Đang tải... (xem toàn văn)
Giải Tích Toán Học Tập 1 Chương 6 Tích Phân Xác Định tài liệu, giáo án, bài giảng , luận văn, luận án, đồ án, bài tập lớ...
1 1 Giải tích toán học. Tập 1. NXB Đại học quốc gia Hà Nội 2007. Từ khoá: Giải tích toán học, giải tích, Tích phân xác định, tích phân, Tổng Darbox Điều kiện khả tích, Hàm khả tích, Diện tích, thể tích, Tích phân suy rộng. Tài liệu trong Thư viện điện tử ĐH Khoa học Tự nhiên có thể được sử dụng cho mục đích học tập và nghiên cứu cá nhân. Nghiêm cấm mọi hình thức sao chép, in ấn phục vụ các mục đích khác nếu không được sự chấp thuận của nhà xuất bản và tác giả. Mục lục Chương 6 Tích phân xác định 3 6.1 Định nghĩa tích phân xác định 3 6.1.1 Bài toán diện tích hình thang cong 3 6.1.2 Bài toán tính khối lượng 4 6.1.3 Định nghĩa tích phân xác định 4 6.1.4 Ý nghĩa hình học của tích phân xác định 6 6.2 Điều kiện khả tích 6 6.2.1 Điều kiện cần để hàm khả tích 6 6.2.2 Các tổng Darboux 7 6.2.3 Các tính chất của tổng tích phân Darboux 7 6.2.4 Dấu hiệu tồn tại của tích phân xác định 9 6.3 Các lớp hàm khả tích 10 6.4 Các tính chất cơ bản của tích phân 12 6.4.1 Các tính chất của tích phân xác định 12 Chương 6. Tích phân xác định Lê Văn Trực 2 6.4.2 Các định lí giá trị trung bình 16 6.5 Nguyên hàm và tích phân xác định 17 6.5.1 Các định nghĩa 18 6.5.2 Tích phân xác định như hàm của cận trên 18 6.6 Tính tích phân xác định 20 6.6.1 Phép đổi biến trong tích phân xác định 20 6.6.2 Phép lấy tích phân từng phần 22 6.6.3 Tính gần đúng tích phân xác định 26 6.7 Một số ứng dụng hình học, vật lý của tích phân xác định 30 6.7.1 Tính diện tích hình phẳng 30 6.7.2 Tính độ dài đường cong phẳng 35 6.7.3 Tính thể tích vật thể 38 6.7.4 Diện tích mặt tròn xoay 41 6.8 Tích phân suy rộng 44 6.8.1 Tích phân suy rộng loại 1 44 6.8.2 Tích phân suy rộng loại 2 53 6.8.3 Thay biến số trong tích phân suy rộng 57 Bài tập chương 6 58 3 3 Chương 6 Tích phân xác định 6.1 Định nghĩa tích phân xác định 6.1.1 Bài toán diện tích hình thang cong Cho hàm số y = ()fx xác định, liên tục, không âm trên đoạn [a,b]. Xét hình thang cong AabB (hình 6.1.1) là hình giới hạn bởi đồ thị của hàm số ()fx (trên [a,b]), các đường thẳng x = a, x = b và trục hoành. Hình 6.1.1 Với quan điểm của giải tích, ta hãy định nghĩa diện tích S của hình thang cong AabB. Chia đoạn [a,b] thành n đoạn nhỏ bởi các điểm chia 0 x , 1 x , 2 x , 1n x − , n x được chọn tùy ý sao cho 0 x ≡ a < 1 x < 2 x < 1i x − < i x < < 1n x − < n x ≡ b. Đặt i x Δ = i x – 1i x − (i = 1,2, ,n). Từ các điểm chia i x (i = 1,2, ,n) ta dựng các đường thẳng x = i x , như thế ta đã chia hình thang cong AabB thành n hình thang cong nhỏ 1i P − 1i x − i x i P (i=1, 2, ,n) . Chọn các điểm i ξ ∈[ 1i x − , i x ]. Thay mỗi hình cong nhỏ 1i P − 1i x − i x i P bằng một hình chữ nhật có cùng đáy và chiều cao là ( ) ξ i f . Diện tích các hình chữ nhật là: 1 () ξ f Δ 1 x , 2 () ξ f Δ 2 x , , ( ) ξ n f Δ n x . Hiển nhiên tổng các diện tích của n hình chữ nhật biểu diễn gần đúng diện tích cần tìm S của hình thang cong AabB đã cho. Nói một cách khác, ta có thể viết: S~ 1 () n ii i f x ξ = Δ ∑ . Ta nhận thấy nếu số đoạn chia càng nhiều sao cho độ lớn của các đọan chia càng nhỏ thì tổng 1 () n ii i f x ξ = Δ ∑ càng gần giá trị đúng S. 4 Từ đó ta có thể nói rằng khi chuyển giới hạn n→ ∞ sao cho i x Δ → 0 (i = 1, n ) thì giá trị giới hạn của tổng 1 () n ii i f x ξ = Δ ∑ chính là diện tích cần tìm S của hình thang cong đã cho: S = 0 1 lim ( ) ξ Δ→ = Δ ∑ i n ii max x i f x . (6.1.1) 6.1.2 Bài toán tính khối lượng Cho một đoạn thẳng vật chất [0,S] và giả thiết là ta biết tỉ khối δ ở tại mỗi điểm của đoạn ấy. Hãy tính khối lượng của cả đoạn thẳng. Nếu tỉ khối δ không đổi trong cả đoạn thẳng, thì khối lượng m sẽ bằng tích của tỉ khối với độ dài đoạn thẳng, tức là m = δ .S. Trong trường hợp tổng quát δ là một hàm liên tục của độ dài s: δ = ()s δ , với s ∈ [0,S]. Việc tìm khối lượng của đoạn sẽ tiến hành như sau: Ta hãy chia đoạn thẳng ra làm n phần bởi các điểm chia: 0 s =0, 1 s , 2 s , , 1i s − , i s , , 1n s − , n s = S. và giả thiết rằng trên một đoạn nhỏ [ 1i s − , i s ] vật chất được phân phối đều, tức là tỉ khối không đổi trên mỗi đoạn nhỏ và bằng tỉ khối tại mút trái δ = 1 () δ − i s . Khi đó, khối lượng tương ứng của cả đoạn [0,S] sẽ bằng: 01 0 12 1 1 1 ( )( ) ( )( ) ( )( ) niii mssssss sssδδ δ −− = − + − ++ − ++ 11 ()( ), nnn sssδ −− + − hay n m = 1 0 () n ii i ss δ − = Δ ∑ , trong đó: i s Δ = 1i s + - i s (i= 1, n ). Khi n tăng vô hạn sao cho max 0 i s Δ → , thì độ dài của các đoạn chia dẫn đến không và khối lượng phân phối “đều từng khúc” sẽ dẫn đến khối lượng phải tìm: m = 1 1 ()0 0 lim ( ) δ + − −→ = Δ ∑ ii n ii max S S i ss. (6.1.2) Như vậy từ việc tính diện tích, khối lượng ta đi đến một cách tự nhiên việc khảo sát giới hạn của các tổng có dạng (6.1.1) hay (6.1.2). 