ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN LÊ ĐỨC HỢP ỨNG DỤNG LÝ THUYẾT XẾP HÀNG TRONG MẠNG MÁY TÍNH LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội – Năm 2014 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN LÊ ĐỨC HỢP ỨNG DỤNG LÝ THUYẾT XẾP HÀNG TRONG MẠNG MÁY TÍNH Chuyên ngành: Lý thuyết xác suất và thống kê toán học Mã số: 60.460.106 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: NCVCC.TS.NGUYỄN HỒNG HẢI Hà Nội – Năm 2014 MỤC LỤC MỞ ĐẦU 1 CHƯƠNG I: GIỚI THIỆU KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 3 1.1. Những khái niệm cơ bản của lý thuyết xác suất 3 1.1.1. Biến ngẫu nhiên 3 1.1.2. Những phân phối quan trọng 3 1.1.2.1. Phân phối hình học 3 1.1.2.2. Phân phối Poisson 3 1.1.2.3. Phân phối mũ 3 1.1.2.4. Phân phối Erlang 4 1.1.2.5. Phân phối siêu mũ (Hyperexponential) 4 1.1.2.6. Phân phối dạng Phase 5 1.1.3. Sơ lược về các quá trình ngẫu nhiên 5 1.1.3.1. Định nghĩa quá trình ngẫu nhiên 5 1.1.3.2. Quá trình Markov 6 1.1.3.3. Quá trình Poisson 6 1.2. Quá trình sinh tử 8 CHƯƠNG II: TỔNG QUAN VỀ LÝ THUYẾT XẾP HÀNG 12 2.1 Những mô hình xếp hàng và một số khái niệm cơ bản 12 2.1.1. Mô hình xếp hàng và ký hiệu Kendall 12 2.1.2. Tỷ lệ thời gian cư ngụ 13 2.1.3. Một số đại lượng đặc trưng 14 2.1.4. Định luật Little 15 2.1.5. Tính chất PASTA 15 2.2. Mô hình xếp hàng M/M/1 15 2.2.1. Cân bằng xác suất 16 2.2.2. Các đặc trưng trung bình 16 2.2.3. Phân phối của thời gian lưu trú và thời gian chờ đợi 17 2.2.4. Các tính chất 18 2.2.5. Quyền ưu tiên tuyết đối 19 2.2.6. Quyền ưu tiên không tuyệt đối 19 2.2.7. Chu kỳ bận 20 2.2.8. Trung bình chu kỳ bận 20 2.2.9. Phân phối của chu kỳ bận 21 2.3. Mô hình xếp hàng M/M/c 22 2.3.1. Cân bằng xác suất 22 2.3.2. Trung bình độ dài hàng đợi và trung bình thời gian chờ đợi 23 2.3.3. Phân phối thời gian chờ đợi và thời gian lưu trú 24 2.4. Mô hình xếp hàng M/E r /1 25 2.4.1. Hai cách mô tả trạng thái 25 2.4.2. Cân bằng phân phối 25 2.4.3. Trung bình thời gian đợi 28 2.4.4. Phân phối thời gian đợi 29 2.5. Mô hình xếp hàng M/G/1 29 2.5.1. Những phân phối giới hạn 29 2.5.2. Phân phối của sự rời đi 31 2.5.3. Phân phối của thời gian lưu trú 35 2.5.4. Phân phối của thời gian chờ đợi 37 2.5.5. Phương pháp giá trị trung bình 38 2.5.6. Thời gian phục vụ còn lại 39 2.5.7. Phương sai của thời gian chờ đợi 40 2.5.8. Phân phối của chu kỳ bận 41 2.6. Mô hình xếp hàng G/M/1 43 2.6.1. Phân phối khách đến 44 2.6.2. Phân phối của thời gian lưu trú 47 2.6.3. Thời gian lưu trú trung bình 47 CHƯƠNG III: MẠNG JACKSON 49 3.1. Mạng mở 49 3.2. Mạng đóng 53 3.3. Mạng nửa mở 55 3.4. Hàm thông lượng 58 3.5. Tính thông lượng 60 3.5.1. Thuật toán tích chập 61 3.5.2. Phân tích giá trị trung bình 61 3.6. Sự đảo ngược thời gian 63 CHƯƠNG IV: MẠNG KELLY 68 4.1. Mô