1 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH NGUYỄN THỊ XUÂN TRÚC ĐỊNH LÝ DARBOUX - MOSER VÀ ỨNG DỤNG 2 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGHỆ AN, 2013 3 LỜI CẢM ƠN Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn khoa học của TS. Ngô Đình Quốc. Tôi xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc tới Thầy – người đã từng bước hướng dẫn tôi phương pháp nghiên cứu đề tài cùng những kinh nghiệm thực hiện đề tài, truyền đạt những kiến thức quý báu, cung cấp nhiều tài liệu quý trong và ngoài nước, giảng giải và chỉ dẫn tận tình,đầy trách nhiệm trong suốt quá trình thực hiện luận văn. Hơn nữa, Thầy đã dành nhiều thời gian và công sức để đọc và chỉnh sửa luận văn cho tôi. Tôi xin chân thành cảm ơn Ban Giám Hiệu, quý Thầy Cô của khoa Toán Trường Đại học Vinh. Đặc biệt là quý Thầy Cô tổ Hình học, Thầy Cô giảng dạy lớp cao học khóa 19 trường Đại Học Vinh đã giúp đỡ tôi nâng cao trình độ chuyên môn và phương pháp làm việc hiệu quả trong suốt quá trình học Cao học. Chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, phòng Tổ chức hành chính, phòng sau đại học, phòng Kế hoạch – Tài chính Trường Đại học Đồng Tháp, Ban giám hiệu trường THPT Tầm Vu 2, Quốc lộ 1A, Thị trấn Cái Tắc Tỉnh Hậu Giang cùng toàn thể quý đồng nghiệp, bạn bè, gia đình đã động viên, giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi cho tôi hoàn thành luận văn này. Hậu Giang, ngày 01 tháng 7 năm 2013 Học viên thực hiện Nguyễn Thị Xuân Trúc 4 MỤC LỤC Trang Trang phụ bìa 1 Lời cảm ơn 2 Mục lục 3 Danh mục các ký hiệu 4 MỞ ĐẦU 5 NỘI DUNG Chương 1: Kiến thức chuẩn bị 7 1.1. Đa tạp symplectic 7 1.2. Các khái niệm chuẩn bị cho bài toán địa phương 9 1.3. Lý thuyết Moser 24 Chương 2: Định lý Darboux - Moser và ứng dụng 30 2.1. Định lý Darboux cổ điển 30 2.2. Không gian con Lagrang 30 2.3. Định lý lân cận Weinstein Lagrang 32 2.4. Một số ứng dụng của định lý 35 2.4.1. Ứng dụng 1 35 2.4.2. Ứng dụng 2 38 KẾT LUẬN 40 TÀI LIỆU THAM KHẢO 41 DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU 5 Ký hiệu Giải thích các ký hiệu ( ) C M ∞ Không gian các hàm khả vi vô hạn lần trên đa tạp M. ( ) s dR H M Nhóm đối đồng điều de Rham thứ s trên đa tạp M. ( ) Diff M Nhóm các phép vi phôi trên đa tạp M. ( ) ,Sympl M ω Nhóm các đồng cấu symplectic trên đa tạp M. ( ) sympl M χ Tập các trường véctơ symplectic trên đa tạp M. ( ) k MΩ Không gian các k- dạng vi phân trên M 6 MỞ ĐẦU Hai thế kỉ trước, hình học symplectic được giới thiệu với thuật ngữ của cơ học cổ điển. Trong suốt 20 năm gần đây, sự phát triển mạnh mẽ của hình học symplectic làm cho nó trở thành một lĩnh vực độc lập, như một ngành trung tâm của hình học vi phân và tôpô. Hình học vi phân là một mở rộng tự nhiên của phép tính vô cùng bé. Trong thực tế vi phân được xem như việc dựng các đường thẳng tiếp xúc của một đường cong và tích phân là việc nghiên cứu diện tích và thể tích. Hiển nhiên rằng trong các công việc của Newton, Leibnitz, và anh em của Bernoulli người ta tìm thấy các phép tính vi phân và tích phân là công cụ hiệu quả trong việc