1 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH NGUYỄN CÔNG LÝ MỘT SỐ TÍNH CHẤT ĐỘ CAO CỦA HÀM PHÂN HÌNH P - ADIC LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Nghệ An – 2014 2 MỤC LỤC MỞ ĐẦU 1 Chương 1. TRƯỜNG CÁC SỐ PHỨC P-ADIC 3 1.1. Giá trị tuyệt đối trên trường số hữu tỷ ¤ 3 1.2. Xây dựng trường số hữu tỷ p-adic p ¤ 7 1.3. Mở rộng đóng đại số đầy đủ p £ của trường các số p ¤ 12 Chương 2. MỘT SỐ TÍNH CHẤT ĐỘ CAO CỦA HÀM PHÂN HÌNH P – ADIC 14 2.1. Đa giác định giá 14 2.2. Độ cao của chuỗi lũy thừa 18 2.3. Độ cao của hàm chỉnh hình 21 2.4. Độ cao của hàm phân hình 23 2.5. Các tính chất cơ bản của độ cao 24 KẾT LUẬN 33 TÀI LIỆU THAM KHẢO 34 MỞ ĐẦU 3 Trong những năm cuối thế kỷ XX, lý thuyết hàm trên trường phi Ácsimét phát triển mạnh mẽ và tìm thấy nhiều ứng dụng trong những vấn đề khác nhau của toán học. Lý thuyết độ cao của hàm chỉnh hình p-adic một hay nhiều biến đã được xây dựng lần đầu tiên trong các công trình của Hà Huy Khoái. Luận văn của tôi dựa trên tài liệu [3], [5] để tìm hiểu một số tính chất độ cao của hàm phân hình p-adic. Ngoài lời nói đầu, mục lục, tài liệu tham khảo và kết luận, dự kiến luận văn được chia thành hai chương như sau: Chương 1. Trường các số phức p – adic Trong chương này, chúng tôi hệ thống các kiến thức về xây dựng trường số hữu tỷ p-adic p ¤ và dẫn ra một số kết qủa của quá trình xây dựng bao đóng đại số, đầy đủ của trường p ¤ để làm cơ sở cho việc trình bày chương sau. Chương 2. Một số tính chất độ cao của hàm phân hình p-adic Trong chương này chúng tôi trình bày độ cao của chuỗi lũy thừa, hàm chỉnh hình, hàm phân hình và một số tính chất cơ bản của độ cao. Luận văn này được hoàn thành với sự hướng dẫn khoa học và chỉ bảo tận tình của TS. Mai Văn Tư - Khoa Toán của Trường Đại Học Vinh. Thầy đã dành nhiều thời gian hướng dẫn và giải đáp thắc mắc của tôi trong suốt quá trình làm luận văn. Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy. Tôi xin chân thành cảm ơn các quý cơ quan đã tạo điệu kiện giúp đỡ về mọi mặt để luận văn này hoàn thành đúng kế hoạch. Tôi xin cảm ơn quý Thầy Cô khoa Toán, Phòng Đào tạo sau Đại Học Trường Đại Học Vinh và Trường Đại Học Đồng Tháp, quý Thầy Cô tham gia giảng dạy khóa Cao học toán 2012 - 2014 lời cảm ơn sâu sắc công ơn dạy dỗ trong suốt quá trình giáo dục, đào tạo của nhà trường. Đồng thời tôi cũng gửi lời cảm ơn đến tập 4 thể lớp Cao học Toán Khóa 20 đã động viên và giúp đỡ tôi trong suốt quá trình làm luận văn. Tuy nhiên do sự hiểu biết của bản thân và thời gian học tập, nên luận văn không tránh khỏi những thiếu sót, tôi rất mong được sự đóng góp ý kiến của quý Thầy Cô và độc giả quan tâm đến luận văn này. Nghệ An, ngày 10 tháng 10 năm 2014 Tác giả 5 Chương 1. TRƯỜNG CÁC SỐ PHỨC P-ADIC 1.1. Giá trị tuyệt đối trên trường số hữu tỷ ¤ . 