BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH LÂM ANH TUẤN TỔNG VÀ TÍCH TRỰC TIẾP CÁC MÔĐUN NỘI XẠ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGHỆ AN - 2014 1 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH LÂM ANH TUẤN TỔNG VÀ TÍCH TRỰC TIẾP CÁC MÔĐUN NỘI XẠ Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ Mã số: 60 46 01 04 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS. NGÔ SỸ TÙNG NGHỆ AN - 2014 2 MỤC LỤC Trang MỤC LỤC 1 MỞ ĐẦU 2 Chương I: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ §1.1. Tổng và tích trực tiếp các môđun 4 §1.2. Môđun con cốt yếu – tính chất 11 Chương II: TỔNG VÀ TÍCH TRỰC TIẾP CÁC MÔĐUN NỘI XẠ §2.1. Môđun nội xạ 15 §2.2. Định lí Papp and Bass về tổng trực tiếp các môđun nội xạ 19 §2.3. Tích trực tiếp các môđun nội xạ 23 KẾT LUẬN 26 TÀI LIỆU THAM KHẢO 27 1 MỞ ĐẦU Môđun là một khái niệm cơ bản của Đại số hiện đại. Một trong những hướng nghiên cứu môđun là phân tích thành những môđun đơn giản hơn theo tổng hay tích trực tiếp. Một hướng khác, xây dựng những lớp môđun mới từ những lớp môđun đã cho nhờ các phương pháp mở rộng. Những lớp môđun có thể phân tích thành tổng hay tích trực tiếp và các lớp môđun không phân tích được đang được nhiều tác giả nghiên cứu quan tâm. Trong lý thuyết môđun, cùng với lớp môđun xạ ảnh thì lớp môđun nội xạ là một trong những lớp môđun đóng vai trò quan trọng góp phần hình thành hai trụ cột trong nghiên cứu lý thuyết này. Khái niệm môđun nội xạ đã được giới thiệu trong [3]: Môđun Q được gọi là nội xạ nếu với mỗi đồng cấu :f A Q→ và với mỗi đơn cấu :g A B→ của những R – môđun, tồn tại một đồng cấu :h B Q→ sao cho hg f= , nghĩa là biểu đồ sau giao hoán Như vậy, khái niệm môđun nội xạ được xây dựng từ những môđun đã cho thông qua các đồng cấu môđun. Một cách tự nhiên, có thể đặt ra các câu hỏi: Tổng trực tiếp (hay tích trực tiếp) của các môđun nội xạ có nội xạ hay không? Với những điều kiện nào thì xảy ra sự phân tích thành tổng trực tiếp? Những môđun không phân tích được có tính chất gì? Đây là những vấn đề chính mà luận văn hướng đến. Dựa vào tài liệu chính [3] luận văn tìm hiểu về sự phân tích thành tổng trực tiếp và tích trực tiếp các môđun nội xạ. Ngoài phần mở đầu và kết luận, luận văn được chia thành hai chương: g h∃ f A B Q 2 Chương I là phần kiến thức chuẩn bị, trình bày hệ thống các khái niệm về tích trực tiếp, tổng trực tiếp các môđun, môđun con cốt yếu, trình bày chứng minh một số tính chất cơ bản của chúng thông qua các định lí và bổ đề. Chương II là phần nội dung chính của luận văn, trình bày khái quát về khái niệm, tính chất cơ bản của môđun nội xạ. Tìm hiểu và chứng minh chi tiết thêm về sự phân tích thành tổng trực tiếp và tích trực tiếp của các môđun nội xạ. Luận văn được hoàn thành tại Trường Đại học Vinh, dưới sự gợi ý và hướng dẫn nhiệt tình của Thầy PGS.TS. Ngô Sỹ Tùng. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Thầy, đồng thời tác giả cũng xin trân trọng cảm ơn Thầy PGS.TS. Lê Quốc Hán, PGS.TS. Nguyễn Thành Quang, Cô GVC.TS. Nguyễn Thị Hồng Loan, Cô GV.TS. Đào Thị Thanh Hà cùng quý thầy cô trong chuyên ngành Đại số và Lý thuyết số khoa Toán, Phòng Sau Đại học của Trường Đại học Vinh, Phòng QLKH&SĐH của Trường Đại học Đồng Tháp, các bạn học viên Cao học Toán khoá 20 đã hỗ trợ, giúp đỡ và tạo điều kiện tốt nhất để tác giả hoàn thành luận văn này. Nghệ An, tháng 9 năm 2014 LÂM ANH TUẤN 3 Chương I KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong toàn bộ luận văn, vành luôn được hiểu là vành có đơn vị ký hiệu là 1 và các môđun là môđun phải unita. Chương này trình bày hệ thống các khái niệm về tích trực tiếp, tổng trực tiếp các môđun, môđun con cốt yếu, một số tính chất cơ bản của chúng thông qua các định lí và bổ đề. Các khái niệm, tính chất được trình bày lấy từ tài liệu [3]. §1.1. TỔNG VÀ TÍCH TRỰC TIẾP CÁC MÔĐUN 1.1.1 Định nghĩa (Tích trực tiếp). Cho một họ những R – môđun ( ) | i A i I∈ . Khi đó tích Đề các ( ) { } | , i i i i I A a i I a A= ∈ ∈ ∏ cùng với phép cộng và phép nhân vô hướng theo thành phần: ( ) ( ) ( ) i i i i a b a b+ = + ( ) ( ) i i a r a r= là một R – môđun, gọi là tích trực tiếp của họ ( ) | i A i I∈ . Trường hợp , i A A i I= ∀ ∈ , ta kí hiệu: I i I A A= ∏ . Phép chiếu ( ) : , j i j i j I A A a a π → ∏ a là một R – đồng cấu, j I∀ ∈ . 1.1.2. Định lí. ([3], Định lí 4.1.6(1)) Giả sử B là R – môđun cùng với các đồng cấu : j j B A β → . Khi đó tồn tại đồng cấu duy nhất : i I B A β → ∏ sao cho các biểu đồ sau giao hoán 4 tức là , j j j I β π β = ∀ ∈ . Chứng minh. Chọn : i I B A β → ∏ được xác định bởi ( ) ( ) ( ) , i x x β β = , x B i I∈ ∀ ∈ . Khi đó β là một đồng cấu môđun. Thật vậy, , , x y B r R∀ ∈ ∀ ∈ . Ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) i i i i i x y x y x y x y x y β β β β β β β β + = + = + = + = + . ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) i i i xr xr x r x r x r β β β β β = = = = . Nên β là đồng cấu môđun. Mặt khác, x B∀ ∈ , ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) j j j i j x x x x π β π β π β β   = = =   . Do đó j j β π β = . Giả sử tồn tại đồng cấu ': i I B A β → ∏ sao cho ', j j j I β π β = ∀ ∈ . Khi đó ( ) ( ) ( ) ( ) ' ' , , j j j x x x j I x B β π β π β = = ∀ ∈ ∀ ∈ . Suy ra ( ) ( ) ( ) ( ) ' , i x x x x B β β β = = ∀ ∈ . Cho nên ' β β = .  1.1.3. Mệnh đề. Giả sử ( ) : | i i i f A B i I→ ∈ là một họ đồng cấu môđun. Khi đó tương ứng : i i I I f A B→ ∏ ∏ cho bởi ( ) ( ) ( ) ( ) i i i f a f a= là một đồng cấu được kí hiệu bởi i I f ∏ và được gọi là tích trực tiếp của họ các đồng cấu ( ) | i f i I∈ . j π j β β i j I A A B ∏ 5 Chứng minh. Với mọi ( ) ( ) , i i i I x y A∈ ∏ , r R∀ ∈ . Ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = = . i i i i i i i i i i i i i i i i i f x y f x y f x y f x f y f x f y f x f y + = + = + = + + + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) . i i i i i i i i i f x r f x r f x r f x r f x r f x r= = = = = Suy ra i I f f= ∏ là một đồng cấu môđun.  1.1.4. Định nghĩa (Tổng trực tiếp). Cho ( ) | i A i I∈ là một họ những R – môđun. Môđun con của i I A ∏ gồm tất cả những phần tử ( ) i a mà 0 i a = hầu hết, trừ một số hữu hạn chỉ số i I∈ , được gọi là tổng trực tiếp (hay tổng trực tiếp ngoài) của họ ( ) | i A i I∈ và được kí hiệu bởi i I A⊕ . Trường hợp , i A A i I= ∀ ∈ , ta kí hiệu: ( ) I i I A A ⊕ = . Với mỗi j I∈ , tương ứng : j j i I A A µ → ⊕ ( ) , 0 j j i i a i j a a a i j =  =  ≠  a là một đơn cấu. 1.1.5. Định lí. ([3], Định lí 4.1.6(2)) Giả sử B là R – môđun cùng với các đồng cấu : j j A B α → . Khi đó tồn tại đồng cấu duy nhất : i I A B α ⊕ → sao cho các biểu đồ sau giao hoán tức là , j j j I α αµ = ∀ ∈ . nếu nếu j µ α j α j i I A A B ⊕ 6 Chứng minh. Chọn : i I A B α ⊕ → , xác định bởi ( ) ( ) ( ) i i i a a α α = ∑ , ( ) , i i I a A i I∈⊕ ∀ ∈ . Khi đó α là một đồng cấu môđun. Thật vậy, ( ) ( ) , , i i i I a b A r R∀ ∈⊕ ∀ ∈ : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) . i i i i i i i i i i i i i i i i i a b a b a b a b a b a b α α α α α α α α α + = + = + = + = + = + ∑ ∑ ∑ ∑ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) i i i i i i i i i a r a r a r a r a r a r α α α α α α = = = = = ∑ ∑ ∑ . Do đó, α là đồng cấu môđun. Mặt khác, j j a A∀ ∈ ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , . j j j j j j j j j a a a a a j I αµ α µ α α α = = = = ∀ ∈ ∑ Nên , j j j I α αµ = ∀ ∈ . Giả sử tồn tại đồng cấu ': i I A B α ⊕ → sao cho ' , j j j I α α µ = ∀ ∈ . Kí hiệu [ ] i a là phần tử thuộc i I A⊕ chỉ có thành phần tứ i là i a , tất cả các thành phần khác đều bằng 0. Khi đó: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ' ' ' , j j j j j j j j j a a a a a A α α µ α µ α   = = = ∀ ∈   . Ta lại có, ( ) i i I a A∀ ∈⊕ : ( ) ( ) [ ] ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ' ' ' i i i i i i a a a a a α α α α α = = = = ∑ ∑ ∑ . Nên suy ra ( ) ' , i i I a A α α = ∀ ∈⊕ . Vậy α là duy nhất.  1.1.6. Mệnh đề. Giả sử ( ) : | i i i f A B i I→ ∈ là một họ đồng cấu môđun. Khi đó tương ứng : i i I I f A B⊕ → ⊕ 7 cho bởi ( ) ( ) ( ) ( ) i i i f a f a= là một đồng cấu được kí hiệu bởi i I f⊕ và được gọi là tổng trực tiếp của họ các đồng cấu ( ) | i f i I∈ . Chứng minh. Tương tự phần chứng minh của Mệnh đề 1.1.3.  1.1.7. Định nghĩa (Tổng trực tiếp trong). Môđun A R được gọi là tổng trực tiếp trong của một họ các môđun con ( ) | i A i I∈ nếu các điều kiện sau được thoả mãn: 1) i I A A= ∑ 2) 0, j i i j A A j I ≠ ∩ = ∀ ∈ ∑ . 