LỜI CẢM ƠN Tôi xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, Phòng sau đại học, Ban chủ nhiệm và thầy cô giáo khoa Vật lý trƣờng Đại học Sƣ phạm Hà Nội 2 đã tạo mọi điều kiện giúp đỡ tôi trong suốt thời gian học tập và làm luận văn. Đặc biệt tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành và bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS.TS Lƣu Thị Kim Thanh đã tận tình hƣớng dẫn, động viên và giúp đỡ tôi trong suốt quá trình nghiên cứu và hoàn thiện luận văn. Cuối cùng tôi xin bày tỏ lòng biết ơn tới gia đình, bạn bè, những ngƣời đã động viên, giúp đỡ tôi trong suốt thời gian học tập và làm luận văn. Mặc dù đã rất cố gắng, song bản luận văn này không tránh khỏi những hạn chế và thiếu sót. Rất mong nhận đƣợc sự đóng góp ý kiến của quý thầy cô và các bạn. Tháng 11 năm 2013 Tác giả ĐẶNG THỊ HOÀI PHƢƠNG LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan rằng số liệu và kết quả nghiên cứu trong luận văn này là trung thực và không trùng lặp với các đề tài khác. Tôi cũng xin cam đoan rằng mọi sự giúp đỡ cho việc thực hiện luận văn này đã đƣợc cảm ơn và thông tin trích dẫn trong luận văn đã đƣợc chỉ rõ nguồn gốc. Tác giả ĐẶNG THỊ HOÀI PHƢƠNG MỤC LỤC Trang Lời cảm ơn Lời cam đoan Mục lục MỞ ĐẦU 1 NỘI DUNG 4 Chƣơng 1. Trạng thái ngƣng tụ Bose – Einstein 4 1.1. Thống kê Bose – Einstein 4 1.2. Lý thuyết về trạng thái ngƣng tụ Bose – Einstein 14 1.3. Mô tả việc tạo ra trạng thái ngƣng tụ Bose – Einstein bằng thực nghiệm 20 Chƣơng 2. Thống kê Bose – Einstein biến dạng q và trạng thái ngƣng tụ Bose –Einstein 26 2.1. Thống kê Bose – Einstein biến dạng q 26 2.2. Lý thuyết về trạng thái ngƣng tụ Bose – Einstein theo thống kê Bose - Einstein biến dạng q 26 2.3. Áp dụng tính số cho nhiệt độ ngƣng tụ Bose – Einstein cho nguyên tố Pb 34 Chƣơng 3. Trạng thái kết hợp 40 3.1. Định nghĩa và các thuộc tính của trạng thái kết hợp 40 3.2. Phép biểu diễn toạ độ của các trạng thái kết hợp 49 3.3. Trạng thái kết hợp của các dao động tử boson biến dạng 57 KẾT LUẬN CHUNG 61 TÀI LIỆU THAM KHẢO 63 1 MỞ ĐẦU 1.Lý do chọn đề tài Từ năm 1924, khi Albert Einstein nhận đƣợc bức thƣ của nhà vật lý trẻ Ấn Độ có tên là Satyendra Nath Bose với một bản thảo công trình kèm theo mà trƣớc đó đã bị tập san khoa học Anh quốc “Philocophical Magazine” từ chối đăng tải. Einstein - khi đó đã là một nhà khoa học nổi tiếng thế giới và rất bận trong việc xây dựng một lý thuyết thống nhất lớn - sau khi đọc xong công trình của Bose đã nhận ra ngay giá trị của công trình này. Einstein đã rất quan tâm đến công trình của Bose. Trong công trình của mình, Bose đã xây dựng thống kê của vật đen tuyệt đối và dẫn ra công thức Planck. Dùng phƣơng pháp của Bose, năm 1925 Einstein đã xây dựng lý thuyết lƣợng tử của khí các hạt có khối lƣợng thoả mãn các nguyên tắc mà Bose đã dùng cho photon. Einstein đã dẫn ra công thức tƣơng ứng với định luật Planck cho trƣờng hợp này. Đó là sự ra đời của thống kê Bose - Einstein áp dụng cho hệ thống các hạt đồng nhất boson có spin nguyên. Với đặc điểm mỗi trạng thái của hệ các boson có thể bị chiếm bởi bao nhiêu boson cũng đƣợc, Einstein đã tiên đoán rằng khi nhiệt độ đủ thấp, dƣới một nhiệt độ tới hạn nào đó (tuỳ thuộc vào loại khí), các boson có thể dồn hết xuống trạng thái cơ bản là trạng thái có năng lƣợng thấp nhất. Mật độ boson ở trạng thái cơ bản có thể đạt tới mức vĩ mô tạo thành một trạng thái vật chất đặc biệt gọi là trạng thái ngƣng tụ Bose – Einstein (Bose – Einstein Condenstate – BEC). Về mặt lý thuyết, trạng thái ngƣng tụ Bose – Einstein đƣợc áp dụng để giải thích hiện tƣợng siêu lỏng heli : Ở nhiệt độ thấp hơn 2,19K heli lỏng gồm hai thành phần là thành phần bình thƣờng mà ta có thể xem nhƣ một chất khí boson còn chƣa ngƣng tụ và thành phần siêu lỏng mà ta có thể xem nhƣ là một chất khí boson ngƣng tụ ở mức “ không”. Các hạt nằm ở mức “không” 2 của thành phần siêu lỏng của heli lỏng không thể có đóng góp gì vào nhiệt dung và không thể truyền năng lƣợng trong chuyển động tƣơng đối nên không xuất hiện nội ma sát hay độ nhớt bằng không. Cũng nhƣ vậy trong lý thuyết siêu dẫn BCS cũng cho rằng elettron kết hợp với nhau tạo thành một cuper có spin bằng không và khi ở trong trạng thái ngƣng tụ Bose – Einstein , các cuper sẽ có năng lƣợng thấp nhất bằng “không” nên không thể truyền năng lƣợng khi va chạm với các ion. Do đó điện trở bằng không tạo nên trạng thái siêu dẫn. Năm 1941, Landau đã đƣa ra lý thuyết mô tả sự siêu lỏng của heli mà nhờ đó ông đƣợc giải Nobel Vật lý năm 1962. Mãi đến năm 1995, hiện tƣợng ngƣng tụ Bose - Einstein mới đƣợc phát hiện lần đầu tiên bằng thực nghiệm tại Colorado (Mỹ). Giải Nobel Vật lý năm 2001 đã đƣợc trao cho ba nhà khoa học là Eric A. Cornell,Wolfgang Ketterle và Cart E.Wieman do đã tạo đƣợc trạng thái ngƣng tụ Bose – Einstein và do những nghiên cứu cơ bản về các tính chất của trạng thái vật chất đặc biệt này. Việc tạo đƣợc trạng thái ngƣng tụ Bose – Einstein đã mở ra một kỷ nguyên mới về chế tạo chíp nguyên tử phục vụ chế tạo máy tính lƣợng tử. Để diễn tả trạng thái ngƣng tụ Bose – Einstein của vật chất , trong Vật lý lƣợng tử ngƣời ta sử dụng khái niệm trạng thái kết hợp. Đó là trạng thái có pha dao động nhỏ nhƣng số hạt lại hoàn toàn tuỳ ý. Trạng thái hết hợp là một phần quan trọng trong quang phi tuyến, Vật lý laser và Vật lý chất rắn. Đề tài “Nghiên cứu nhiệt độ ngƣng tụ Bose - Einstein của nguyên tố Pb” nằm trong hƣớng nghiên cứu trên vì vậy đề tài có ý nghĩa to lớn trong thực tiễn. Đó là lý do tôi chọn “Nghiên cứu nhiệt độ ngƣng tụ Bose – Einstein của nguyên tố Pb” làm đề tài luận văn thạc sĩ dƣới sự hƣớng dẫn của cô giáo PGS.TS Lƣu Thị Kim Thanh. Bố cục luận văn gồm ba chƣơng : 3 Chƣơng 1 : Trạng thái ngƣng tụ Bose - Einstein. Chƣơng 2 : Thống kê Bose - Einstein biến dạng q và trạng thái ngƣng tụ Bose - Einstein. Chƣơng 3 : Trạng thái kết hợp. 2. Mục đích nghiên cứu - Nghiên cứu trạng thái ngƣng tụ Bose - Einstein biến dạng q và áp dụng tính nhiệt độ ngƣng tụ Bose – Einstein cho nguyên tố Pb. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu - Xây dựng thống kê Bose - Einstein và thống kê Bose – Einstein biến dạng q. - Áp dụng thống kê Bose – Einstein biến dạng q để nghiên cứu trạng thái ngƣng tụ Bose – Einstein và đƣa ra đƣợc biểu thức của nhiệt độ ngƣng tụ Bose – Einstein. - Tính nhiệt độ ngƣng tụ Bose – Einstein cho nguyên tố Pb. 4. Đối tƣợng nhiên cứu và phạm vi nghiên cứu - Đối tƣợng nghiên cứu: Hệ đồng nhất các hạt boson có spin nguyên. - Phạm vi nghiên cứu: Vật lý chất rắn, Vật lý thống kê. 5.Phƣơng pháp nghiên cứu - Phƣơng pháp lý thuyết trƣờng lƣợng tử. -Phƣơng pháp vật lý thống kê. - Phƣơng pháp giải tích toán học. - Phƣơng pháp tính số bằng phần mềm Mathematica 7.0. 