6.1.3 Định nghĩa tích phân xác định Cho hàm y = ( ) f x xác định trên [a,b]. Trước hết chia đoạn [a,b] thành n phần bởi các điểm chia: a = 0 x < 1 x < 2 x < < 1n x − < n x = b. Đặt k x Δ = k x − 1k x − và d = max Δ k k x , với k= 1, n 5 5 Ta gọi bộ các điểm chia T = { k x } là một phân hoạch của đoạn [a,b] và đại lượng d gọi là đường kính phân hoạch. Trên mỗi đoạn chia [ 1k x − , k x ] chọn điểm tùy ý k ξ , tính giá trị () k f ξ và lập tổng: 1 () n nkk k f x σξ = =Δ ∑ . (6.1.3) Ta thấy tổng (6.1.3) phụ thuộc vào phân hoạch T = { k x } và vào cách chọn các điểm k ξ và được gọi là tổng tích phân Riman của hàm ()fx theo phân hoạch { k x } của đoạn [a,b]. Bây giờ hãy thay đổi phân hoạch { k x } và tìm giới hạn của tổng tích phân (6.1.3) khi d → 0. Định nghĩa Nếu tổng tích phân Riman (6.1.3) có giới hạn I khi d→ 0 không phụ thuộc vào phân hoạch { k x } của đoạn [a,b] và cách chọn các điểm 1 ξ , 2 ξ , , n ξ tức là 0 ε ∀>, 0 δ ∃> sao cho: | I− n σ |< ε (6.1.4) với bất kì phân hoạch { k x } của đoạn [a,b] sao cho đường kính d< δ và với mọi cách chọn các điểm k ξ ∈[ 1k x − , k x ] ,( k=1, n ), thì giới hạn I được gọi là tích phân xác định ( theo định nghĩa Riman) của hàm ()fx trên [a,b] và được kí hiệu là: () b a f xdx ∫ . Như vậy , theo định nghĩa ta có: () b a f xdx ∫ = 0 1 lim ( ) ξ → = Δ ∑ n kk d k f x . (6.1.5) Trong trường hợp này hàm f được gọi là khả tích theo Riman trên [a,b]. Số a và b được gọi là cận dưới và cận trên của tích phân, hàm f - hàm dưới dấu tích phân và biểu thức () f xdx - biểu thức dưới dấu tích phân. Trong định nghĩa trên thực chất ta đã giả thiết rằng a <b. Chúng ta hãy mở rộng khái niệm tích phân xác định trong trường hợp a = b và a > b. Khi a > b, theo định nghĩa, ta có: () () ba ab f xdx f xdx=− ∫∫ . (6.1.6) Khi a = b, theo định nghĩa, ta có: () a a f xdx ∫ = 0. (6.1.7) 6 Đẳng thức (6.1.7) nghĩa là tích phân xác định với các cận bằng nhau bằng 0. Bởi vì tổng tích phân (6.1.3) không phụ thuộc vào chữ cái dùng để kí hiệu đối số của hàm đã cho, nên giới hạn của nó, tức là tích phân xác định không phụ thuộc vào kí hiệu biến số tích phân: () b a f xdx ∫ = () b a f tdt ∫ = () b a f zdz ∫ ,v.v (6.1.8) Ví dụ 1: Cho ( ) f x = 1, x ∀∈ [a,b]. Với mọi phân điểm T = { k x } của đoạn [a,b] và với mọi cách chọn k ξ , ta có: 1 () σξ = =Δ ∑ n nkk k f x = 1 1. = Δ ∑ n k k x = b−a Suy ra: 0 lim n d σ → = b − a. Do đó: b a dx ∫ = b − a. 6.1.4 Ý nghĩa hình học của tích phân xác định Theo định nghĩa tích phân xác định vừa nói trên, diện tích hình thang cong được tính theo công thức: S = () b a f xdx ∫ . (6.1.9) Bây giờ ta hãy đưa ra điều kiện cần và đủ để hàm khả tích. 6.2 Điều kiện khả tích 6.2.1 Điều kiện cần để hàm khả tích