LỜI CẢM ƠN Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS. Nguyễn Văn Hào, người đã định hướng chọn đề tài và tận tình hướng dẫn để tôi có thể hoàn thành luận văn này. Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới phòng sau đại học, các thầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán giải tích, trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập. Nhân dịp này tôi cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè đã luôn động viên, cổ vũ, tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình học tập và hoàn thành luận văn. Hà Nội, tháng 8 năm 2013 Tác giả Đỗ Thị Út Lộc LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan, dưới sự hướng dẫn của TS. Nguyễn Văn Hào, luận văn Thạc sĩ chuyên ngành Toán giải tích với đề tài "Biểu diễn tích vô hạn của hàm gamma và ứng dụng" được hoàn thành theo quan điểm riêng của cá nhân tôi. Trong quá trình nghiên cứu thực hiện luận văn, tác giả đã kế thừa những thành tựu của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn. Hà Nội, tháng 8 năm 2013 Tác giả Đỗ Thị Út Lộc Mục lục Mở đầu 4 Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 8 1.1. Số phức và sự hội tụ của dãy, chuỗi số phức . . . . . . . . 8 1.1.1. Các tính chất cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.1.2. Sự hội tụ của dãy số phức . . . . . . . . . . . . . . 9 1.1.3. Sự hội tụ của chuỗi số phức . . . . . . . . . . . . . 9 1.2. Hàm chỉnh hình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.3. Tích phân phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.4. Lý thuyết thặng dư . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1.4.1. Không điểm và cực điểm . . . . . . . . . . . . . . . 20 1.4.2. Thặng dư và cách tính . . . . . . . . . . . . . . . . 22 Chương 2. TÍCH VÔ HẠN 25 2.1. Một số khái niệm và các tính chất cơ bản . . . . . . . . . . 25 2.2. Mối liên hệ giữa tích vô hạn và chuỗi . . . . . . . . . . . . 27 2.3. Tích vô hạn hội tụ tuyệt đối . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2.4. Định lý Tannery và hàm mũ . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.4.1. Định lý Tannery đối với chuỗi . . . . . . . . . . . . 32 2.4.2. Định lý Tannery đối với tích vô hạn . . . . . . . . . 35 2.5. Công thức tích Euler và áp dụng . . . . . . . . . . . . . . 36 2.5.1. Công thức tích Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 2.5.2. Ứng dụng công thức tích của Euler . . . . . . . . . 39 2.6. Tích chính tắc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 Chương 3. BIỂU DIỄN TÍCH VÔ HẠN CỦA HÀM GAMMA VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG 43 3.1. Biểu diễn tích vô hạn của hàm gamma . . . . . . . . . . . 43 3.1.1. Công thức tích vô hạn thứ nhất . . . . . . . . . . . 43 3.1.2. Công thức tích vô hạn thứ hai . . . . . . . . . . . . 46 3.1.3. Một số tính chất của hàm gamma . . . . . . . . . . 46 3.2. Mối quan hệ giữa hàm gamma với các hàm khác . . . . . . 