1.1.1.Định nghĩa, sự phụ thuộc và sự độc lập 1.1.1.1. Định nghĩa Giả sử K là một trường, giá trị tuyệt đối x trên K là hàm số tự K vào ¡ (ký hiệu ( ) ,v x x x v = ∀ ∈K ), thỏa mãn đồng thời ba điều kiện sau đây: a. 0 v x ≥ , với mọi x∈K và 0 v x = khi và chỉ khi x = 0. b. v v v xy x y= với mọi ,x y∈K . c. v v v x y x y+ ≤ + với mọi ,x y∈K . Một hàm giá trị tuyệt đối trên trường K được gọi là hàm giá trị tuyệt đối phi Ácsimét nếu thỏa mãn điều kiện: { } '. ax , v v v c x y m x y + ≤ với mọi ,x y∈K . 1.1.1.2. Chú ý - Khi chỉ làm việc với một giá trị tuyệt đối ta sẽ viết x thay cho v x và nói về . như giá trị tuyệt đối trên trường K . - Giá trị tuyệt đối trên trường K xác định một mêtric. Khoảng cách giữa hai điểm x, y thuộc K trong mêtric đó bằng x y− . Như vậy giá trị tuyệt đối trên trường K xác định một tôpô. Bộ ( ) ,vK gồm trường K và hàm giá trị tuyệt đối v trên K được gọi là trường định giá (còn gọi là trường định chuẩn). 1.1.1.3. Định nghĩa Hai giá trị tuyệt đối trên một trường K được gọi là phụ thuộc (còn gọi là tương đương) nếu chúng xác định cùng một tôpô trên K . Trong trường hợp trái lại, chúng được gọi là độc lập (còn gọi là không tương đương). 6 Định lý sau đây nêu lên tiêu chuẩn cần và đủ để hai giá trị tuyệt đối trên một trường K là phụ thuộc lẫn nhau (hay chúng tương đương nhau). 1.1.1.4. Định lý Giả sử 1 1 . . v = và 2 2 . . v = là hai giá trị tuyệt đối không tầm thường trên trường K . Chúng phụ thuộc lẫn nhau khi và chỉ khi từ hệ thức 1 1x < suy ra 2 1x < . Nếu chúng phụ thuộc thì tồn tại số thực 0 λ > sao cho 1 2 x x λ = với mọi x∈K . Định lý sau đây nêu lên các điều kiện tương đương của giá trị tuyệt đối phi Ácsimét trên trường K . 1.1.1.5. Định lý Giả sử ( ) , .K là trường định chuẩn với đơn vị e, khi đó các điều kiện sau là tương đương. a. . phi Ácsimét. b. { } { } : 1 : 1x x x e x∈ < ∩ ∈ − < = ∅K . c. Tập hợp số tự nhiên ¥ bị chặn. d. 2 1e ≤ . Chứng minh. Lược đồ chứng minh định lý này là .a b c d a⇒ ⇒ ⇒ ⇒ +) a b⇒ Giả sử tồn tại x∈K sao cho 1 1. x e x  <   − <   Từ giả thiết của { } 1 ax , 1a e x x m e x x⇒ = − + ≤ − < . Điều mâu thuẩn này chứng tỏ { } { } : 1 : 1 .x x x e x∈ < ∩ ∈ − < = ∅K K 7 +) .b c⇒ Giả sử tập số tự nhiên ¥ không bị chặn, khi đó sẽ tồn tại n∈¥ , bé nhất sao cho 1 1 1.ne ne > ⇒ < Khi đó ( 1) 1 1. n e e ne ne − − = < Đặt 1 x ne = , với e là đơn vị của K thì 1 . 