giải quyết các vấn đề hình học và vật lý. Hình học vi phân cổ điển bắt đầu bằng việc mô tả lý thuyết siêu mặt của Euler và Monge. Sau đó các ông đã viết thành quyển sách đầu tiên của hình học vi phân. Hình học symplectic là một mảng của hình học vi phân hiện đại, nghiên cứu các tính chất hình học của đa tạp symplectic. Xuất phát từ dạng chính tắc của dạng song tuyến tính phản đối xứng trên không gian véctơ V cụ thể là: Cho V là một không gian véctơ m − chiều trên ¡ và ánh xạ :V VΩ × → ¡ là một ánh xạ song tuyến tính. Ánh xạ :V VΩ × → ¡ được gọi là song tuyến tính phản đối xứng nếu ( ) ( ) , , , ,u v v u u v VΩ = −Ω ∀ ∈ . Câu hỏi đặt ra là có tìm được một cơ sở thích hợp trong V để dạng song tuyến tính phản đối xứng :V VΩ × → ¡ có dạng chuẩn không? 7 Câu trả lời là có, đó là định lý Darboux sau đây: Cho :V VΩ × → ¡ là một dạng song tuyến tính phản đối xứng trên V , thì trong V tồn tại một cơ sở 1 2 1 2 1 2 , , , , , , , , , , , k n n u u u e e e f f f sao cho: ( ) ( ) ( ) ( ) ij , 0, , , 0 , , , , , , i i j i j i j u v i v V e e f f i j e f i j δ Ω = ∀ ∀ ∈ Ω = = Ω ∀ Ω = ∀ Và khi đó dạng của :V VΩ × → ¡ là: ( ) [ ] 0 0 0 | , 0 0 0 0 | u v u Id v Id     ÷   Ω = − −  ÷    ÷   −    Khi thay V bởi đa tạp symplectic thì có tồn tại cơ sở như trên để dạng song tuyến tính phản đối xứng :V V Ω × → ¡ có dạng trên không? Để trả lời câu hỏi đó chúng tôi chọn đề tài với tên “ Định lý Darboux- Moser và ứng dụng”. • Trình bày sơ lược về đa tạp symplectic; các khái niệm chuẩn bị cho bài toán địa phương; sơ lược về lí thuyết Moser. • Trình bày định lý Darboux cổ điển; Không gian con Lagrang; nêu một số ứng dụng của lý thuyết Darboux – Moser. • Luận văn chỉ nghiên cứu địa phương mô tả dạng chuẩn của dạng symplectic trong lân cận một điểm trên đa tạp symplectic. • Các phương pháp nghiên cứu toán học lí thuyết. • Các phương pháp của hình học vi phân như lí thuyết Moser, lí thuyết đồng luân… 8 CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1. Đa tạp Symplectic 1.1.1. Định nghĩa ánh xạ song tuyến tính phản đối xứng [4, tr.17] Cho V là không gian vectơ n- chiều trên trường số thực ¡ , ánh xạ song tuyến tính :V VΩ × → ¡ được gọi là ánh xạ song tuyến tính phản đối xứng nếu ( ) ( ) , ,x y y x Ω = −Ω với mọi , . ∈ x y V 1.1.2. Định nghĩa cấu trúc Symplectic [4, tr.18] Cho V là không gian vectơ n- chiều trên trường số thực ¡ ,V* là không gian đối ngẫu của nó, Ω là một dạng song tuyến tính phản đối xứng trên V khi đó ánh xạ ( ) : *,V V u uΩ → Ω % % a xác định bởi ( ) ( ) ( ) ,u v u vΩ = Ω % là một ánh xạ tuyến tính. Khi Ω % là song ánh thì Ω được gọi là dạng symplectic trên V . Định nghĩa. Cặp ( ) ,V Ω được gọi là một không gian vectơ symplectic nếu Ω là dạng symplectic . 1.1.3. Dạng Symplectic trên đa tạp [4, tr.18] Định nghĩa. Cho M là đa tạp trơn 2n- chiều. 2- dạng vi phân ω thỏa mãn ω đóng và p ω không suy biến với mọi p ∈ M được gọi là dạng symplectic. 9 Ví dụ. Trong mặt phẳng 2 ¡ với hệ trục tọa độ Descartes vuông góc Oxy nếu lấy dx dy ω = ∧ thì ω là 2 - dạng vi phân trên U . Khi đó ω là một dạng symplectic. Thật vậy  Ta có: ( ) 0d d dx dy ω = ∧ =  Ta kiểm tra tính suy biến của p ω với mọi p ∈ M = 2 ¡ . Ta viết ( ) X ω thay cho ( ) ( ) p X p ω - Tính đơn ánh. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , , , 0 dx dy X dx dy Y dx dy X V dx dy Y V dx dy X Y V ∧ = ∧ ⇔ ∧ = ∧ ⇔ ∧ − = Với , ,X Y V là các trường vectơ trơn trên M . Chọn V y ∂ = ∂ ta suy ra được ( ) 0dx X Y − = Chọn V x ∂ = ∂ ta suy ra được ( ) 0dy X Y− = Giả sử X Y f g x y ∂ ∂ − = + ∂ ∂ thì ta suy ra ( ) ( ) 0 và 0dx X Y f dy X Y g= − = = − = . Do đó 0X Y X Y− = ⇔ = . - Tính toàn ánh. Lấy tùy ý *T M θ ∈ thì θ có biểu diễn duy nhất dưới dạng 10 ét dx dy fdx gdy x y X X g f x x θ θ θ   ∂ ∂   = + = +  ÷  ÷ ∂ ∂     ∂ ∂ = − ∂ ∂ ( ) ( ) ( ) Ta có ( ) . dx dy X dx X dy dy X dx gdy f dx fdx gdy ∧ = − = − − = + 1.1.4. Định nghĩa đa tạp Symplectic [4, tr.22] Đa tạp symplectic là một cặp ( ) ,M ω , trong đó M là đa tạp trơn 2n – chiều và ω là dạng symplectic trên đa tạp M . Ví dụ. Xét đa tạp trơn 2- chiều 2 M = ¡ và hệ tọa độ tuyến tính trong nó, N là đa tạp con của M , :f N M→ là vi phôi, với dx dy ω = ∧ là dạng symplectic khi đó ( ) ,M ω là một đa tạp symplectic. Thật vậy  Với mỗi ( ) :p N q M f q p∈ ⇒ ∃ ∈ = . Do đó M là đa tạp trơn nên tồn tại lân cận mở U của q trong M vi phôi với tập mở ( ) n U ϕ ⊂ ¡ . Khi đó ( ) f U cũng mở trong N và ( ) f U vi phôi với ( ) U ϕ mở trong n ¡ . Thật vậy, vì ϕ và f là vi phôi nên ( ) ( ) 1 : n f f U U ϕ ϕ − → ⊂ o ¡ là vi phôi. [...]... *ω1  = [ ω0 ]   - Nếu [ ω0 ] = [ ω1 ] ϕ * ω1 = ω0 ? thì có tồn tại một vi phôi ϕ đồng luân với idM sao cho 34 Moser đã chứng minh rằng câu trả lời là đúng nhưng phải thêm một giả thiết nữa là định lý sau Trong trường hợp tổng quát McDuff , chỉ ra câu trả lời là sai 1.3.2.2 Định lý (Định lý Moser - phiên bản I ) [5, tr.4 3-4 4] Giả sử rằng ωt = ( 1 − t ) ω0 + tω1 [ω0] =[ω1] và 2- dạng tồn tại một ánh... ( Moser Trick ) [5, tr.42] Bài toán Cho lân cận của X M là một đa tạp 2n-chiều, X là một đa tạp con k- chiều, các , và các dạng symplectic ω0, ω1 trên tồn tại một đẳng cấu 33 symplectic mà X bất biến không? Một cách chính xác hơn, có tồn tại một vi phôi với ϕ * ω1 = ω0 mà ϕ ( X ) = X ? Tại hai cực trị, chúng ta có: Trường hợp Trường hợp X là một điểm: Định lý Darboux đã chỉ ra X =M : Định lý Moser- ... tồn tại 1- dạng µ sao cho ω1 − ω0 = d µ ( 2) Thứ ba, theo công thức ma thuật Cartan, ta có Thế (1), (2), (3) vào (*), ta được: dιυtωt+dµ=0 ⇔ d (ιυtωt+µ) =0 Do đó, ta chỉ cần giải phương trình Moser : ιυtωt+µ=0 Theo tính chất không suy biến ωt, ta tìm duy nhất trường vectơ trơn υt 1.3.2.3 Định lý (Định lý Moser- phiên bản II ) [5, tr.44 - 45] Cho đa tạp compact với hai dạng symplectic ω0 và ω1 Giả... theo v , và chúng ta sử dụng công thức ma thuật Cartan (Cartan magic formula): Bây giờ khi ta có kết quả sau Và từ định lý cơ bản của phép tính vi phân : 1 Qdω + dQω = ∫ 0 d * * ρt ω dt = ρ1*ω − ρ 0ω dt Lý thuyết Moser 1.3.1 Khái niệm tương đương các cấu trúc symplectic [5, tr.42] 1.3 Cho M là một đa tạp 2n- chiều với hai dạng symplectic ( M , ω0 ) và ( M , ω1 ) là hai đa