6. Những đóng góp mới về khoa học, thực tiễn của đề tài Đề tài sau khi hoàn thành sẽ: -Xây dựng đƣợc lý thuyết hàm phân bố thống kê Bose- Einstein trong trƣờng hợp biến dạng. - Thu đƣợc biểu thức giải tích về nhiệt độ ngƣng tụ Bose – Einstein theo lý thuyết biến dạng và áp dụng tính số cho hệ các nguyên tố Pb. 4 NỘI DUNG Chƣơng 1 TRẠNG THÁI NGƢNG TỤ BOSE - EISTEIN Trong chƣơng 1, chúng tôi trình bày việc xây dựng phân bố thống kê Bose – Einstein bằng phƣơng pháp lý thuyết trƣờng lƣợng tử. Áp dụng phân bố thống kê Bose - Einstein để nghiên cứu về nhiệt độ ngƣng tụ Bose – Einstein [1], [2], [5]. 1.1. Thống kê Bose – Einstein 1.1.1. Biểu diễn số hạt của dao động tử điều hòa tuyến tính Dao động tử điều hòa một chiều là chuyển động của một chất điểm có khối lƣợng m dƣới tác dụng của lực chuẩn đàn hồi f kx dọc theo một đƣờng thẳng nào đó [1]. Hamiltonian của dao động tử điều hòa một chiều 2 2 2 ˆ ˆ ˆ 22 x p m Hx m , (1.1) trong đó: ˆˆ x q x là toán tử tọa độ, ˆˆ x d p p i dx là toán tử xung lƣợng. Giữa ˆ p và ˆ q thỏa mãn hệ thức giao hoán ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ , d d d d p q pq qp i x x i i x i x dx dx dx dx ˆˆ , ( ) ˆˆ ,. dd p q i x i x i dx dx p q i (1.2) Biểu thức Hamiltonian theo ˆ p và ˆ q 2 2 2 ˆ ˆ ˆ 22 x p m Hx m . (1.3) 5 Ta đặt: ˆ ˆ ˆ 2 ˆ ˆ ˆ 2 m p i a a q a a m Khi đó biểu thức toán tử Hamiltonian theo ˆ a và ˆ a có dạng 2 22 22 22 ˆ 1 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 2 2 2 2 2 2 x p m m m H x i a a a a m m m 22 1 ˆ ˆ ˆ ˆ 22 1 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 22 1 ˆ ˆ ˆ ˆ 22 22 a a a a a a a a a a a a aa a a ˆ ˆ ˆ ˆ 2 aa a a (1.4) Từ biểu thức của ˆ p và ˆ q ta tính đƣợc ˆ a và ˆ a là ˆ 2 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 22 ˆ 2 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 2 2 ˆ ˆˆ 2 ˆ ˆˆ 2 p a a ip m m m p i a a i qm q a a a a q m m mp a q i m mp a q i m HÖ thøc giao ho¸n gi÷a ˆ a vµ ˆ a nh- sau ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ,a a aa a a ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 2 2 2 2 m p m p m p m p q i q i q i q i m m m m 1 ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆˆ 2 2 1 2 i i pq i qp pq qp Suy ra ˆˆ ,1aa . (1.5) 6 Từ đó biểu thức Hamiltonian có dạng 1 ˆ ˆˆ 2 H a a . (1.6) Ta đặt ˆ ˆˆ N a a (1.7) Khi đó ta có các hệ thức giao hoán sau + ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ , 1.N a Na aN a aa aa a a a aa a a a Suy ra ˆˆ ˆˆ 1Na a N (1.8) + ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ , .1N a Na a N a aa a a a a aa a a a a Suy ra ˆˆ ˆˆ 1Na a N (1.9) Ký hiệu n là véctơ riêng của toán tử ˆ N ứng với trị riêng n thì phƣơng trình hàm riêng, trị riêng khi đó là ˆ N n n n (1.10) ˆ n N n n n n n n n Hay ˆ ˆˆ n N n n a a n n n n n n (1.11) Ta có 2 2 ˆ ˆ ˆ 0 0 n n n a a n a r dr n n r dr nên 0n . (1.12) Vậy các trị riêng của toán tử ˆ N là các số không âm. Cho ˆ a tác dụng lên véctơ trạng thái n ta thu đƣợc véctơ trạng thái ˆ an . Sau đó tác dụng toán tử ˆ N lên véctơ này ta đƣợc ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 1 1 1Na n a N n aN n a n a n n n a n (1.13) Nghĩa là véctơ trạng thái ˆ an cũng là véctơ trạng thái riêng của toán tử ˆ N ứng với trị riêng 1n . 