Định lí 6.2.11 Nếu hàm f khả tích trên đoạn [a,b] thì nó bị chặn trên đoạn này. Chứng minh: Ta giả sử ngược lại rằng hàm f không bị chặn trên [a,b]. Bởi vì hàm f không bị chặn trên [a,b] nên với phân điểm T bất kì của đoạn [a,b], hàm f không bị chặn ít nhất trên một đoạn con nào đó. Để đơn giản cho việc chứng minh, ta giả sử nó không bị chặn trên [ 0 x , 1 x ]. Khi đó trong các đoạn còn lại [ 1 x , 2 x ], [ 2 x , 3 x ], …, [ 1n x − , n x ] ta hãy chọn các điểm tùy ý 1 ξ , 2 ξ , …, 2 ξ và kí hiệu: 22 33 ' ( ) ( ) ( ) nn f xf x f x σ ξξ ξ =Δ+Δ++Δ. (6.2.1) Do f không bị chặn trên đoạn [ 0 x , 1 x ], nên với mọi M>0, ta chọn được 1 ξ ∈[ 0 x , 1 x ] sao cho: | 1 ()f ξ |≥ 1 |'| || M x σ + Δ . (6.2.2) 7 7 Khi đó,| 1 ()f ξ |. 1 || x Δ ≥ |'| M σ + và tổng tích phân tương ứng 11 |||() '| n fx σ ξσ =Δ+ ≥ 11 || ( ) || | | '||fx ξ σ Δ − ≥ M (6.2.3) Do đó, tổng tích phân n σ không thể có giới hạn hữu hạn, điều này nghĩa là tích phân xác định của hàm f không tồn tại. Nhận xét: Định lí trên chỉ là điều kiện cần mà không phải điều kiện đủ để hàm số là khả tích, nghĩa là tồn tại hàm số bị chặn mà không khả tích. Ví dụ, ta hãy xét hàm Dirichlet D: → được cho dưới dạng: 1 nÕu h÷u t Ø () 0 nÕu v« tØ x Dx x ⎧ = ⎨ ⎩ Với a ≠ b, hàm D không khả tích trên [a,b], bởi vì với phân điểm T = { } k x tùy ý: 1 1 112 1 11 1 ()( ) (),nÕu , , , h÷u tØ 0.( ) 0,nÕu v« tØ. n nkkk k n kk n k n kk n k Dxx xx ba xx σξ ξξ ξ ξξ − = − = − = =−= ⎧ −=− ⎪ ⎪ = ⎨ ⎪ −= ⎪ ⎩ ∑ ∑ ∑ Do đó tổng tích phân n σ không thể tiến đến giới hạn hữu hạn. 6.2.2 Các tổng Darboux Giả sử hàm f xác định và bị chặn trên [a,b]. Khi đó tồn tại các hằng số m và M sao cho: m ≤ () f x ≤ M, x ∀ ∈ [a,b] . Ta xét phân điểm T = { } k x của đoạn [a,b]. Kí hiệu: k m = 1 [,] inf ( ) kk x xx f x − ∈ , k M = 1 [,] sup ( ) kk xx x f x − ∈ , k ω = k M − k m . Đại lượng k ω gọi là dao động của f trên 1 [,] kk x x − . Tổng n S = k=1 n kk mx Δ ∑ , n S = k=1 n kk M x Δ ∑ (6.2.4) lần lượt gọi là tổng tích phân Darboux dưới và tổng tích phân Darboux trên của hàm ()fx trên đoạn [a,b] tương ứng với phân điểm T của đoạn [a,b]. Nếu { } k x là một phân điểm của đoạn [a,b], ta có bất đẳng thức sau: n S ≤ n σ ≤ n S . (6.2.5) 6.2.3 Các tính chất của tổng tích phân Darboux 8 Tính chất 1: Tổng tích phân Darboux trên (dưới) tương ứng với phân điểm { } k x của đoạn [a,b] là cận trên (dưới) đúng của các tổng tích phân Riman tương ứng với cách chọn các điểm khác nhau k ξ ∈ [ ] 1 , kk x x − , k = 1, n , tức là: n S = 12 ( , , , ) sup n n ξ ξξ σ , n S = 12 ( , , , ) inf n n ξ ξξ σ . (6.2.6) Do bất đẳng thức (6.2.5) ta chỉ cần chứng minh rằng có thể tìm được: * 1 ξ , * 2 ξ , , * n ξ sao cho: * 1 () n kk k f x ξ = Δ ∑ > n S − ε . Thật vậy, theo định nghĩa các số k M , ta có thể tìm được * k ξ ∈ [ ] 1 , kk x x − sao cho: (*) k f ξ > k M − ba ε − . Khi đó: * 1 () n kk k f x ξ = Δ ∑ > 1 n kk k M x = Δ ∑ − ba ε − 1 n k k x = Δ ∑ = n S − ε suy ra phần đầu của tính chất 1 được chứng minh. Phần thứ hai được chứng minh tương tự. Tính chất 2: Khi tăng số điểm chia trong phân điểm T = { } k x thì tổng tích phân Darboux dưới tăng lên và tổng trên giảm đi. Chứng minh: Giả sử T’ nhận được từ T bởi thêm điểm chia ' i x [ ] 1 , ii x x − ∈ . Khi đó: n σ = # () j j ji f x ξ Δ ∑ + ( ) ii f x ξ Δ . Theo định nghĩa: () n ST = # j j ji mx Δ ∑ + 1 () ii i mx x − − , trong đó: [] 1 , inf ii i x x mf − = . () n ST ′ = # j j ji mx Δ ∑ + 1 *( ' ) **( ') iii ii i mxx m xx − − +− trong đó: [] 1 ,' *inf ii i x x mf − = , [] ', ** inf= ii x x mf. Do * i m ≥ i m ,** i m ≥ i m nên: (') n ST ≥ # j j ji mx Δ ∑ + 1 (' ) ( ') ii i ii i mx x mx x − − +− = () n ST. Tương tự, ta chứng minh: (') () nn ST ST≤ . 9 9 Tính chất 3: Gọi 1 1 ,SS là tổng dưới, tổng trên ứng với phân điểm 1 T và 2 2 ,SS là tổng dưới, tổng trên ứng với phân điểm 2 T . Khi đó: 2 1 SS ≤ . Chứng minh: Gọi T phân điểm thứ ba có được bằng cách hợp tập các điểm chia của phân điểm 1 T và của phân điểm 2 T . Gọi S , S lần lượt là tổng trên tổng dưới của phân điểm T. Khi đó: 2 1 SSSS ≤ ≤≤ . Suy ra: 2 1 SS ≤ . Từ tính chất 2 và tính chất 3 suy ra rằng tập hợp các tổng tích phân dưới { } n S ứng với các phân điểm T khác nhau của đoạn [a,b] là một tập hợp bị chặn trên, (ví dụ bởi tổng tích phân trên bất kì) nên có cận trên đúng hữu hạn: { } ** sup , nn I SIS = ≥ . (6.2.7) Tương tự tập hợp các tổng trên { } n S bị chặn dưới, nên nó có cận dưới đúng: { } *** * inf , nn I SIS II = ≤≥ vµ (6.2.8) Hiển nhiên ta có bất đẳng thức: * * n n SIIS ≤ ≤≤. (6.2.9) 6.2.4 Dấu hiệu tồn tại của tích phân xác định Định lý 6.2.4 Để hàm bị chặn ()fx khả tích trên đoạn [a,b] điều kiện cần và đủ là: max k k dx = Δ , ( ) 0 lim 0 n n d SS → − = . (6.2.10) Điều kiện (6.2.10) nghĩa là: 0, ( ) 0 ε δδε ∀> ∃= >, sao cho nếu δ < d thì: ε − < n n SS . (6.2.11) không phụ thuộc vào cách chọn các điểm 1, ξ − ⎡ ⎤ ∈ ⎣ ⎦ kkk x x . Chứng minh: Điều kiện cần: Giả sử ()fx khả tích trên [a,b], khi đó tồn tại giới hạn: 0 lim σ → = n d I { } ∀= k Tx, 1,kkk x x ξ − ⎡ ⎤ ∀∈ ⎣ ⎦ , 1,kn= tức là 2 ε ∀ , 0 δ ∃> sao cho