hình xếp hàng tựa khả nghịch 68 4.2. Mô hình xếp hàng đối xứng 73 4.2.1. Các phân phố và quá trình dạng Phase 73 4.2.2. Mô hình M/PH/l 75 4.3. Mạng đa lớp 79 4.4. Dòng Poisson 84 KẾT LUẬN 86 TÀI LIỆU THAM KHẢO 87 Luận Văn Thạc Sĩ Khoa Học 1 MỞ ĐẦU Lý thuyết phục vụ đám đông ra đời từ những năm 50 của thế kỷ XX và có rất nhiều ứng dụng trong khoa học cũng như trong thực tế. Lý thuyết xếp hàng được xem như là một nhánh chính của lý thuyết xác xuất ứng dụng. Những lĩnh vực quan trọng ứng dụng của mô hình xếp hàng là mạng viễn thông, mạng máy tính, hệ thống xử lý thông tin. Luận văn với đề tài “ Ứng dụng lý thuyết xếp hàng trong mạng máy tính ” nghiên cứu các mô hình cơ bản của lý thuyết xếp hàng, tính chất của các mô hình xếp hàng. Ứng dụng của lý thuyết xếp hàng vào nghiên cứu các mô hình mạng. Nội dung luận văn gồm bốn chương: Chương 1: Giới thiệu các kiến thức chuẩn bị Trong chương này chúng tôi trình bày về một số phân bố xác suất quan trọng và một số quá trình ngẫy nhiên bao gồm quá trình Poisson, quá trình Markov và đặc biệt là quá trình sinh tử. Chương 2: Tổng quan về lý thuyết xếp hàng Chương này chúng tôi trình bày về các mô hình xếp hàng cơ bản như mô hình M / M /1 , M / M / c , r M / E / Chương 3: Mạng Jackson Trong chương này chúng tôi đi sâu vào trình bày mô hình mạng Jackson gồm: mạng Jackson đóng, mạng Jackson mở, mạng Jackson nửa mở và mạng thời gian đảo ngược có cùng phân phối cân bằng và dòng khách hàng đến và rời đi cùng tuân theo quá trình Poisson độc lập. Chương 4: Mạng Kelly Mạng Kelly là mở rộng của mạng Jackson tuy nhiên vẫn giữ lại các giả thiết và các tính chất cơ bản của mạng Jackson. Với sự cố gắng hết mình của bản thân, cùng với sự động viên giúp đỡ, hướng dẫn tận tình của các thầy giáo, bản luận văn đã được hoàn thành. Song do thời gian có hạn cũng như năng lực bản thân còn hạn chế nên chắc chắn luận văn không tránh khỏi Luận Văn Thạc Sĩ Khoa Học 2 những thiếu sót, tôi rất mong nhận được thêm những ý kiến đóng góp cho luận văn này của các thầy cô và các độc giả. Với lòng biết ơn sâu sắc, tôi xin chân thành cảm ơn tới các thầy cô Khoa toán tin – Trường ĐHKHTN Hà Nội đã tận tình giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập. Đặc biệt tôi muốn tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới NCVCC, TS Nguyễn Hồng Hải cán bộ thuộc trung tâm KHKT – BQP, người đã tận tình hướng dẫn về khoa học và giúp đỡ tôi trong suốt quá trình thực hiện luận văn này. Tôi xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, Năm 2014 Tác giả Lê Đức Hợp Luận Văn Thạc Sĩ Khoa Học 3 CHƯƠNG I: GIỚI THIỆU KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1. Những khái niệm cơ bản của lý thuyết xác suất 1.1.1. Biến ngẫu nhiên Giả sử (  ,ℱ,P) là không gian xác xuất Định nghĩa: Biến ngẫu nhiên X là ánh xạ đo được X: (Ω, ℱ) → ℝ Các đại lượng quan trọng của biến ngẫu nhiên X: kỳ vọng ( trung bình ) EX, phương sai   2 X  , độ lệch chuẩn   X và hệ số biến thiên     X X c E X   ( hệ số biến thiên X c là một thước đo độ biến động của biến ngẫu nhiên X ) 1.1.2. Những phân phối quan trọng 1.1.2.1. Phân phối hình học Biến ngẫu nhiên X có phân phối hình học với tham số p nếu các giá trị của nó là các số nguyên không âm và với mọi k   ta có:     k P X k 1 p p    . Với phân phối hình học ta có: 2 2 x 2 p p 1 EX ; (X) ;C 1 p (1 p) p       1.1.2.2. Phân phối Poisson Biến ngẫu nhiên X được gọi là có phân phối Poisson với tham số μ nếu các giá trị của nó là các số nguyên không âm và với mọi k   ta có: k e P(X k) k!     Với phân phối Poisson ta có: 2 2 x E(X) (X) ;C 1     1.1.2.3. Phân phối mũ Biến ngẫu nhiên liên tục X được gọi là có phân phối mũ với tham số μ nếu hàm mật độ của nó có dạng:   t e t 0 f t 0 t 0           Hàm phân phối:   t 1 e t 0 F t 0 t 0           Luận Văn Thạc Sĩ Khoa Học 4 Với phân phối mũ ta có:   2 2 x 2 1 1 E X ; (X) ;C 1      Một tính chất quan trọng của biến ngẫu nhiên có phân phối mũ với tham số μ là: Với x 0 và t 0 t P(X x t / X t) P(X x) e        t P(X t t / X t) 1 e t o(t),( t 0)             (1.1) Trong đó o(t) 0 t   khi t 0  1.1.2.4. Phân phối Erlang Biến ngẫu nhiên X có phân phối Erlang - k (k = 1,2,…) với trung bình k  nếu 1 2 k X X X X    . Trong đó: 1 2 k X ,X , ,X là k biến ngẫu nhiên độc lập cùng phân phối mũ với trung bình 1  . Ký hiệu là k E ( ) hoặc k E . Hàm mật độ của k E được cho bởi   k 1 t t e f (t) (t 0) (k 1)!        . Hàm phân phối:   j t k 1 j 0 t e F(t) 1 (t 0) j!         Tham số μ được gọi là tham số tỷ lệ, k được gọi là kích thước mẫu. Với biến ngẫu nhiên có phân phối k E ta có: 2 2 x 2 k k 1 E(X) ; (X) ;C        1.1.2.5. Phân phối siêu mũ (Hyperexponential) Cho X i là biến ngẫu nhiên có phân phối mũ với trung bình: i 1  Biến ngẫu nhiên X gọi là có phân phối siêu mũ nếu: X = X i với xác suất p i Ký hiệu: H(p 1 ,…,p k ;μ 1 , ,μ k ) hoặc H k Hàm mật độ của X: i k t i i i 1 f (t) p e (t 0)       Luận Văn Thạc Sĩ Khoa Học 5 Kỳ vọng: k i i 1 i p EX     1.1.2.6. Phân phối dạng Phase Phân phối dạng phase được đặc trưng bởi xích Markov với không gian trạng thái   1,2, ,k và ma trận xác suất chuyển P sao cho n n lim P 0   ; thời gian lưu trú trong trạng thái i có phân phối mũ với trung bình i 1  và xích Markov chuyển tại trạng thái i với xác suất i p . Biến ngẫu nhiên X có phân phối dạng Phase nếu là tổng thời gian lưu trú trong xích Markov. Phân phối phase được ký hiệu là: PH. Chúng ta đề cập đến 2 phân phối dạng Phase quan trọng trù mật trong tất cả các hàm phân phối không âm. Điều này có nghĩa rằng với bất kỳ hàm phân phối không âm F(.) tìm