7 Do đó 23 ˆˆ ; a n a n cũng là véctơ trạng thái của toán tử ˆ N ứng với trị riêng 2 , 3 , nn Tƣơng tự cho toán tử ˆ N tác dụng lên véctơ trạng thái ˆ an ta thu đƣợc ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 1 1 1Na n a N n a N n a n a n n n a n (1.14) Nghĩa là véctơ trạng thái ˆ an cũng là véctơ trạng thái riêng của toán tử ˆ N ứng với trị riêng 1n . Do đó 23 ˆˆ ; a n a n cũng là véctơ trạng thái của toán tử ˆ N ứng với trị riêng 2 , 3 nn Vậy nếu n là một véc tơ riêng của toán tử ˆ N ứng với trị riêng n thì ˆ p an cũng là một véctơ riêng của toán tử ˆ N ứng với trị riêng np 1,2,3 p . Từ đó ta thấy khi n là một trị riêng của toán tử ˆ N thì chuỗi các số không âm 1, 2, 3, n n n cũng là trị riêng của toán tử ˆ N . Vì chuỗi này giảm dần nên phải tồn tại một số không âm nhỏ nhất. Khi đó min ˆ 0an (1.15) do min ˆ 0an thì đó là véctơ trạng thái ứng với trị riêng min min 1nn trái với giả thiết n min là trị riêng nhỏ nhất. Từ (1.6) ta có min min ˆ ˆˆ 0a a n N n (1.16) Theo định nghĩa thì min min min ˆ N n n n (1.17) Từ (1.16) và (1.17) ta thấy trị riêng nhỏ nhất của toán tử ˆ N là n min có giá trị bằng 0. Véctơ trạng thái ứng với trị riêng nhỏ nhất của ˆ N đƣợc ký hiệu là 0 . Véctơ trạng thái này thỏa mãn điều kiện ˆ 00a . [...]... 2 THỐNG KÊ BOSE – EISTEIN BIẾN DẠNG q VÀ TRẠNG THÁI NGƢNG TỤ BOSE – EISTEIN Sau đây chúng tôi sẽ mở rộng phân bố thống kê Bose – Einstein thành phân bố thống kê Bose – Einstein biến dạng q và áp dụng thống kê này nghiên cứu hiện tƣợng ngƣng tụ Bose – Einstein, tìm nhiêt độ ngƣng tụ Bose – Einstein của nguyên tố Pb 2.1 Thống kê Bose - Einstein biến dạng q Biểu thức tính giá trị trung bình của đại lƣợng... kê Bose - Einstein cho hệ đồng nhất các hạt boson 1.2 Lý thuyết về trạng thái ngƣng tụ Bose Einstein Ngƣng tụ Bose - Einstein hay ngƣng tụ Bose là hiện tƣợng chuyển pha của các hạt boson, trong đó một lƣợng lớn các hạt boson cùng tồn tại trên một trạng thái lƣợng tử, khi nhiệt độ nhỏ hơn một nhiệt độ chuyển pha [2], [5] 15 Đối với mô hình khí lý tƣởng (không có tƣơng tác giữa các boson), khi ở nhiệt. .. thao tác để điều khiển hoạt động của nguyên tử đó, tức là thao tác trên một nguyên tử - Thay đổi đƣờng đi của nguyên tử: Nguyên tử là hạt nhƣng cũng là sóng vật chất Đƣờng đi của nguyên tử cũng là đƣờng truyền sóng vật chất Nếu gặp vật chất, thí dụ gặp sóng đứng của laze, sóng nguyên tử có thể bị phản xạ một phần hoặc bị phản xạ toàn phần Vậy một cách làm cho đƣờng đi của nguyên tử bị rẽ nhánh hoặc... Einstein Áp dụng và tính đƣợc nhiệt độ ngƣng tụ Bose - Einstein: Tc 3,31 2 3 2 g mk N V 2 3 Ta thấy rằng nhiệt độ ngƣng tụ này không chỉ phụ thuộc vào khối lƣợng m của hạt mà nó còn phụ thuộc vào nồng độ N của hạt Ngoài ra chúng tôi cũng đã V mô tả một cách sơ lƣợc về việc tạo