nếu d δ < thì 10 22 n II ε ε σ − <<+ T ∀ (6.2.12) 12 , , ξ ξξ ∀ n . Từ tính chất 1 và tính chất 2 1 1, n [,] inf sup 22 ξ ξ ε ε σσ − − ∈ ⎡⎤ ∈ ⎣⎦ −≤ ≤ ≤+ kkk kkk n xx xx II (6.2.13) 22 ε ε − ≤≤≤+ nn ISSI. (6.2.14) Từ (6.2.13) và (6.2.14) 0 ε ≤−< n n SS ∀T sao cho δ < d suy ra ( ) 0 lim 0 n n d SS → − = . Điều kiện đủ: Giả sử: () 0 lim 0 n n d SS → −= . (6.2.15) Khi đó tồn tại giới hạn: 00 lim lim n n dd SS →→ = (6.2.16) Từ đây với (6.2.9) suy ra: * * I I= Đặt: I = * * I I= Ta nhận được: n n SIS≤≤ (6.2.17) Mặt khác: n n n SS σ ≤≤ ∀ [ ] 1 , kkk x x ξ − ∈ (6.2.18) Suy ra: ( ) nn nn n SS ISS σ − − ≤−≤− { } k Tx∀= , [ ] 1 , kkk x x ξ − ∀∈ Theo (6.2.16) ta thu được 0 lim σ → = n d I , tức là tích phân xác định tồn tại. 6.3 Các lớp hàm khả tích Trong phần này chúng ta xét một vài lớp hàm khả tích, tức là các hàm mà tích phân xác định của nó tồn tại. Trước hết ta hãy viết điều kiện (6.2.10) dưới dạng khác. Ký hiệu kkk M m ω =−, ta có () 11 nn n n kkk kk kk SS Mmx x ω −− −= − Δ= Δ ∑∑ . Từ đây ta suy ra điều kiện (6.2.10) có dạng: 1 0 lim 0 n kkk d x ω = → ∑ Δ= . (6.3.1) [...]... h2 + 6 ) 3 (6. 6 .13 ) Bởi vì parabon đi qua 3 điểm A,B,C nên: y0 = α h 2 + β h + γ , y1 = γ , y2 = α h 2 + β h + γ Từ (6. 6 .14 ) suy ra: y0 + 4 y1 + y2 = 2α h 2 + 6 (6. 6 .14 ) (6. 6 .15 ) Từ đây và (6. 6 .13 ) suy ra: x2 h ∫ f ( x)dx ≈ 3 ( y 0 + 4 y1 + y2 ) (6. 6 . 16 ) x0 Hình 6. 6.2 Cũng làm tương tự như vậy đối với hai dải sau ta thu được: x4 h ∫ f ( x)dx ≈ 3 ( y + 4 y3 + y4 ) (6. 6 .17 ) h ( y2 n − 2 + 4 y2 n 1 +... với cách phân đoạn lấy tích 1 phân thành 8 phần bằng nhau Giải ở đây 2n = 8 ⇒ n = 4 Ta có: ∫ 5 1 x 2 dx ≈ ⎡ y0 + y8 + 4 ( y1 + y3 + y5 + y7 ) + 2 ( y2 + y4 + y6 ) ⎤ ⎣ ⎦ Theo bảng trên: ∫ 5 1 x 2 dx ≈ 1 [1+ 25+4(2,25 +6, 25 +12 ,25+20,25)+2(4+9 + 16 )]= 41, 33 6 6.7 Một số ứng dụng hình học, vật lý của tích phân xác định 6. 7 .1 Tính diện tích hình phẳng A Trong hệ tọa độ Descartes a) Từ bài toán tính diện tích hình... ( x)dx = h xk 1 yk 1 + yk … 2 yn 1 + yn 2 Cộng các tích phân nói trên lại với nhau ta được: b 1 ∫ f ( x)dx ≈ h ⎢ 2 y ⎣ 0 + y1 + y2 + + yn 1 + a trong đó h = 1 ⎤ yn 2 ⎥ ⎦ (6. 6 .10 ) b−a n Gọi biểu thức ở vế phải của (6. 6 .10 ) là IT ta có công thức: ⎡ y + yn ⎤ + y1 + y2 + + yn 1 ⎥ I ≈ IT = h ⎢ 0 ⎣ 2 ⎦ (6. 6 .11 ) Công thức (6. 