ số đã cho biết (a ≠ 0 hoặc b ≠ 0). + Nếu tại x = x 0 và y = y 0 mà vế trái của phương trình (1) có giá trị bằng vế phải thì cặp số (x 0 ; y 0 ) được gọi là nghiệm của phương trình đó. Đồng thời mỗi nghiệm (x 0 ; y 0 ) của phương trình (1) được biểu diễn bởi một điểm có toạ độ(x 0 ; y 0 ) trong mặt phẳng toạ độ Oxy. + Phương trình bậc nhất hai ẩn ax + by = c luôn có vô số nghiệm. Tập nghiệm của nó được biểu diễn bởi đường thẳng ax + by = c, kí hiệu là đường thẳng (d). 2/ Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn: Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn là hệ phương trình có dạng (I)    =+ =+ ''' cybxa cbyax Trong đố ax + by = c và a ’ x + b ’ y = c ’ là các phương trình bậc nhất hai ẩn. + Nếu hai phương trình của hệ (I) có nghiệm chung (x 0 ; y 0 ) thì (x 0 ; y 0 ) được gọi là nghiệm của hệ. + Nếu hai phương trình của hệ (I) không có nghiệm chung thì ta nói hệ (I) vô nghiệm. Giải hệ phương trình là tìm tất cả các nghiệm (tìm tập nghiêm) của nó. 3/ Hai hệ phương trình được gọi là tương đương với nhau nếu chúng có cùng tập nghiệm, tức là mỗi nghiệm của hệ phương trình này cũng là nghiệm của hệ phương trình kia và ngược lại. Trong một hệ phương trình hai ẩn, có thể cộng hoặc trừ từng vế hai phương trình của hệ để được một phương trình mới. Phương trình mới này 6 cùng với một trong hai phương trình của hệ lập thành một hệ tương đương với hệ đã cho. 4/ Dùng quy tắc thế biến đổi hệ phương trình đã cho để được một hệ phương trình mới rong đó có một phương trình một ẩn; giải phương trình một ẩn này rồi từ đó suy ra nghiệm của hệ đã cho. 5/ Nhân các vế của hai phương trình với hệ số thích hợp (nếu cần) sao cho các hệ số của một ẩn nào đó trong hai phương trình của hệ bằng nhau hoặc đối nhau; dùng quy tắc cộng đại số để được hệ phương trình mới mà hệ số của một trong hai ẩn bằng 0, tức là được một phương trình một ẩn; giải phương trình một ẩn này rồi từ đó suy ra nghiệm của hệ đã cho. 6/ Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình: Bước 1: Lập hệ phương trình - Chọn hai ẩn số và đặt điều kiện thích hợp cho các ẩn số. - Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo các ẩn số và các đại lượng đã biết. - Lập hệ hai phương trình biểu diễn mối quan hệ giữa các đại lượng. Bước 2: Giải hệ phương trình vừa lập được. Bước 3: Trả lời: Kiểm tra xem trong các nghiệm của hệ phương trình nghiệm nào thoả mãn điều kiện của ẩn, thích hợp với bài toán rồi kết luận. CHƯƠNG IV HÀM SỐ y = ax 2 (a ≠ 0). PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN 7 1/ Hàm số y = ax 2 (a ≠ 0) xác định với mọi giá trị của x thuộc R. 2/ Hàm số y = ax 2 có các tính chất: a) Nếu a > 0 thì hàm số nghịch biến khi x < 0 và đồng biến khi x > 0 b) Nếu a < 0 thì hàm số đồng biến khi x < 0 và nghịch biến khi x > 0 c) Nếu a > 0 thì giá trị nhỏ nhất của hàm số là y = 0 (khi x = 0) d) Nếu a < 0 thì giá trị lớn nhất của hàm số là y = 0 (khi x = 0) 3/ Đồ thị hàm số là một đường cong (được gọi là parabol với đỉnh O(0; 0)) đi qua gốc toạ độ và nhận Oy làm trục đối xứng. + Nếu a > 0 thì đồ thị nằm phía trên trục hoành, O(0; 0) là điểm thấp nhất của đồ thị. + Nếu a < 0 thì đồ thị nằm phía dưới trục hoành, O(0; 0) là điểm cao nhất của đồ thị. Để vẽ parabol ta có thể dựa vào bảng với một giá trị tương ứng của x và y. Ngoài ra có thể vẽ bằng các cách được mô tả trong sách giáo khoa trang 37 nếu trên trang vở có dòng kẻ hoặc biết một điểm khác O(0; 0) của nó. 4/ a) Phương trình bậc hai một ẩn (nói gọn là phương trình bậc hai) là phương trình có dạng ax 2 + bx + c = 0. (1) b) Có hai cách cơ bản để giải (1): + Phân tích vế trái (1) ra thừa số: a(x – m)(x – n) = 0 <=>    = = nx mx 2 1 + Bằng cách biến đổi tương đương để đưa (1) về dạng 2 2 2 4 4 2 a acb a b x − =       + (2) Từ đó tuỳ theo dấu của vế phải của (2) mà kết luận về nghiệm của phương trình đã cho. 5/ Đặt ∆ = b 2 – 4ac. Gọi ∆ là biệt thức của phương trình (1) 8 + Nếu ∆ > 0 thì (1) có hai nghiệm phân biệt x 1 = a b 2 ∆+− ; x 2 = a b 2 ∆−− + Nếu ∆ = 0 thì (1) có nghiệm kép x 1 = x 2 = a b 2 − + Nếu ∆ < 0 thì (1) vô nghiệm. 