1 x e x  <   − <   Điều này mâu thuẩn với giả thiết. Chứng tỏ ¥ là tập bị chặn bởi giá trị tuyệt đối đã cho. ) c d+ ⇒ . Hiển nhiên. ) .d a+ ⇒ Trước hết ta chứng tỏ 1,n n≤ ∀ ∈¥ . Thực vậy, viết số tự nhiên 1n > trong hệ đếm cơ số 2, chúng ta có: { } 1 2 2 , 0,1 , 1. s o s j s n a a a a a= + + + ∈ = Suy ra 0 2 1. s s n a a s≤ + + ≤ + Trong bất đẳng thức trên chúng ta thay n bởi { } 1 2 2 , 0,1 , ( 1) . m k n b b b m s k o j = + + + ∈ < + Khi đó ta nhận được: 1 ( 1) . k n m s k≤ + ≤ + Cho lim ( 1) 1. k k k n s k →∞ → ∞ ⇒ ≤ + = Mặt khác 1 1 1 1 ( ) . n n n n n n n n x y x C x y C xy y − − − + = + + + + Suy ra { } ax ( 1) ,( 1) . n n n x y m n x n y+ ≤ + + Cho ,n → ∞ ta có: { } ax ,x y m x y+ ≤ . Nghĩa là có a. 8 Định lý được chứng minh. 1.1.2. Phân loại giá trị tuyệt đối trên trường số hữu tỷ ¤ Giả sử 0 x≠ ∈¤ , khi đó x có thể viết dưới dạng: 1 2 1 2 k k x p p p α α α = ± , trong đó , 1,2, , j p j k= là các số nguyên tố, đôi một khác nhau và j α là các số nguyên. Các số nguyên j α được gọi là chỉ số lũy thừa của số nguyên tố j p có mặt trong sự phân tích trên của số hữu tỷ x. Giả sử p là một số nguyên tố Kí hiệu , 1,2, , ,or 0 j p j p ord x j k d x α = = = nếu j p p≠ . Đặt ord p x p p x− = nếu 0x ≠ và 0 0 p = . 1.1.2.1. Mệnh đề Hàm . p xác định như trên là một hàm giá trị tuyệt đối phi Ácsimét, trong đó p là một số nguyên tố bất kỳ. Chứng minh. Hai tính chất đầu của định nghĩa được nghiệm đúng một cách dễ dàng. Ta chứng minh tính chất còn lại. { } ax , .x y m x y+ ≤ Thật vậy, giả sử , b c x y a d = = , khi đó ( ) { } { } { } or ( ) or or or ( ) min or ( ),or ( ) or ( ) min or ( ) or ( ),or ( ) or ( ) min or or ,or or p p p p p p p p p p p p p p p ad bc d x y d d ad bc d bd bd d ad d bc d bd d ad d bd d bc d bd d a d b d c d d +   + = = + −  ÷   ≥ − = − − = − − 9 (vì dễ thấy or ( ) or or p p p d ab d a d b= + ) = { } min or ,or p p d x d y . Khi đó với mọi , : ( ) 0x y xy x y+ ≠ . Chúng ta có: { } { } or ( ) ax or , or ax , . p p p d x x y p m d x d y p p x y p p m x y − + − − + = ≤ = Mệnh đề được chứng minh. Người ta gọi . p là giá trị tuyệt đối p – adic. 1.1.2.2. Nhận xét Trên trường số hữu tỷ ¤ , ngoài giá trị tuyệt đối tầm thường và giá trị tuyệt đối thông thường . . ∞ = , chúng ta đã chỉ ra một họ các giá trị tuyệt đối p – adic. Vấn đề đặt ra là trên ¤ có tồn tại các giá trị tuyệt đối khác nữa hay không ? Định lý Ostrowski sẽ trả lời cho câu hỏi đó. 1.1.2.3. Định lý (Ostrowski) Mọi giá trị tuyệt đối không tầm thường trên ¤ đều tương đương (hay phụ thuộc) với giá trị tuyệt đối p – adic, trong đó p là số nguyên tố bất kỳ, hoặc p = ∞ . 1.2. Xây dựng trường số hữu tỷ p-adic p ¤ . 1.2.1. Dãy Cauchy (dãy cơ bản) Giả sử p là một số nguyên tố cố định. Dãy { } n x các số hữu tỷ được gọi là dãy cơ bản theo giá trị tuyệt đối p – adic . p nếu với mọi 0 ε > , luôn tồn tại số tự nhiên 0 n sao cho với mọi 0 ,m n n> ta có: m n x x ε − < . 