53 3.2.1. Hàm zeta-Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 3.2.2. Hàm beta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 3.3. Biểu diễn một số tích phân qua hàm gamma. . . . . . . . . 56 3.3.1. Tích phân Wallis. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 3.3.2. Tích phân Rabe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 3.4. Ứng dụng công thức tích vô hạn để tính một số giá trị của hàm zeta-Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 3 Mở đầu 1. Lí do chọn đề tài Trong toán học có thể nói rằng hàm gamma luôn thu hút được sự quan tâm của các nhà toán học nổi tiếng nhất ở mọi thời đại. Về mặt lịch sử đã có nhiều tài liệu phản ánh sâu sắc về ý nghĩa cũng như tầm quan trọng của hàm gamma. Tuy nhiên, đáng kể hơn cả người ta phải kể đến bài báo của nhà toán học Philip J. Davis mà ông đã giành giải thưởng Chauvenet năm 1963. Trong đó, ông đã phản ánh nhiều các diễn biến nổi bật của nền toán học từ thế kỷ 18. Theo lời của Davis: “Mỗi thế hệ đều đã tìm thấy một cái gì đó quan tâm để nói về hàm gamma. Có lẽ các thế hệ tiếp theo cũng sẽ còn như vậy”. Vấn đề mở rộng khái niệm giai thừa với đối số không phải là số nguyên được xem xét đầu tiên bởi Daniel Bernoulli và Christian Goldbach trong những năm 1720. Nó đã được giải quyết vào cuối thập kỷ này bởi Leonhard Euler. Trong một bức thư ngày 13 tháng 10 năm 1729 gửi cho nhà toán học Goldbach, ông đưa ra định nghĩa đầu tiên của hàm này dưới dạng n! = ∞  k=1  1 + 1 k  k 1 + n k . Ông viết cho Goldbach một lần nữa vào ngày 08 tháng 01 năm 1730, công bố khám phá của ông về biểu diễn dưới dạng tích phân của giai thừa n! = 1  0 (−ln s) n ds; n > 0. Bằng cách đổi biến t = −ln s, công thức trên trở thành tích phân Euler quen thuộc ngày nay. Ông công bố kết quả của mình trong bài báo “De 4 progressionibus transcendentibus seu quarum termini generales algebraice dari nequeunt” tại học viện St Petersburg ngày 28 tháng 11 năm 1729. Ngoài ra, Euler cũng phát hiện được thêm một số tính chất quan trọng khác của hàm gamma. Tới thế kỷ 19, Carl Friedrich Gauss đã viết lại tích của Euler dưới dạng Γ(z) = lim m→∞ m z m! z(z + 1)(z + 2) (z + m) và sử dụng công thức này để thu được nhiều tính chất mới của hàm gamma. Mặc dù Euler là người tiên phong trong lý thuyết của hàm biến phức, nhưng ông không đi đến được việc xem xét giai thừa của một số phức. Gauss là người đầu tiên đã làm điều đó, ông chứng minh định lý về tích của hàm gamma. Bên cạnh đó, ông cũng phát hiện ra mối liên hệ giữa hàm gamma và tích phân elliptic. Nhà toán học Weierstrass thiết lập thêm nữa vai trò của hàm gamma trong giải tích phức, bắt đầu từ việc đưa ra biểu diễn tích khác của hàm này dưới dạng Γ(z) = e −γz z ∞  k=1  1 + z k  −1 e z k ở đó γ là hằng số Euler-Mascheroni. Đầu tiên, Weierstrass viết dạng tích của hàm 1 Γ (z) được lấy trên các không điểm chứ không phải là cực điểm của nó. Từ kết quả này, ông đã chứng minh được định lý mà như ngày nay được biết với tên gọi “Định lý thác triển Weierstrass ” - bất kỳ hàm nguyên nào