thấy một dãy các hàm phân phối dạng Phase hội tụ điểm tại những điểm liên tục của F(.). Lớp thứ nhất là lớp phân phối Coxian. Ký hiệu: k C . Lớp thứ là lớp bao gồm hỗn hợp các phân phối Erlang có cùng tham số tỷ lệ. Một biến ngẫu nhiên X có phân phối Coxian bậc k nếu nó phải trải qua k giai đoạn phân phối mũ. Độ dài trung bình của giai đoạn n là: n 1 n 1,2, ,k   . Nó được bắt đầu ở bước 1. Sau bước n nó kết thúc với xác suất n 1 p và đi vào bước tiếp theo với xác suất n p . Hiển nhiên k p 0 . Một biến ngẫu nhiên X có phân phối hỗn hợp Erlang bậc k nếu xác suất n p là tổng của n biến ngẫu nhiên có phân phối mũ với cùng trung bình. 1.1.3. Sơ lược về các quá trình ngẫu nhiên 1.1.3.1. Định nghĩa quá trình ngẫu nhiên Định nghĩa: Với mỗi T   ánh xạ     X t, : 0;T    được gọi là một quá trình ngẫu nhiên nếu với mỗi t cố định   X t, là một hàm đo được (để đơn giản ta viết   X t thay cho   X t, ). [...]... Khoa Học CHƯƠNG II: TỔNG QUAN VỀ LÝ THUYẾT XẾP HÀNG 2.1 Những mô hình xếp hàng và một số khái niệm cơ bản 2.1.1 Mô hình xếp hàng và ký hiệu Kendall Một mô hình xếp hàng cơ bản được biểu diễn bởi hình sau: Hình 2.1: Mô hình xếp hàng cơ bản Nó có thể được sử dụng để mô hình hóa, ví dụ :mạng thông tin, mạng máy tính, thiết bị xử lý thông tin truyền thông,… Một mô hình xếp hàng được đặc trưng bởi các yếu... là số khách hàng trong hệ thống tại thời điểm t Xác suất pn có thể hiểu là phân bố của thời gian có n khách hàng trong hệ thống Từ phân bố này ta có thể tính toán số lượng khách hàng trong hệ thống Một trong những phân phối quan trọng là giới hạn phân phối của khách hàng  trong hệ thống được xem xét khi một khách hàng tới, nghĩa là: a n  lim P Lak  n k   Với Lak là số khách hàng trong hệ thống... khách hàng loại 2; nghĩa là khi khách hàng loại 2 đang trong dịch vụ mà khách hàng loại 1 đến thì sự phục vụ của khách hàng loại 2 bị gián đoạn và hệ thống sẽ phục vụ khách hàng loại 1 Khi không còn khách hàng loại 1 nữa máy chủ sẽ tiếp tục phục vụ khách hàng loại 2 tại chỗ bị gián đoạn Gọi Li là biến ngẫu nhiên ký hiệu số khách hàng loại i trong hệ thống và Si là thời gian lưu trú của khách hàng loại... xếp hàng ( không bao gồm máy chủ) đưa đến mối quan hệ giữa chiều dài hàng đợi Lq và thời gian đợi W: E  Lq   E  W  Cuối cùng khi áp dụng định luật Little với một máy chủ duy nhất ta thu được:   E  B  Ở đây  là số lượng khách hàng trung bình tại máy chủ và E(B) là trung bình thời gian phục vụ 2.1.5 Tính chất PASTA Cho hệ thống xếp hàng với dòng đến Poisson, đối với hệ thống M/./ Một tính. .. M/M/1 2.5 Mô hình xếp hàng M/G/1 Trong mô hình xếp hàng M/G/1 khách hàng đến theo quá trình Poisson với cường độ λ và được phục vụ theo thứ tự đến Các lần phục vụ là độc lập và có phân phối xác định với hàm phân phối FB . và hàm