10 1.2.2. Quan hệ tương đương Gọi X là tập hợp các dãy cơ bản các số hữu tỷ theo giá trị tuyệt đối p – adic . p . Ta xác định một quan hệ hai ngôi trên X như sau: { } { } ; lim 0. n j j j j a a X b b X a b a b →∞ = ∈ = ∈ ⇔ − =: Rõ ràng " ": là quan hệ tương đương trên X. Đặt { } { } / , p j X a a= = =¤ : trong đó { } : 0 . lim j j j j a b X a b →∞   = ∈ − =     Đặc biệt, với x∈¤ ta kí hiệu { } x là dãy Cauchy hằng và { } { } 'x x: khi và chỉ khi 'x x= . Giá trị tuyệt đối trên p ¤ được cảm sinh bởi giá trị tuyệt đối p – adic . p trên ¤ . Nếu { } j a a= , ta định nghĩa lim j p p j a a →∞ = , trong đó { } j a là phần tử đại diện của lớp tương đương .a Mệnh đề sau đây khẳng định rằng định nghĩa giá trị tuyệt đối trên p ¤ như trên là hợp lý. 1.2.3. Mệnh đề Tồn tại giới hạn của dãy { } j p a trong đó { } j a là dãy cơ bản các số hữu tỷ. 1.2.4. Phép toán trên p ¤ Giả sử { } j a a= , { } j b b= ∈ p ¤ . Ta xây dựng hai phép toán sau: [...]... m,n sao cho mb + np j = 1 t = am Chỳng ta cú: x p = am a b = x p np j np j p = p a b p bm 1 p p p j Mt khỏc t nh lý v ph p chia cú d ta cú: = kp j + r , 0 r < p j { j j Khi ú r x p = kp x p max x p , kp p }p j 12 j Vy s nguyờn cú th chn trong tp { 0,1, 2, , p 1} B c chng minh nh lý sau õy lm c s cho vic xỏc nh cỏc s nguyờn p adic 1.2.8 nh lý Vi mi lp tng ng a Ô p : a 1 , cú ỳng...  p = a  p :  p l nhúm nhõn cỏc phn t kh nghch Cỏc phn t a * ca  p cũn gi l cỏc phn t n v (hay phn t kh nghch) ca vnh  p Kt qu sau õy cho chỳng ta du hiu nhn bit mt s nguyờn p - adic l n v 1.2.11 Mnh S nguyờn p - adic a  p l n v khi v ch khi a0 0(mod p ) , trong 2 k ú a = a0 + a1 p + a2 p + + ak p + , 0 a j < p, j Ơ 1.2.12 H qu 14 Mi s p - adic cú dng = p m , trong ú m  , l phn... adic a Ô p Chỳng ta t  thuc Ô p = { a Ô p : a 1} , rừ rng  p l tp hp tt c cỏc s m trong biu thc xỏc nh chỳng khụng cha ly tha õm ca s p nguyờn t p Mi phn t ca  a p p c gi l s nguyờn p - adic Vy a = a0 + a1 p + a2 p 2 + + ak p k + , 0 a j < p , j v a = a j p j suy ra a p = p m , trong ú m = min { j : a j 0} j =0 Chỳng ta d dng chng minh c kt qu sau 1.2.10 Mnh  p l vnh con ca Ô p , khụng... h mt s tớnh cht cao ca hm phõn hỡnh p- adic cng nh cỏc tớnh cht trờn trng cỏc s phc p- adic C th l lun vn ó hon thnh c nhng vic sau: 1 H thng mt s khỏi nim, kt qu ca trng s hu t Ô , s hu t padic Ô p 2 Trỡnh by mi liờn h gia a giỏc nh giỏ, cao ca chui ly tha, hm chnh hỡnh v hm phõn hỡnh (Mc 2.1, 2.2, 2.3, 2.4) 3 Trỡnh by chi tit ph p chng minh mt s tớnh cht cao ca hm phõn hỡnh p- adic (Mc 2.5.1, 2.5.4,... ,t , h f ,t tng ng l cao phi, cao trỏi v cao a phng ca hm chnh hỡnh p adic ti t = v ( z ) = log p z p 24 2.3.2 nh ngha cao ton phn (hay cao) ca hm chnh hỡnh f ( z ) c xỏc nh bi h thc: h( , t ) = min { v( an ) + nt} Vớ d Xột hm zn f ( z ) = log(1 + z ) = (1) n n =1 n Khi ú nh ó thy