cũng có thể viết dưới dạng một tích trên các không điểm của nó trong mặt phẳng phức. Đây là một dạng tổng quát định lý cơ bản của đại số. Tên và ký hiệu của hàm gamma đã được giới thiệu bởi Legendre vào khoảng năm 1811, Legendre cũng viết lại định nghĩa dạng tích phân của Euler như đang dùng hiện tại. Hầu hết ứng dụng của các hàm đặc biệt trong toán học ra đời từ việc 5 giải các phương trình vi phân xuất hiện trong lĩnh vực Vật lý và nhiều ngành khoa học khác. Tuy nhiên, hàm gamma không xuất hiện từ việc tìm lời giải cho bất kỳ phương trình vi phân đơn giản nhất. Năm 1887, H ¨oder đã chứng minh rằng hàm gamma không thỏa mãn bất kỳ phương trình vi phân đại số nào. Với ý nghĩa và tầm quan trọng về hàm gamma, được sự định hướng của người hướng dẫn em chọn đề tài “Biểu diễn tích vô hạn của hàm gamma và ứng dụng” để hoàn thành luận văn Thạc sĩ chuyên ngành Toán giải tích. 2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu - Luận văn nghiên cứu về lý thuyết hàm biến phức; khái niệm và các tính chất cơ bản của tích vô hạn, hàm gamma. - Nghiên cứu diểu diễn của hàm gamma qua tích vô hạn. Biểu diễn một số tích phân quan trọng thông qua giá trị của hàm gamma, dùng tích vô hạn để tính một số giá trị của hàm zeta-Riemann. 3. Đối tượng nghiên cứu - Nghiên cứu về lý thuyết tích vô hạn và hàm gamma. - Biểu diễn một số tích phân thông qua giá trị của hàm gamma. - Dùng tích vô hạn để tính một số giá trị của hàm zeta-Riemann. 4. Phạm vi nghiên cứu - Tìm hiểu tư liệu trong sách, báo. - Phương pháp phân tích và tổng hợp các tài liệu đã có vận dụng cho mục đích nghiên cứu đề tài. 6 5. Dự kiến đóng góp của đề tài Luận văn trình bày chi tiết nghiên cứu về lý thuyết tích vô hạn; khái niệm và các tính chất cơ bản về hàm gamma. Ngoài ra, luận văn đưa ra ứng dụng của hàm gamma về biểu diễn một số tích phân qua hàm này và sử dụng công thức biểu diễn tích vô hạn để tính một số giá trị của hàm zeta-Riemann. 7 Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1. Số phức và sự hội tụ của dãy, chuỗi số phức 1.1.1. Các tính chất cơ bản Số phức là số có dạng z = x + iy; với x, y ∈ R và i là đơn vị ảo mà i 2 = −1. Ta gọi x là phần thực và y là phần ảo, ta kí hiệu tương ứng bởi x = Rez, y = Imz. Tập hợp các số phức được kí hiệu bởi C. Tập hợp các số phức được đồng nhất với mặt phẳng R 2 bởi phép tương ứng C → R z = x + iy → (x, y). Một cách tự nhiên, người ta gọi Ox là trục thực, Oy là trục ảo. Phép cộng và phép nhân các số phức được thực hiện một cách thông thường như các phép toán trên tập hợp số thực với lưu ý rằng i 2 = −1. Ta có z 1 + z 2 = (x 1 + x 2 ) + i (y 1 + y 2 ) và z 1 .z 2 = (x 1 + iy 1 ) (x 2 + iy 2 ) = x 1 x 2 + ix 1 y 2 + iy 1 x 2 + i 2 y 1 y 2 = (x 1 x 2 − y 1 y 2 ) + i (x 1 y 2 + y 1 x 2 ) . Với mỗi số phức z = x + iy ta xác định modul của số phức z là |z| =  x 2 + y 2 . Số phức liên hợp của số phức z = x + iy được kí hiệu là z = x −iy. Không khó khăn, ta có thể kiểm tra được Rez = z + ¯z 2 ; Imz = z − ¯z 2i 8 và |z| 2 = z.