mật độ f B . Để đảm bảo tính ổn định chúng ta yêu cầu tỷ lệ thời gian cư ngụ:   E  B   1 2.5.1 Những phân phối giới hạn Trạng thái của mô hình xếp hàng M/G/1 có thể... Little chúng ta có thể xác định được E L (trung bình số khách hàng đợi trong hàng đợi)   q Có một cách khác để xác định E  W  và E L là phương pháp giá trị trung bình Theo tính chất PASTA trung bình số lượng khách hàng đang đợi trong hàng   q bằng E L và xác suất máy chủ bận khi khách đến là  nghĩa là phân bố thời gian r     E  R  máy chủ bận Vì vậy: E  W   E Lq  2.13 Với R là biến ngẫu... của sự rời đi Trong phần này chúng ta sẽ xác định phân phối của khách hàng ở lại sau khi một khách hàng rời đi khi hệ ở trạng thái cân bằng Ký hiệu Ldk là số khách còn lại trong hệ thống sau sự rời đi của khách hàng thứ k Chúng ta sẽ xác định mối quan hệ giữa các biến ngẫu nhiên Ldk 1 và Ldk Số khách hàng còn lại sau khi khách hàng thứ k+1 rời đi bằng số khách hàng hiện tại khi khách hàng thứ k rời... thống xếp hàng liên quan giữa E(L) và E(S) được trình bày sau đây 2.1.4 Định luật Little Định luật Little xác định một mối liên hệ rất quan trọng giữa E(L)-số khách hàng trung bình trong hệ thống và E(S)-thời gian lưu trú trung bình và  -số lượng khách hàng trung bình đi vào hệ thống trên một đơn vị thời gian Định luật Little được phát biểu như sau: E  L   E  S  Áp dụng định luật Little trong xếp. .. trạng thái Ek-1, Ek+1 hoặc Ek Đối với một hệ phục vụ ta quan niệm một khách hàng đến hệ là hiện tượng “sinh”, một khách hàng được phục vụ xong rời khỏi hệ là hiện tượng “ tử” Chúng ta ký hiệu:  k cường độ đến (sinh) của khách hàng khi số khách hàng trong hệ phục vụ là k;  k cường độ phục vụ (tử) khách hàng khi số khách hàng trong hệ là k 8 Luận Văn Thạc Sĩ Khoa Học Lưu ý rằng, cường độ đến; cường độ... phân phối của lượng khách hàng đi đến hệ thống (theo dòng Poisson ) ở trạng thái A Tính chất này chỉ đúng với dòng đến Poisson Tính chất của dòng đến Poisson được gọi là tính chất PASTA (Poisson Arrivals See Time Averages) Bằng trực giác tính chất này có thể giải thích bởi thực tế rằng dòng đến Poisson diễn ra hoàn toàn ngẫu nhiên theo thời gian 2.2 Mô hình xếp hàng M/M/1 Trong phần này ta sẽ phân . xuất ứng dụng. Những lĩnh vực quan trọng ứng dụng của mô hình xếp hàng là mạng viễn thông, mạng máy tính, hệ thống xử lý thông tin. Luận văn với đề tài “ Ứng dụng lý thuyết xếp hàng trong mạng. hàng trong mạng máy tính ” nghiên cứu các mô hình cơ bản của lý thuyết xếp hàng, tính chất của các mô hình xếp hàng. Ứng dụng của lý thuyết xếp hàng vào nghiên cứu các mô hình mạng. Nội dung. ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN LÊ ĐỨC HỢP ỨNG DỤNG LÝ THUYẾT XẾP HÀNG TRONG MẠNG MÁY TÍNH Chuyên ngành: Lý thuyết xác suất và thống kê toán học Mã số: 60.460.106