ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ φ φ φ φ ϕ ϕ 0 ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ 0 0 ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ 0 0 ϕ ϕ X d : X × X → R X d(x, y) ≥ 0 x, y ∈ X d (x, y) = 0 x = y d (x, y) = d (y, x) x, y ∈ X d (x, z) ≤ d (x, y) + d (y, z) x, y, z ∈ X X d (X, d) X (X, d) x i ∈ X, i = 1, 2, . . . , n d(x 1 , x n ) ≤ d(x 1 , x 2 ) + d(x 2 , x 3 ) + · · · + d(x n−1 , x n ). {x n } (X, d) x ∈ X x n → x lim n→∞ x n = x d (x, x n ) → 0 n → ∞ (X, d) {x n } ⊂ X x n → x x n → y x = y {x n }, {y n } X x n → x, y n → y d (x n , y n ) → d (x, y) X {x n } X ε > 0 n 0 ∈ N n, m ≥ n 0 d (x n , x m ) < ε (X, d) X (X, d) (Y, ρ) f : X → Y X Y 0 ≤ k < 1 x, y ∈ X ρ (f(x), f(y)) ≤ k.d (x, y) k ∈ [0, 1) f X (X, d) f : X → X X x ∗ ∈ X f (x ∗ ) = x ∗ x ∗ ∈ X f (x ∗ ) = x ∗ f f F f X p : X ×X → [0, +∞) p (x, y) = p (y, x) p (x, x) = p (x, y) = p (y, y) x = y p (x, x) ≤ p (x, y) p (x, z) ≤ p (x, y) + p (y, z) − p (y, y) x, y, z ∈ X (X, p) p X τ p X {B p (x, ε) : x ∈ X, ε > 0} B p (x, ε) = {y ∈ X : p (x, y) < p (x, x) + ε} x ∈ X ε > 0 (X, p) {x n } ⊂ X x ∈ X lim n→∞ p(x, x n ) = p(x, x) {x n } (X, p) lim n,m→∞ p(x n , x m ) (X, p) {x n } X τ p x ∈ X lim n,m→∞ p(x n , x m ) = p(x, x) f : X → X x 0 ∈ X ε > 0 δ > 0 f(B p (x 0 , δ)) ⊂ B p (f(x 0 ), ) f : X → X X f x ∈ X (X, p) {x n } (X, p) 0 lim n,m→∞ p(x n , x m ) = 0 (X, p) 0 0 X τ p x ∈ X p(x, x) = 0 (X, p) {x n } ⊂ X x n → x ∈ X p(x, x) = 0 lim n→∞ p(x n , z) = p(x, z) z ∈ X z ∈ X p(x, z) − p(x n , x) ≤ p(x n , z) ≤ p(x, z) + p(x n , x). n → ∞ x n → x ∈ X p (x, x) lim n→∞ p(x n , z) = p(x, z)  X m f : X → X X {X i } m i=1 X X f X = m  i=1 X i X i = φ i = 1, . . . , m f (X 1 ) ⊂ X 2 , f (X 2 ) ⊂ X 3 , . . . , f (X m−1 ) ⊂ X m , f (X m ) ⊂ X 1 ϕ : R + → R + ϕ ϕ t 1 , t 2 ∈ R + t 1 ≤ t 2 ϕ (t 1 ) ≤ ϕ (t 2 ) ϕ {ϕ n (t)} n∈N 0 n → +∞ t ∈ R + (X, d) ϕ : R + → R + f : X → X ϕ d(f(x), f(y)) ≤ ϕ(d(x, y)) x, y ∈ X. (X, d) m A 1 , A 2 , , A m , A m+1 X A 1 = A m+1 Y = m  i=1 A i f : Y → Y {A i } m i=1 Y f ϕ : R + → R + d (f (x) , f (y)) ≤ ϕ (d (x, y)) (1.1) x ∈ A i y ∈ A i+1 f ϕ ϕ : R + → R + ϕ ϕ ϕ k 0 ∈ N α ∈ (0, 1) ∞  k=1 v k ϕ k+1 (t) ≤ αϕ k (t) + v k (1.2) k ≥ k 0 t ∈ R + [...]... Picard, phép 0- 0-đầy đủ, -co, phép -co cyclic, ánh xạ co yếu, phép -co yếu cyclic, phép -co yếu cyclic trong không gian mêtric riêng 2 Trình bày một số định lý điểm bất động của các phép -co cyclic với là hàm (c)-so sánh, một số kết quả về tính chất của dãy Picard đối với phép -co cyclic với là hàm (c)-so sánh, tính chất giới hạn của dãy điểm bất động của dãy phép -co điểm bất động của các phép cyclic. .. điểm bất động x của f 18 Lại Cuối cùng nhờ điều kiện (iii) và (iv) trong giả thiết ta dễ dàng chứng minh rằng dãy trong không gian mêtric (X, ) hội tụ chương 2 Điểm bất động của các phép -co yếu cyclic Trong chương 2 chúng tôi trình bày một số định lý về điểm bất động của các phép -co yếu cyclic và một số định lý về điểm bất động của các phép -co yếu cyclic trong không gian mêtric riêng Điểm bất động. .. Giới thiệu một số định lý -co yếu cyclic trong không gian mêtric, một số định lý điểm bất động của