6/ Đối với (1) ta có công thức nghiệm thu gọn: Nếu đặt b ’ = 2 b và ' ∆ = b ’2 – ac: + Nếu ' ∆ > 0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt x 1 = a b '' ∆+− ; x 2 = a b '' ∆−− + Nếu ' ∆ = 0 thì phương trình có nghiệm kép x 1 = x 2 = a b ' − + Nếu ' ∆ < 0 thì phương trình vô nghiệm. 7/ Nếu x 1 và x 2 là hai nghiệm của phương trình ax 2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) thì có định lý Vi-ét: x 1 + x 2 = - a b ; x 1 .x 2 = a c + Nếu phương trình ax 2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) có a + b + c = 0 thì phương trình có một nghiệm x 1 = 1 và một nghiệm x 2 = a c Nếu phương trình ax 2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) có a - b + c = 0 thì phương trình có một nghiệm x 1 = -1 và một nghiệm x 2 = - a c . 8/ a) Để giải phương trình trùng phương ax 4 + bx 2 + c = 0 (a ≠ 0), thường đặt ẩn phụ t = x 2 (t ≥ 0) và đưa về phương trình bậc hai ẩn t. Lấy những nghiệm không âm của phương trình này và từ đó suy ra nghiệm của phương trình đã cho. 9 b) Giải phương trình chứa ẩn ở mẫu theo bốn bước: + Tìm điều kiện xác định của phương trình + Quy đồng mẫu thức ở hai vế rồi khử mẫu thức + Giải phương trình vừa thu được + Tìm các nghiệm thoả mãn điều kiện. c) Phương trình tích là phương trình có dạng A(x).B(x) = 0. Để giải ta giải riêng biệt đối với hai phương trình A(x) = 0 và B(x) = 0. Nghiệm của phương trình đã cho sẽ là hợp các nghiệm của hai phương trình trên. 9/ Để giải toán bằng cách lập phương trình ta tiến hành theo các bước: Bước 1: Lập phương trình: + Chọn ẩn số và nêu điều kiện cần thiết cho các ẩn; + Biểu thị các dữ liệu cần thiết qua ẩn số; + Lập phương trình biểu thị tương quan giữa ẩn số và các dữ liệu đã biết. Bước 2: Giải phương trình vừa lập được. Bước 3: Chọn các nghiệm thích hợp, từ đó đưa ra đáp số. PHẦN HÌNH HỌC CHƯƠNG I HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG 1/ Hệ thức về cạnh và đường cao của tam giác vuông: 10 [...]... kề Cạnh đối Cạnh đối Cạnh kề α α + β = 90 0 ( α và β là hai góc β C B phụ nhau) thì: sin α = cos β , cos α = sin β tg α = cotg β , cotg α = tg β 3/ Hệ thức giữa cạnh và góc của một tam giác vuông: A ˆ Trong tam giác vuông ABC, A = 90 0 ta có hệ thức: c C h c’ b’ a + b = a sin B = a cos C b = c tg B = c cotg C + c = a sin C = a cos B c = b tg C = b cotg B 4/ Hệ thức liên hệ giữa các tỉ số lượng giác:... sđ BC B C * Hệ quả: Trong một đường tròn: + Các góc nội tiếp bằng nhau, chắn các cung bằng nhau’ + Các góc nội tiếp cùng chắn một cung hay chắn các cung bằng nhau thì bằng nhau + Góc nộit iếp (nhỏ hơn 90 0) có sđ bằng nửa sđ của góc ở tâm cùng chắn một cung + Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn là góc vuông b) Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và một dây cung: C * Góc CAB là góc tạo bởi tia tiếp tuyến AC A và... chứa 0 0 góc α dùng trªn ®o¹n AB M O A 3/ Tứ giác nội tiếp Đường tròn nội ngoại tiếp: 18 α B a) Tứ giác nội tiếp: • Một tứ giác có bốn đỉnh nằm trên một đường tròn gọi là tứ giác nội tiếp đường tròn (gọi tắt là tứ giác nội tiếp) • Định lý: Trong một tứ giác nội tiếp tổng hai góc đối diện bằng 1800 Định lý đảo Nếu một tứ giác có tổng hai góc đối diện bằng 180 0 thì nội tiếp được đường tròn b) Đường tròn... đường tròn bán kính R, độ dài  của cung tròn n là: = πRn 180 b) Diện tích hình tròn và quạt tròn • Diện tích hình tròn: S = π R2 • Diện tích hình quạt tròn bán kính R cung n0 S= R πR 2 n hay S = 2 360 19 . TÓM TẮT KIẾN THỨC CƠ BẢN TOÁN 9 PHẦN ĐẠI SỐ CHƯƠNG I CĂN BẬC HAI - CĂN BẬC BA 1/ Khái niệm căn bậc hai: + Căn. <=> a < b. 3/ Căn thức bậc hai: + Nếu A là một biểu thức đại số thì A được gọi là căn thức bậc hai của A, còn A được gọi là biểu thức lấy căn hay biểu thức dưới dấu căn. + Điều kiện. đổi đơn giản căn thức bậc hai: Với hai biểu thức A, B mà B ≥ 0 ta có: BABA . 2 = + Với A ≥ 0 và B ≥ 0 thì BA BA 2 = + Với A < 0 và B ≥ 0 thì BABA 2 −= + Với các biểu thức A, B mà A.B