ra trạng thái ngƣng tụ Bose – Einstein bằng thực nghiệm Ở đây, lý thuyết trƣờng lƣợng tử là phƣơng pháp của vật lý hiện đại nên... Einstein trong khí loãng của các nguyên tử kiềm và vì những nghiên cứu cơ bản về các tính chất của ngƣng tụ Để tạo đƣợc ngƣng tụ Bose – Einstein, cần phải chọn các nguyên tử có spin là số nguyên và phải làm lạnh chúng đến nhiệt độ cỡ gần bằng 0K (không độ Kenvin) Tất nhiên không có cái bình vật chất nào để chứa chúng ở nhiệt độ thấp nhƣ vậy Vì nguyên tử có spin thì cũng có momen từ nên có thể dùng từ... cách lý thuyết là tồn tại nhiệt độ chuyển pha, mà khí boson có thể ngƣng tụ Những tiến bộ trong kỹ thuật làm lạnh và giam nguyên tử đã cho phép thực nghiệm quan sát đƣợc hiện tƣợng ngƣng tụ Bose - Einstein trong hệ khí liti, kali và natri Ở nhiệt độ thấp khí boson có tính chất khác hẳn khí fecmion, vì các hạt boson không chịu sự chi phối của nguyên lý cấm Pauli nên ở nhiệt độ không tuyệt đối tất cả... trạng thái độc đáo, mà ta có thể xem nhƣ là sự ngƣng tụ Bose Ở nhiệt độ thấp hơn nhiệt độ 2,8K Heli lỏng gồm hai thành phần : Thành phần bình thƣờng mà ta có thể xem nhƣ một chất khí boson còn chƣa ngƣng tụ, và thành phần siêu lỏng mà ta có thể xem nhƣ một chất khí boson ngƣng tụ ở mức “không” Các hạt nằm ở mức “không” của thành phần siêu lỏng của Heli không thể có đóng góp gì vào trong nhiệt dung... MaxRecursion 40] Thay giá trị của I = 2,31516 2, 60406 10 69 i vào (1.36) ta tính đƣợc Tc 3,31 2 3 2 g mk Đối với He4 có mật độ N m V N V 0,12 2 3 g cm3 (1.37) nhiệt độ Tc cỡ 2,8K 19 Nói chung đối với mọi chất khí boson nhiệt độ Tc rất nhỏ, tuy nhiên sự tồn tại Tc 0 có ý nghĩa rất quan trọng Để hiểu đƣợc ý nghĩa của nó ta xét khoảng nhiệt độ 0 T Tc , thế hóa học năng lƣợng 0 với nhiệt độ T 0 là 1 2 3 N g 2m... thiết bị đồ sộ, phức tạp Các nguyên tử ở trạng thái ngƣng tụ Bose – Einstein, thƣờng gọi là giọt BEC (Bose – Einstein Condensate), có những tính chất cực kỳ mới, rất đặc biệt Xét về mặt sóng, các nguyên tử của giọt đó có cùng bƣớc sóng, cùng pha, không phân biệt đƣợc với nhau Nếu giọt BEC nhƣ là một nguyên tử khổng lồ có biên độ sóng là tổng cộng biên độ sóng của từng nguyên tử Nếu giọt BEC đó “chảy”... mà ngƣời ta gọi là pha ngƣng tụ Bose- Einstein đây là một trạng thái đặc biệt của vật chất mà Einstein đã dự đoán có thể xảy ra Khi T = 0K thì tất cả các hạt đều có năng lƣợng 0 Việc tính toán đƣợc nhiệt độ ngƣng tụ Tc chứng tỏ rằng ở nhiệt độ đó tất cả các chất đều ở trạng thái rắn hoặc trạng thái lỏng, nghĩa là chúng không ở trạng thái khí 20 4 Trong He2 lỏng ở nhiệt độ 2,8K ngƣời ta đã quan sát . ngƣng tụ Bose – Einstein và đƣa ra đƣợc biểu thức của nhiệt độ ngƣng tụ Bose – Einstein. - Tính nhiệt độ ngƣng tụ Bose – Einstein cho nguyên tố Pb. 4. Đối tƣợng nhiên cứu và phạm vi nghiên cứu. Einstein của nguyên tố Pb nằm trong hƣớng nghiên cứu trên vì vậy đề tài có ý nghĩa to lớn trong thực tiễn. Đó là lý do tôi chọn Nghiên cứu nhiệt độ ngƣng tụ Bose – Einstein của nguyên tố Pb . thái ngƣng tụ Bose - Einstein. Chƣơng 3 : Trạng thái kết hợp. 2. Mục đích nghiên cứu - Nghiên cứu trạng thái ngƣng tụ Bose - Einstein biến dạng q và áp dụng tính nhiệt độ ngƣng tụ Bose – Einstein