6 .11 ) gọi là công thức hình thang Nếu hàm dưới dấu tích phân f ( x) có... 0 1 1 u3 1 Ta thấy I 2 = − ∫ cosxdcosx = − ∫ u du = ∫ u du = = 3 0 3 0 1 0 2 2 2 π 3 c) Tính I 3 = ∫ π 1 + tg 2 x (1 + tgx ) 2 dx 4 đặt u = tgx ⇒ x = arctgu, dx = 3 I3 = ∫ 1 1+ u2 du = 2 (1 + u ) 1 + u 2 3 1 du 1+ u 2 du ∫ (1 + u ) 2 =− 1 1 1+ u 1 3 1 2− 3 ⎡ 1 = −⎢ − ⎥= 2 ⎣ 3 +1 2 ⎦ π 2 d) Tính I 4 = ∫ 0 dx x 2 Đặt t = tg ⇒ x = 2arctgt , dx = 2 1+ t2 2cosx +3 2 1 2 2 I4 = ∫ 1+ t dt = ∫ 2 dt 2 1 ... [1, 5] thành 8 phần bằng nhau, khi đó h = 5 1 = 0,5 8 Hoành độ các điểm chia và tung độ tương ứng của hàm dưới dấu tích phân được trong bảng sau k xk = x0 + kh yk = x 2 k 0 1 1 1 1,5 2,25 2 2 4 3 2,5 6, 25 4 3 9 5 3,5 12 ,25 6 4 16 7 4,5 20,25 8 5 25 Theo công thức (6. 6 .11 ) ta nhận được: ⎡ y + y8 ⎤ IT = 0.5 ⎢ 0 + y1 + y2 + y3 + y4 + y5 + y6 + y7 ⎥ ⎣ 2 ⎦ 1 + 25 ⎤ + 2, 25 + 4 + 6, 25 + 9 + 12 , 25 + 16 ... khả tích trên [a,b] Ví dụ 1: Xét hàm số 1 khi x > 0 ⎪ y = ⎨0 khi x = 0 ⎪ 1 khi x < 0 ⎩ trên đoạn [ 1, 1] (Hình 6. 3 .1) Hàm số y chỉ có một điểm gián đoạn loại một x = 0 Theo định lí trên nó khả tích Về phương diện hình học rõ ràng rằng: 1 I= ∫ ydx = S2 − S1 = 0 1 Hình 6. 3 .1 11 12 Từ ví dụ trên, ta thấy rằng tính liên tục của hàm số dưới dấu tích phân không phải là điều kiện cần để hàm số khả tích Định. .. >0, chia cả hai vế (6. 413 ) cho a m≤ ∫ g ( x)dx ta được a b 1 b b ∫ g ( x)dx ∫ f ( x) g ( x)dx ≤ M a a b Đặt μ = ∫ f ( x) g ( x)dx a b , ta có m ≤ μ ≤ M suy ra điều phải chứng minh ∫ g ( x)dx a 6. 5 Nguyên hàm và tích phân xác định 17 (6. 4 .12 ) 18 Trong ví dụ 1 của mục 6 .1 và và ví dụ 2 của mục 6. 3 ta thấy rằng nếu chỉ dùng định nghĩa để tính tích phân xác định thì khối lượng tính toán rất cồng kềnh Trong... m(b–a) ≤ ∫ f ( x)dx ≤ M(b – a) a 15 ∀x ∈ [ a, b ] (6. 4.8) 16 1 Ví dụ: Chứng minh 2 1 ≤ ∫ e − x dx ≤ 1 e 0 2 Giải: Do f = e − x đơn điệu giảm trên [0 ,1] nên 2 e 1 ≤ e − x ≤ e0 2 1 ≤ e− x ≤ 1 e hay Từ bất đẳng thức (6. 4.8) ta nhận được 1 2 1 (1 − 0 ) ≤ ∫ e− x dx ≤ 1( 1 − 0 ) e 0 6. 4.2 Các định lí giá trị trung bình Định lí giá trị trung bình thứ nhất: Giả sử f ( x ) là khả tích trên [a,b], (a . lục Chương 6 Tích phân xác định 3 6 .1 Định nghĩa tích phân xác định 3 6 .1. 1 Bài toán diện tích hình thang cong 3 6 .1. 2 Bài toán tính khối lượng 4 6 .1. 3 Định nghĩa tích phân xác định 4 6 .1. 4. 2 6. 4.2 Các định lí giá trị trung bình 16 6. 5 Nguyên hàm và tích phân xác định 17 6. 5 .1 Các định nghĩa 18 6. 5.2 Tích phân xác định như hàm của cận trên 18 6. 6 Tính tích phân xác định 20 6. 6 .1. hiệu tồn tại của tích phân xác định 9 6. 3 Các lớp hàm khả tích 10 6. 4 Các tính chất cơ bản của tích phân 12 6. 4 .1 Các tính chất của tích phân xác định 12 Chương 6. Tích phân xác định Lê