¯z; 1 z = ¯z |z| 2 với z = 0. Số phức khác 0 được biểu diễn dưới dạng cực z = r.e iθ với r > 0, θ ∈ R được gọi là argument của số phức z (argument của số phức z được xác định một cách duy nhất với sự sai khác một bội của 2π) và e iθ = cos θ + i sin θ. Bởi vì   e iθ   = 1 nên r = |z| và θ là góc hợp bởi chiều dương của trục Ox và nửa đường thẳng xuất phát từ gốc tọa độ đi qua điểm z. Cuối cùng, ta lưu ý rằng nếu z = r.e iθ và w = s.e iϕ thì z.w = r.s.e i(θ+ϕ) . 1.1.2. Sự hội tụ của dãy số phức Dãy số phức {z n } được gọi là hội tụ đến số phức w ∈ C và được viết là w = lim n→∞ z n ⇔ lim n→∞ |z n − w| = 0. Dễ dàng kiểm tra rằng w = lim n→∞ z n ⇔  lim n→∞ Rez n = Rew lim n→∞ Imz n = Imw Dãy số phức {z n } được gọi là dãy Cauchy nếu |z n − z m | → 0 khi m, n → ∞. Điều đó tương đương với mọi ε > 0, tồn tại số nguyên dương N sao cho |z n − z m | < ε với mọi n, m ≥ N. 1.1.3. Sự hội tụ của chuỗi số phức Giả sử ta có dãy số phức hoàn toàn xác định và khác ∞: z 1 , z 2 , . . . , z n , . . . Biểu thức  n1 z n = z 1 + z 2 + ··· + z n + ··· . (1.1) được gọi là một chuỗi số trên C, còn biểu thức S n =  1kn z k , (1.2) được gọi là tổng riêng (thứ n) của chuỗi (1.1). Ta có định nghĩa sau đây 9 [...]... số của một tích vô hạn hội tụ luôn tiến tới 1 Từ đó, chúng ta có thể viết zn có dạng 1 + an và tích vô hạn trở thành ∞ (1 + an ) n=1 Như vậy, tích vô hạn này hội tụ thì an → 0 26 2.2 Mối liên hệ giữa tích vô hạn và chuỗi ∞ (1 + an ) Trong phần này chúng ta chỉ ra mối quan hệ của tích vô hạn n=1 với tất cả các số hạng an không âm là hoàn toàn được xác định bởi chuỗi ∞ an n=1 ∞ (1 + an ) với các số hạng... tự nhiên chúng ta khái quát biểu diễn này tới các hàm nguyên, trong trường hợp đó tích trở nên vô hạn 2.1 Một số khái niệm và các tính chất cơ bản Định nghĩa 2.1 Cho {zn } là một dãy các số phức Một tích vô hạn ∞ zn = z1 · z2 · z3 · · · n=1 được gọi là hội tụ nếu ở đó tồn tại m ∈ N sao cho các số hạng zn khác n không với mọi n zk = zm · zm+1 · · · zn là m và giới hạn của tích riêng k=m n zk = lim (zm... z0 và = g g g2 Hơn nữa, nếu f : D → U và g : U → C là các hàm chỉnh hình thì g ◦ f cũng là hàm chỉnh hình trên D và ta có (g ◦ f ) (z) = g (f (z)) · f (z) Từ ví dụ (1.3), chúng ta thấy khái niệm khả vi phức khác với khái niệm khả vi thông thường của hai hàm biến thực Thật vậy, hàm f (z) = z tương ứng như ánh xạ của một hàm hai biến thực F : (x, y) → (x, −y) Hàm này khả vi theo nghĩa thực, đạo hàm của. .. Cauchy).Giả sử f là hàm chỉnh hình trong một miền D, trừ ra một số hữu hạn các cực điểm z1 , z2 , , zN nằm trong miền đó Khi đó, chúng ta có công thức N Res f , f (z)dz = 2πi k=1 γ z=zk ở đó γ là chu tuyến nằm trong miền D sao cho {z1 , z2 , , zN } ⊂ Dγ ⊂ D 24 Chương 2 TÍCH VÔ HẠN Để nghiên cứu hàm gamma và các tính chất của nó, trước hết chúng ta nghiên cứu một vài tính chất cơ bản của tích vô hạn Theo nghĩa... y) dy + i f (z) dz = γ γ v (x, y) dx + u (x, y) dy γ Từ công thức trên đây chúng ta thấy tích phân của hàm biến phức trên