trong phn trc, ta cú 1 = t k = kt , 1 < k < p p = pt 1 k = kt , p < k < p 2 p 2 = p 2t 2 tk = 1 l cỏc im... jb j 1.2.5 Mnh Cỏc ph p toỏn trờn khụng ph thuc vo phn t i din 1.2.6 nh lý Ô p cựng hai ph p toỏn c xõy dng nh trờn lp thnh mt trng gi l trng cỏc s hu t p- adic v Ô p l trng m rng ca trng cỏc s hu t Ô 1.2.7 B Nu x Ô v x p 1 , vi mi j luụn tn ti s nguyờn sao cho: x p p j , j trong ú s nguyờn cú th chn trong tp { 0,1,2, , p 1} a j l phõn s ti gin, vỡ x p 1 nờn ( b, p ) = 1, khi ú b Chng... cú nh lý sau: 1.3.1 nh lý Ô p l trng khụng y 1.3.2 nh lý 15 Ê p l trng úng i s 1.3.3 nh lý i Ê p úng i s v y ii Ê p l Ô p - khụng gian vect vụ hn chiu iii Ê p khụng compact a phng iv Ê p tỏch c v Trng cỏc lp thng d ca Ê p l trng úng i s ca trng cú p phn t vi Nhúm giỏ tr ca Ê p l compact 16 Chng 2 MT S TNH CHT CAO CUA HAM PHN HINH P ADIC 2.1 a giỏc nh giỏ Gi s f l hm chnh hỡnh trong A[ r1 , r2 ]... ca hm f ( z ) Chỳng ta cú: h( f , t0 ) = log p f (0) p , h( f , t ) = log p f ( z ) p , + vi t = v( z ), h f ,t0 = 0, t 0 h f ,0 h f ,t = a log p a p , trong ú tng c ly trờn >t > D 0 r { } t mi khụng im a ca f ( z ) trong a z C p : z p < p Bi vy cụng thc cú th vit di dng: log p f ( z ) p log p f (0) p = log aDr p a p Nhc li rng Cụng thc Poisson-Jensen c in cú dng: 1 2 2 log 0 f (ei ) d log... a j p , j ' thun li trong trỡnh by, chỳng ta vit a j trong h m c s p, ngha l: a 'j = b0 + b1 p + + b j 1 p j 1 , trong ú b j l cỏc ch s, 0 bi < p, i = 1,2, , j 1 v a 'j +1 = b0 + b1 p + + b j 1 p j 1 + b j p j Nh vy vi mi a Ô p u cú dng: 13 a= b m b m+1 + m1 + + b0 + b1 p + b2 p 2 + (*) m p p trong ú b j l cỏc ch s, b j { 0,1, , p 1} Biu thc (*) c gi l biu din chớnh tc ca s hu t p - adic. .. phi csimột, Nh xut bn i hc Vinh Ting Anh [2] W.W.Adam and E G Straus (1971), Non-Archimedean analytic functions taking the same Values at the same points, Illinois J Math 15, 418 - 424 [3] Ha Huy Khoai (1992), Heights for p adic meromorphic functions and value distribution theory Vietnam J Math, V.20, No.1, pp: 14 29 [4] Ha Huy Khoai (1993), Heights for p adic holomorphic functions and value applications . số hữu tỷ p- adic p ¤ 7 1.3. Mở rộng đóng đại số đầy đủ p £ của trường các số p ¤ 12 Chương 2. MỘT SỐ TÍNH CHẤT ĐỘ CAO CỦA HÀM PHÂN HÌNH P – ADIC 14 2.1. Đa giác định giá 14 2.2. Độ cao. p ¤ để làm cơ sở cho việc trình bày chương sau. Chương 2. Một số tính chất độ cao của hàm phân hình p- adic Trong chương này chúng tôi trình bày độ cao của chuỗi lũy thừa, hàm chỉnh hình, hàm. LÝ MỘT SỐ TÍNH CHẤT ĐỘ CAO CỦA HÀM PHÂN HÌNH P - ADIC LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Nghệ An – 2014 2 MỤC LỤC MỞ ĐẦU 1 Chương 1. TRƯỜNG CÁC SỐ PHỨC P- ADIC 3 1.1. Giá trị tuyệt đối trên trường số