tạp symplectic Định nghĩa... Một lân cận của nhát cắt không với mỗi thớ là lồi Định lý Tồn tại một lân cận lồi của X trong M , có hạng n-k dưới là n- chiều Nhát cắt không của như đa tạp con đóng của được gọi là lồi nếu giao X là NX , một lân cận lồi của X trong , và một vi phôi sao cho giao hoán Sơ lược chứng minh  Trường hợp M =¡ n , và X là đa tạp con compact của ¡ n Định lý ( - lân cận) Cho là tập hợp các điểm ở khoảng cách... hợp Trường hợp X là một điểm: Định lý Darboux đã chỉ ra X =M : Định lý Moser- sau đây: 1.3.2.1 Định lý Moser [5, tr.42 - 43] Cho M là một đa tạp compact với các dạng symplectic ω0 và ω1 ( M , ω0 ) và ( M , ω1 ) - có đẳng cấu symplectic hay không ? Nghĩa là có tồn tại một vi phôi ϕ:M → M với ϕ1*ω0 = ω1 ? Moser nói rằng khi chúng ta có thể tìm được ϕ đồng luân với idM Điều kiện cần là [ω0] =[ω1]∈ H2... 1.2.5 y =t Định lý lân cận ống Cho M là một đa tạp n- chiều, và X là một đa tạp con k - chiều với k < n và ánh xạ nhúng chìm Tại mỗi x∈ X , không gian tiếp xúc với con của không gian tiếp xúc với M X được xem như là không gian ánh xạ tuyến tính bao hàm ,nơi chúng tôi 26 biểu thị x = i ( x) Tập thương N x X := Tx M / Tx X chiều đó là không gian chuẩn tắc với X là không gian vectơ (n-k) - x tại Phân... nhất thức trên Chứng minh biểu đồ cho ε đủ nhỏ, ánh xạ exp NX X ε vi phôi với , và chứng tỏ rằng giao hoán  Trường hợp X là đa tạp con compact của một đa tạp tùy ý Đặt một metric Riemann g trên Riemann giữa p, q ∈ M { M và để cho d ( p, q ) = p∈¡ : p − q < ε ,q∈ X } là khoảng cách ε-lân cận của đa tạp con compac n M X là 28 Chứng minh ε - lân cận trên tập này: với ε đủ nhỏ, khẳng định sau đúng Bất... khẳng định sau đúng Bất kỳ p∈ có duy nhất điểm - q∈ X d ( p, q ) với nhỏ nhất Đặt q = π ( p) p Ánh xạ là ngập và, với mọi - trắc địa γ nối từ p đến q = π ( p) X Không gian chuẩn tắc của - của Tx M : ∈ , tồn tại duy nhất một đường cong tại x∈ X đồng nhất với không gian con { N x X ; v ∈ Tx M |g x ( v ,ω ) = 0, ω ∈ Tx X NX ε = Đặt Xác định exp : - γ ( 0 ) = x và  { ( x, v ) ∈ NX | NX ε → M g x ( v, v )... tại họ một tham số của vi phôi địa phương ρt thỏa mãn 25 d ρt = vt oρt dt và ρ0 = id vt Do đó, chúng ta nói rằng đạo hàm Lie xác định bởi : Ωk ( M ) → Ωk ( M ) Định lý Cho một tập hợp trơn là ω := được định nghĩa bởi ωt , t ∈ ¡ d ( exp tv ) * ω |t =0 dt , của d- dạng, chúng ta có dω  d *  ρt ωt = ρt*  Lvt ωt + t ÷ dt dt   Chứng minh f ( x, y ) Nếu là hàm thực của hai biến, bằng chuỗi qui tắc chúng . 9 1.3. Lý thuyết Moser 24 Chương 2: Định lý Darboux - Moser và ứng dụng 30 2.1. Định lý Darboux cổ điển 30 2.2. Không gian con Lagrang 30 2.3. Định lý lân cận Weinstein Lagrang 32 2.4. Một số ứng dụng. 1 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH NGUYỄN THỊ XUÂN TRÚC ĐỊNH LÝ DARBOUX - MOSER VÀ ỨNG DỤNG 2 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGHỆ AN, 2013 3 LỜI CẢM. để dạng song tuyến tính phản đối xứng :V V Ω × → ¡ có dạng trên không? Để trả lời câu hỏi đó chúng tôi chọn đề tài với tên “ Định lý Darboux- Moser và ứng dụng . • Trình bày sơ lược về đa tạp