đường cong γ được hiểu như tổng của hai tích phân đường Từ tính chất của tích phân đường, chúng ta dễ dàng nhận được các tính chất sau của tích phân hàm biến phức Mệnh đề 1.2 Tích phân của hàm liên tục trên một đường cong có các tính chất sau (i) (αf (z) + βg (z)) dz = α γ g (z)... Áp dụng tiêu chuẩn so sánh đối với chuỗi ta suy ra chuỗi n=1 ∞ |an | hội tụ hội tụ nếu và chỉ nếu n=1 2.4 Định lý Tannery và hàm mũ Ở đây chúng tôi giới thiệu hai Định lý của Tannery, một Định lý đối với chuỗi và một Định lý đối với tích vô hạn Từ các Định lý này cho chúng ta 31 biểu diễn một số công thức toán học rất thú vị Trong phần này chúng tôi giới thiệu hai Định lý trên và đưa ra một số các biểu. .. trong một lân cận của điểm z0 và h(z) có không điểm bậc k tại z0 Định lý 1.12 Giả sử f (z) = Nếu h(z) = (z − z0 )k q(z), ở đó q(z) là chỉnh hình trong một lân cận của z0 và q(z0 ) = 0 thì Res f = ck−1 , z=z0 ở đó ck−1 là hệ số của số hạng bậc k − 1 trong khai triển luỹ thừa của p g = trong lân cận của điểm z0 q Hệ quả 1.2 Giả sử p và h là các hàm chỉnh hình trong một lân cận của điểm z0 và h có không... tụ đều của tích n=1 Định nghĩa 2.2 Tích ∞ [1 + fn (z)] n=1 được gọi là hội tụ đều trên B nếu (i) tồn tại một số m sao cho fn (z) = −1; với mọi n m và mọi z ∈ B n (ii) dãy Pn (z) = [1 + fk (z)] hội tụ đều trên B tới P (z) k=m (iii) P (z) = 0; với mọi z ∈ B Kết quả dưới đây được suy ra trực tiếp từ Định lý hội tụ giải tích của chuỗi hàm [[7], Định lý 3.1.8] Định lý 2.2 (Tính giải tích của tích vô hạn) ... · · · · ··· = → = 0 2·2 3·3 4·4 5·5 n·n 2n 2 Mệnh đề 2.1 Nếu một tích vô hạn hội tụ thì các thừa số của nó cũng tiến tới 1 Cũng vậy, một tích vô hạn hội tụ có giá trị 0 nếu và chỉ nếu nó có một thừa số bằng 0 Chứng minh Ý thứ 2 của Mệnh đề được suy ra trực tiếp từ định nghĩa của sự hội tụ Nếu không một thừa số zn nào triệt tiêu với n m và pn = zm · zm+1 · · · zn thì như thế pn → p là một số khác không,... hạn với chuỗi logarit tương ứng với nó Một cách tự nhiên, dẫn đến việc giới thiệu khái niệm về tích vô hạn hội tụ tuyệt đối dưới đây ∞ (1 + an ) được gọi là hội tụ tuyệt đối Định nghĩa 2.3 Một tích vô hạn n=1 nếu chuỗi ∞ Log (1 + an ) n=m+1 bắt đầu từ một chỉ số thích hợp m + 1, là hội tụ tuyệt đối Trước khi trình bày tiêu chuẩn kiểm tra tính hội tụ tuyệt đối của tích vô hạn, chúng ta cần Bổ đề dưới . cơ bản về hàm gamma. Ngoài ra, luận văn đưa ra ứng dụng của hàm gamma về biểu diễn một số tích phân qua hàm này và sử dụng công thức biểu diễn tích vô hạn để tính một số giá trị của hàm zeta-Riemann. 7 Chương. đích và nhiệm vụ nghiên cứu - Luận văn nghiên cứu về lý thuyết hàm biến phức; khái niệm và các tính chất cơ bản của tích vô hạn, hàm gamma. - Nghiên cứu diểu diễn của hàm gamma qua tích vô hạn. Biểu. thức tích của Euler . . . . . . . . . 39 2.6. Tích chính tắc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 Chương 3. BIỂU DIỄN TÍCH VÔ HẠN CỦA HÀM GAMMA VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG 43 3.1. Biểu diễn