1.1.8. Bổ đề. ([3], Bổ đề 2.4.2) Môđun A R là tổng trực tiếp trong của một họ các môđun con ( ) | i A i I∈ nếu và chỉ nếu mỗi phần tử a A∈ biểu diễn duy nhất dưới dạng: i i I a a ∈ = ∑ trong đó i i a A∈ , bằng 0 với hầu hết i I∈ . Chứng minh. ( ) ⇒ . Do điều kiện 1) của Định nghĩa 1.1.7, nên có một tập hữu hạn 'I I ⊂ sao cho phần tử a viết được dưới dạng ' i i I a a ∈ = ∑ . Giả sử còn có tập hữu hạn ''I I⊂ sao cho '' j j I a c ∈ = ∑ . Do có thể bổ sung thêm các hạng tử 0, 0 i j a c= = một cách thích hợp vào mỗi biểu diễn trên của a , nên ta có thể coi ' ''I I J= = và i j J J a a c= = ∑ ∑ . Khi đó với j I∈ , ta có: ( ) , j j i i i j a c a c i J ≠ − = − ∈ ∑ . Do điều kiện 2) của Định nghĩa 1.1.7, ta suy ra 0 j j a c− = hay , j j a c= j I∀ ∈ . Do đó, a có biểu diễn duy nhất. 8 [...]...  15 Chương II TỔNG VÀ TÍCH TRỰC TIẾP CÁC MÔĐUN NỘI XẠ Chương này là phần nội dung chính của luận văn, trình bày khái niệm, một số tính chất cơ bản của môđun nội xạ, tìm hiểu và trình bày chứng minh về sự phân tích thành tổng trực tiếp và tích trực tiếp của các môđun nội xạ §2.1 MÔĐUN NỘI XẠ 2.1.1 Định nghĩa (Môđun nội xạ) Môđun Q được gọi là nội xạ nếu với mỗi đồng cấu f : A → Q và với mỗi đơn cấu... môđun nội xạ (Định lí 2.1.2 chương II), một môđun đẳng cấu với môđun nội xạ là nội xạ (Hệ quả 2.1.3 chương II) 3 Trình bày chứng minh tích trực tiếp của các môđun nội xạ là nội xạ (Định lí 2.3.1 chương II), mọi hạng tử trực tiếp của môđun nội xạ là nội xạ (Hệ quả 2.3.2 chương II), mỗi môđun nội xạ trên vành Noether là tổng trực tiếp của các môđun con không phân tích được (Định lí 2.2.10 chương II) 27... tích và tổng trực tiếp các môđun (Định lí 1.1.2, 1.1.5 chương I); tích trực tiếp, tổng trực tiếp của họ các đồng cấu là một đồng cấu (Mệnh đề 1.1.3, 1.1.6 chương I); điều kiện để một môđun là môđun con cốt yếu (Bổ đề 1.2.5 chương I), tổng trực tiếp các môđun con cốt yếu là cốt yếu (Hệ quả 1.2.6 chương I) 2 Khảo sát khái niệm môđun nội xạ và trình bày chi tiết tính chất đặc trưng của môđun nội xạ (Định... những vấn đề mà luận văn hướng đến là tìm hiểu xem tích trực tiếp của các môđun nội xạ có nội xạ hay không Vấn đề này được làm sáng tỏ thông qua định lí sau: 2.3.1 Định lí ([3], Định lí 5.3.4) Nếu Q = ∏ Qi Khi đó ta có: I Q là môđun nội xạ ⇔ Qi là nội xạ, ∀i ∈ I 24 Nghĩa là, tích trực tiếp các môđun là nội xạ khi và chỉ khi các môđun thành viên là nội xạ Chứng minh ( ⇒ ) Giả sử g : A → B là một đơn... là tổng của những môđun con Ai Khi đó A là tổng trực tiếp trong nếu và chỉ nếu từ ai + ai + + ai = 0, ai ∈ Ai 1 2 n j j suy ra ai = 0, 1 ≤ j ≤ n j 1.1.10 Hệ quả Môđun A là tổng trực tiếp trong của họ các môđun con ( A |i∈I) i nếu và chỉ nếu ánh xạ f : ⊕ Ai → A I ( a ) a ∑a i i là đẳng cấu Từ Hệ quả 1.1.10, nên ta thường dùng thuật ngữ tổng trực tiếp thay cho cả tổng trực tiếp trong và tổng trực tiếp. .. là tương đương: (1) Môđun RR là Noether (2) Mỗi môđun nội xạ QR là tổng trực tiếp của những môđun con không phân tích được Chứng minh ( 1) ⇒ ( 2 ) Theo Hệ quả 2.2.6, trong Q tồn tại tập hợp tối đại các môđun con nội xạ không phân tích được có tổng là trực tiếp Gọi tổng đó là Q0 = ⊕ Qi , I0 vì Qi nội xạ với mọi i ∈ I nên theo Định lí 2.2.1 thì Q0 nội xạ Do đó Q0 là hạng tử trực tiếp trong Q Giả sử... môđun con thuần nhất U ≠ 0 Gọi I ( U ) là bao nội xạ của U , chứa trong B0 thì I ( U ) là không phân tích được và là hạng tử trực tiếp của B0 Gọi B0 = I ( U ) ⊕ B1 Khi đó, Q0 + I ( U ) = Q0 ⊕ I ( U ) là tổng trực tiếp của các môđun con nội xạ không phân tích được Điều này trái với tính tối đại của I 0 Do đó B0 = 0 và Q = Q0 = ⊕ Qi I0 Điều này chứng tỏ môđun nội xạ Q là tổng trực tiếp của các môđun. .. xin nêu lại các định lí, bổ đề để làm cơ sở Phần chứng minh của chúng có thể xem trong [3] hoặc [1] được nêu cụ thể theo từng mục tương ứng 2.2.1 Định lí ([3], Định lí 6.5.1) Đối với vành R, các điều kiện sau là tương đương: (a) Môđun RR là Noether (b) Mọi tổng trực tiếp các R – môđun phải nội xạ là nội xạ (c) Mọi tổng trực tiếp đếm được của các bao nội xạ của các R – môđun đơn phải là nội xạ 2.2.2 Định... là nội xạ Chứng minh Giả sử Q là nội xạ và Q = Q1 ⊕ Q2 Tương tự phần chứng minh ( ⇒ ) của Định lí 2.3.1, ta suy ra Qi ( i = 1,2 ) là nội xạ  26 KẾT LUẬN Luận văn đã đề cập, tìm hiểu và trình bày các vấn đề sau: 1 Khảo sát, hệ thống các khái niệm về tích trực tiếp, tổng trực tiếp của các môđun, khái niệm môđun con cốt yếu và trình bày một số tính chất cơ bản của chúng như: Tính chất phổ dụng của tích. .. kỳ của nó 20 (c) Mỗi môđun con trong Q là thuần nhất (d) Q là bao nội xạ của một môđun con thuần nhất khác không náo đó 2.2.4 Hệ quả ([3], Hệ quả 6.6.3) (a) Bao nội xạ của một R – môđun đơn là không phân tích được (b) Môđun nội xạ Q chứa hầu hết môđun con đơn là không phân tích được (c) Nếu RR là Artin thì mọi môđun nội xạ QR ≠ 0 không phân tích được là bao nội xạ của một R – môđun đơn 2.2.5 Bổ đề . BỊ §1.1. Tổng và tích trực tiếp các môđun 4 §1.2. Môđun con cốt yếu – tính chất 11 Chương II: TỔNG VÀ TÍCH TRỰC TIẾP CÁC MÔĐUN NỘI XẠ §2.1. Môđun nội xạ 15 §2.2. Định lí Papp and Bass về tổng trực tiếp. sự phân tích thành tổng trực tiếp và tích trực tiếp của các môđun nội xạ. §2.1. MÔĐUN NỘI XẠ 2.1.1. Định nghĩa. (Môđun nội xạ) Môđun Q được gọi là nội xạ nếu với mỗi đồng cấu :f A Q→ và với mỗi. qua các đồng cấu môđun. Một cách tự nhiên, có thể đặt ra các câu hỏi: Tổng trực tiếp (hay tích trực tiếp) của các môđun nội xạ có nội xạ hay không? Với những điều kiện nào thì xảy ra sự phân tích