các phép -co yếu cyclic trong không gian mêtric riêng 3 Chứng minh chi tiết một số tính chất của các khái niệm được giới thiệu và một số định lý mà trong các tài liệu tham khảo chưa chứng minh hoặc chứng minh còn vắn tắt chẳng hạn như Định lý 1.2.3, Định lý 1.2.10, Định lý 2.1.7, Bổ đề 2.2.3, Định lý 2.2.6,... thế z {f n+1 (x0 )} (Y, d) Nhờ là điểm bất động f Chứng minh tương tự như trong Định lý 2.1.6 nhờ giả thiết (5) ta suy ra điểm bất động z là duy nhất 23 2.2 Một số định lý về sự tồn tại duy nhất điểm bất động đối với các phép -co yếu cyclic trong không gian mêtric riêng 2.2.1 ([2]) Cho không gian mêtric riêng Định nghĩa (X, p), m là số nguyên A1 , A2 , , Am là các tập con đóng khác rỗng của X , Am+1... của Y (b) p (x, y) (x, y), với mọi x, y Y (c) (Y, p) là không gian mêtric riêng 0-đầy đủ (d) f : (Y, p) (Y, p) liên tục (e) f : (Y, ) (Y, ) là phép -co yếu cyclic với Khi đó f có duy nhất một điểm bất động 31 đối với f; Kết luận Sau một thời gian tập trung nghiên cứu và tham khảo nhiều tài liệu khác nhau, về đề tài: Một số định lý điểm bất động đối với các phép -co, dưới sự hướng dẫn tận tình,... f có duy nhất một điểm bất động Tương tự như Định lý 2.1.7, khi xét các phép gian mêtric riêng, với 2.2.10 Định lý -co cyclic cho các không ta có kết quả sau ([2]) Cho X là tập khác rỗng, p và là hai mêtric riêng trên X , m là số nguyên dương, A1 , A2 , , Am là các tập con đóng khác rỗng của m (X, p), Y = Aj và ánh xạ f : Y Y Giả sử rằng j=1 30 (a) A1 , A2 , , Am là một biểu diễn cyclic của Y... có một điểm bất động duy nhất 2.1.3 Định nghĩa dương, và ([7]) Cho A1 , A2 , , Am m Y = Ai i=1 (X, d) là không gian mêtric, là các tập con đóng khác rỗng của ánh xạ f :Y Y từ Y vào Y m là số nguyên X , Am+1 = A1 được gọi là phép -co yếu cyclic nếu thỏa mãn các điều kiện sau 1) {Ai }m là một biểu diễn cyclic của Y i=1 2) Tồn tại hàm liên tục, không giảm đối với f : [0, ) [0, ) sao cho (t) > 0 với. .. |f (x) f (y)| = | Vậy 2.1.6 f là phép Định lý -co yếu cyclic ([7]) Cho (X, d) là không gian mêtric đầy đủ, m là số nguyên m dương, A1 , A2 , , Am là các tập con đóng khác rỗng của X và Y = Ai i=1 Giả sử rằng m z f là - co yếu cyclic Khi đó f Ai i=1 20 có duy nhất một điểm bất động m Chứng minh Lấy x0 Y = Ai và đặt xn+1 = f (xn ) với mọi n 0 i=1 Lưu ý rằng, với bất kỳ và n 0 luôn tồn tại in {1,... hàm là ánh xạ từ Y vào Y Giả thiết rằng {Ai }m là một biểu diễn cyclic của Y i=1 (i) f (ii) là là một phép đối với f -co cyclic Khi đó (1) f có một điểm bất động duy nhất x dãy Picard (2) {xn }n0 hội tụ về x m Ai và với bất kỳ x0 Y i=1 Các đánh giá sau đây là đúng d(xn , x ) s(n (d(x0 , x1 ))), n 1 d(xn , x ) s(n (d(xn , xn+1 ))), n 1 (3) Với bất kỳ (2.1) (2.2) yY ta có d(x, x ) s(n (d(x, f... = Tz wY và z là điểm bất động của là điểm bất động của f f Khi đó, vì f nên từ bất đẳng (4.1) ta có p(z, w) = p(f (z), f (w)) p(z, w) (p(z, w)) 28 là phép -co Từ bất đẳng thức này ta suy ra (p(z, w)) = 0, điều này kéo theo p(z, w) = 0 Từ điều kiện của mêtric riêng ta suy ra z = w Vì vậy f có một điểm bất động duy nhất Định lý 2.2.7 ([2]) Cho (X, p) là không gian mêtric riêng, m là số nguyên m A1